《应用概率统计》课后习题解答

习题二 1 五张卡片上分别写有号码 1， 2， 3， 4， 5。随即抽取其中三张，设随机变量 X 表示取出三张卡片上的最大号码。 （ 1） 写出 X 的所有可能取值；（ 2）求 X 的分布率。 解：（ 1）显然是： 3， 4， 5。 （ 2） X 的分布律 2 下面表中列出的是否时。某个随机变量的分布律 （ 1） （ 2） 答：（ 1） 是 （ 2）不是 3一批产品共有 N 件，其中 M 件次品。从中任意抽取 n(P (5)X 分布函数。 解： (1) (= 0 0+ 100 0=101 所以，解得 C=2 (2) P 时， ( ) 0 , ( ) 1P X a P X a 故， a 不可能小于 0 或大于 1； 当 0 a 1时， 1 220 ( ) 2 1 , ( ) 2 a f x d x x d x a P X a f x d x x d x a 所以， 221 ，即得： a22（ 4）由题设可知， b 的取值范围为： 0 b 1 1 2 ( ) 2 1 0 . 6 4 b f x d x x d x b ，所以 b 5）当 x 1 时， F(x) 122 10 20 , 0( ) , 0 11 , 1xF x x 由题设可知，把 X 的分布函数的取值范围分为四段： 当 x ， F(x) 0； 当 1时， F(x) 1 0 , 11, 1 06()1, 0 121 , 1 （ 1） PX 2 F(2) 1 e 2 PX 2 1 PX 2 （ 2）设 f(x). 当 X a 1 PX 1 时， f(x,y)=0 所以 00)( 当 11 x 时， 2141),()( 1 1 于是得关于 X 的概率密度为 其它01121)( 得概率密 度为 其它01121)( ) ( ) ( , )x f y f x y， 故 X 和 Y 是相互独立。 （ 2）因为（ X， Y）服从均匀分布，故 其它01),( 2222 当 ， 0),( 所以 00)( 当 时， 22 22_ 2 222 21)( xR 即 其它02)( 222同理得： 其它021)(2222_ 2222 ( ) ( ) ( , )x f y f x y, ,故 X 和 Y 不相互独立。 和 Y 相互独立，它们的概率密度分别为 1 , 0 1 , 0 ,( ) ( )0, 0 , 0 ,x f ，其 他 ，求 Z X Y 的概率密度 . 解：因为 X 和 Y 相互独立，所以有 ()()( 当 10 z 时 0( ) 1 1z x z z e d x e 当 1z 时 10( ) 1 ( 1 )x z z e d x e e ,0,1)1(,101)(其他X， Y）的概率密度为 e 222222 1),( ， 求 22 的概率密度。 解： Z 的分布函数为 22( ) ( , )GF z P Z z P X Y z f x y d x d y 式中， G 是 面内由不等式 22x y z所确定的区域， 当 ， 22( ) ( , ) xF z f x y d y d 再用极坐标来求积分 222 220 112 z d r e d r r e d r 求导得 22212 e 所以 2220 , 01 02z F z 。 14 设（ X， Y）的分布密度为 其他,00,0,),( )( e Z=2概率密度。 解： Z 的分布函数为 2( ) ( ) ( , )2Zx y z P z f x y d x d y 当 0z 时， 0 当 0z 时， 22 ( ) 2 200( ) 1 2z z y x y z z e d x d y z e e 所以 4)()( 综上得 200()40Z e z 15设（ X,Y）的联合分布密度为 , 0 , 1 , 1 , 3 ( , )0k x y x yf x y ， 其 他求 k 值。 解：由概率密度 ),( 性质 ( , ) ( , ) 1f x y d x d y F ， 由题意得， 33 1 3 32 101 0 1 112( , ) ( ) 2 122 4k y k yf x y d x d y d y k x y d x d y d y kk （ ）， 所以 k=21。 16 求 15 题中 X 和 Y 的边缘分布。 