《应用数理统计》吴翊李永乐第三章 假设检验课后作业参考答案

第三章 假设检验 课后作业参考答案 电器元件平均电阻值一直保持 ，今测得采用新工艺生产 36 个元件的平均电阻值为 。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为 ，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响？( ) 解： (1)提出假设 0 (2)构造统计量 36/ (3)否定域 21212 )给定显著性水平 时， (5) 2落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 种元件 ,要求其使用寿命不低于 1000（小时） ,现在从一批这种元件中随机抽取 25 件 ,测得其寿命平均值为 950（小时）。已 知这种元件寿命服从标准差 100 （ 小 时 ） 的正态分布，试在显著水平 确定这批元件是否合格。 解： 0100001: 1 0 0 0 , H : 1 0 0 09 5 0 1 0 0 n = 2 5 1 0 0 09 5 0 - 1 0 0 0u = 2 0 2 5V = 0 5 提 出 假 设 ：构 造 统 计 量 ： 此 问 题 情 形 属 于 u 检 验 ， 故 用 统 计 量 ：此 题 中 ：代 入 上 式 得 ：拒 绝 域 ：本 题 中 ：0 . 9 50 . 9 5 0u 1 0即 ， 拒 绝 原 假 设认 为 在 置 信 水 平 5 下 这 批 元 件 不 合 格 。厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布 2,N ，其中 2/40 。现从一批这种钢索的容量为 9 的一个子样测得断裂强度平均值为 X ，与以往正常生产时的 相比， X 较 大 20( 2/。设总体方差不变，问在 下能否认为这批钢索质量显著提高？ 解： (1)提出假设0100 : (2)构造统计量 020/u 00 (3)否定域 1)给定显著性水平 时，临界值 u(5) 1否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。 批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（ %）： 设测定值服从正态分布，问在 下能否接受假设，这批矿砂的镍含量 为 解： 0 1 0 1 1 020: 3 . 2 5 H :13 . 2 5 2 , S = 0 . 0 1 1 7 , n = 53 . 2 5 2 - 3 . 2 5t = 0 1 90 . 0 1 1 7 5 1 提 出 假 设 ：构 造 统 计 量 ： 本 题 属 于 未 知 的 情 形 ， 可 用 检 验 ， 即 取 检 验 统 计 量 为 ：本 题 中 ，代 入 上 式 得 ：否 定 域 为 ：1 9 9 5120V = t t ( 1 )0 . 0 1 , ( 4 ) 4 . 6 0 4 1, 3 . 2 5本 题 中 ，接 受 认 为 这 批 矿 砂 的 镍 含 量 为 。定某种溶液中的水分，它的 10 个测定值 0 . 4 5 2 % , 0 . 0 3 5 % , 2N ( , ) ,设 总 体 为 正 态 分 布试在水平 5%检验假设： 01( ) H : 0 . 5 % H : 0 . 5 %( ) H : 0 . 0 4 % H : 0 . 0 . 4 % 00 . 9 5()10 . 4 5 2 % S = 0 . 0 3 5 %- 4 . 1 1 4 3( 1 )0 . 0 5 n = 1 0t ( 9 ) 1 31 统 计 量 ： 本 文 中 未 知 ， 可 用 检 验 。 取 检 验 统 计 量 为 题 中 ，代 入 上 式 得 ： 0.5%t=0 . 0 3 5 % 1 0 - 1拒 绝 域 为 ：V= t 中 ，01 4 . 1 