解 （ 1）因为当 ， f(x,y)=0, 所以 00)( 当 31 x 时， 3 2311 11( ) ( , ) | 224Xf x f x y d y x y d y x y x （ 2） 因为当 ， f(x,y)=0, 所以 00)( 当 10 y 时， y 41|4121),()( 10210 由上可知 其它其它01041)(0312)(题 四 解 答 1. 解：由数学期望的定义知： = X = - 1 0 . 2 + 0 0 . 3 + 1 0 . 4 + 2 0 . 1 = 0 . 4 因为 223X 5 3 5 11 X 1 2 P 以 223X 3 5 11 P 而由期望和方差的定义知： 2E ( 2 X + 3 ) = 3 0 . 3 + 5 0 . 6 + 1 1 0 . 1 = 5 2D X E X E X 2222= ( - 1 - 0 . 4 ) 0 . 2 + ( 0 - 0 . 4 ) 0 . 3 + ( 1 - 0 . 4 ) 0 . 4 + ( 2 - 0 . 4 ) 0 . 1 =. 解： 甲品种母猪产仔的期望为 X 7 0 . 0 3 + 8 0 . 0 5 + 9 0 . 0 8 + 1 0 0 . 1 6 + 1 1 0 . 2 + 1 2 0 . 2 + 1 3 0 . 1 4 + 1 4 0 + 1 5 0 + 1 6 0 =品种母猪产仔的期望为 0 . 0 4 + 8 0 . 0 6 + 9 0 . 0 7 + 1 0 0 . 1 + 1 1 0 . 1 5 + 1 2 0 . 1 6 + 1 3 0 . 1 4 + 1 4 0 + 1 5 0 1 6 0 于 P492S 4 =P 0 （查表得） (2) 根据定理 有 1 习 题 六 解 答 2、解： 由例 3（ ： 2, 的矩法估计分别为 X ， 2211 ()代入数据得 样本均值为： 1 2 3 4 5 2 7 8 1 + 2 8 3 6 + 2 8 0 7 + 2 7 6 3 + 2 8 5 8 280955x x x x 且 2 2 2 2 2 21 2 3 4 5111 1 2 0 6 . 85n ii x x x x x x x x x x x 于是 2, 的 矩估 值 分别为 2809， 、解： 似然函数为 12 111 1 1()x e e e 对其求对数得： 12 11l n ( ) l n l x xL n n 求导，并令其为 0 12l n ( ) 1 0 解得： 11 （即为 的极大似然估计） 4、解： 因为 ( ,1)， 可知样本1 2 3,X X ( ,1) 1 1 2 31 3 1 1 3 1 5 1 0 2 5 1 0 2E E X X X 2 1 2 31 1 5 1 1 5 3 4 1 2 3 4 1 2E E X X X 3 1 2 31 1 1 1 1 1 3 7 3 5 1 2 3 5 1 2 6 0E E X X X 所以 12 ,是 的无偏估计量。 1 1 2 31 9 1 2 5 1 0 0 41 9 1 1 92 5 1 0 0 4 5 0D D X D X D X 2 1 2 31 1 2 5 9 1 6 1 4 41 1 2 5 2 59 1 6 1 4 4 7 2D D X D X D X 于是 21 即2的无偏估计量方差较小。 5、解： 设总体 20, 因为 总体方差 220 50 已知，所以总体均值 的置信水平为 1的置信区间为 （2，2） 又已知 n 25， 500x （样本均值）， ， 故得 得置信下限为：02505 0 0 1 . 9 6 4 8 0 . 425xu n 得置信上限为： 02505 0 0 1 . 9 6 5 1 9 . 625xu n 故 的置信水平为 95的置信区间为（ 9、 解 :(1)的置信水平为 置信区间长度为022u n ， 即 102 n 要使置信区间长为 5，则令 102 1 5n m 2n (2)若置信 水平 为 99 ，则有0225u n ，即 102 2 5n m 06n 11、 解：因为总体方差 2 未知，所以用样本方差 2s 来代替总体方差。从而总体均值 的置信水平为 1 的置信区间为 （2( 1 ) sx t n n ，2( 1 ) sx t n n ） 其中 ， ， 0 . 0 2 52 1 5 2 . 5 7 1t n t ， n=6, 1 2 3 4 5 6 2 2 1 + 1 9 1 + 2 0 2 + 2 0 5 + 2 5 6 + 2 3 6 2 1 8 . 566x x x x x 2 2 2 2 2 2 22 1 2 3 4 5 6111 5 8 5 . 91 6 1n x x x x x x x x x x x x x 从而 代入数据得： 的置信水平为 95的置信区间为 （ 即 （ 193， 244） 12、解： 因为总体方差 2 未知，所以用样本方差 2s 来代替总体方差。从而总体均值 的置信水平为 1 的置信区间为 （2( 1 ) sx t n n ，2( 1 ) sx t n n ） 其中 ， ， 0 . 0 2 5 0 . 0 2 52 1 8 0 1 . 9 6t n t u ， n=81,s= 代入数据得： 的置信水平为 95的置信区间为 （ 1 5 1 81， 1 5 1 81） 即 （ 13、解： 当总体均值 未知时 ,总体方差 2 的置信水平为 1 的置信区 间为 （ 22211， 221 211） 其中 ， ， n=10, 查 表 得 ： 22 0 . 0 2 521 1 0 1 1 9 . 0 2n ， 22 0 . 9 7 51 2 1 1 0 1 2 . 7 0n 。 4 8 2 + 4 9 3 + 4 5 7 + 4 7 1 + 5 1 0 + 4 4 6 + 4 3 5 + 4 1 8 + 3 9 4 + 4 9 6 4 6 0 . 210x 10222 1111 4 6 0 . 2 1 3 8 21 1 0 1n x x 代入数据得总体方差 2 的置 信水平为 95的置信区间为 ( 习 题 七 解 答 1、由经验知某零件重量 2, ， 15 ， ，技术革新后，抽出 6 个零件，测得重量为（单位： g） 知方差不变 ，试统计推断，平均重量是否仍为 15g（ ）？ 解：此题是正态总体方差 已知 时，关于总体均值 的双侧 检验，故采用 U 检验。 假设 00: 1 5H 1 : 15H 因为 已知，故应选择统计量 0/XU n又 ，且 (0,1)，故拒绝域为 由 题设条件知： n 6， ，样本均值为 111 1 4 . 7 + 1 5 . 1 + 1 4 . 8 + 1 5 . 0 + 1 5 . 2 + 1 4 . 6 1 4 . 96 于是统计量得观测值 0 1 4 . 9 1 5 4 . 9 0 2 1 . 9 6/ 0 . 0 5 / 6XU n 即 U 落在拒绝域中，故否定0H，即认为 平均重量不为 15g. 5、已知健康人的红血球直径服从均值为 7.2 m 的正态分布，今在某患者血液中随机测得 9 个红血球的直径如下： 该患者红血球平均值与健康人的差异有无统计意义（ ）？ 解：由于方差未知，所以采用 T 检验 。 假设： 00: 7 1: 由题中数据得 ： 样本均值： 111 7 . 8 + 9 . 0 + 7 . 1 + 7 . 6 + 8 . 5 + 7 . 7 + 7 . 3 + 8 . 1 + 8 . 0 7 . 99 样本方差： 22111( ) 0 . 1 2 + 0 . 1 2 + 0 . 2 2 + 0 . 3 2 + 0 . 6 2 + 0 . 2 2 + 0 . 6 2 + 0 . 2 2 + 0 . 1 2 0 . 1 218x 从而 于是 检验统计量 0 7 . 9 7 . 2 6 . 0 7 10 . 3 4 6 / 3/t 当 时，自由度 n 1 8，查 t 分布表得 0 . 0 2 52 1 8 2 . 3 0 6t n t ，于是得拒绝域为 因为 落在拒绝域内，所以拒绝0H， 即 该患者红血球平均值与健康人的差异在 下有统计意义。 习 题 八 解 答 1、 今有不同温度处理的鱼卵胚胎发育速度（从受精到孵化所需时间）数据如下表，试做方 差分析。 处理温度 胚胎发育速度数据 21C 128 129 132 130 134 23C 123 125 126 127 128 25C 99 100 102 110 105 27C 86 88 90 93 95 29C 76 75 78 80 81 解： 处理温度 胚胎发育速度数据 121C 128 129 132 130 134 653 3C 123 125 126 127 128 629 5C 99 100 102 110 105 516 7C 86 88 90 93 95 452 9C 76 75 78 80 81 390 78 T=2640 设 鱼卵胚胎发育速度 服从方差相等的正态分布，依题意1 2 3 4 55 , 5r n n n n n ，1 2 3 4 5 25n n n n n n ，它们在不同温度下， 发育速度 均值分别为1 2 3 4 5, , , , 。（ 1）需检验假设 0 1 2 3 4 5:H （ 2） 首先计算离差平方和自由度 2221111 2 6 4 0 2 7 8 7 8 425 2 2 2 2111 2 8 1 2 9 8 1 2 8 9 1 3 8 2 2 2 2 2 221 1 11 6 5 3 6 2 9 5 1 6 4 5 2 3 9 0( ) 2 8 8 9 4 25 5 5 5 5i 于是 2 212 8 8 9 4 2 - 2 7 8 7 8 4 = 1 0 1 5 8r 221 1 12 8 9 1 3 8 - 2 8 8 9 4 2 = 1 9 6iE i ji j i 1 0 1 5 8 + 1 9 6 = 1 0 3 5 4T A S S S S 自由度： 1 5 1 4Ad f r 2 5 5 2 0Ed f n r 1 2 5 1 2 4Td f n (3)列出方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方和 F 值 F 临界值 组 间 10158 4 0 4 , 2 0 2 F 组 内 196 20 总和 10354 24 （ 4）因为 F=,20),故拒绝 H。， 即 不同温度 对 鱼卵胚胎发育速度 的影响 有统计意义。 2、 A、 B、 C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪所增体重（单位： 500g）于下表，试作方差分析。 饲料 增重 A 51 40 43 48 B 23 25 26 C 23 28 解： 饲料 增重 1A 51 40 43 48 182 23 25 26 74 23 28 51 =307 题意有1 2 33 , 4 , 3 , 2r n n n ，1 2 3 9n n n ，假设在不同的饲料下，一个月所增体重均值为1 2 3, 。 （ 1）需检验假设 0 1 2 3:H （ 2） 首先计算离差平方和自 由度 2221111 3 0 7 1 0 4 7 2 . 1 19 2 2 2 2115 1 4 0 2 8 1 1 4 9 7 2 2 2 221 1 11 1 8 2 7 4 5 1( ) 1 1 4 0 6 . 8 34 3 2i 于是 2 211 1 4 0 6 . 8 3 - 1 0 4 7 2 . 1 1 = 9 3 4 . 7 2r 221 1 11 1 4 9 7 - 1 1 4 0 6 . 8 3 = 9 0 . 1 7iE i ji j i 9 3 4 . 7 2 + 9 0 . 1 7 = 1 0 2 4 . 8 9T A S S S S 自由度： 1 3 1 2Ad f r 9 3 6Ed f n r 1 9 1 8Td f n (3)列 出方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方和 F 值 F 临界值 组 间 0 2 , 6 5 F 组 内 总和 （ 4）因为 0 . 0 53 1 . 1 0 2 , 6 5 . 1 4 ， 故拒绝 H。， 即 用三种不同的饲料喂猪对猪所增体重 的影响 具有统计意义。 习 题 九 解 答 1 解： 大豆脂肪含量与蛋白质含量的回归计算表 序号 1 4 936 86 3 20 00 78 5 21 41 计 表格中的有关数学据代入公式得 : 221 3 1 9 2 . 7 5 - 9 1 8 . 7 1 8 . 7 = 4 5 . 5 4nx x x n x 1 6 7 7 5 . 0 2 - 9 1 8 . 7 4 . 0 5 = - 4 1 . 1 3nx y i x y n x y 221 1 4 8 1 3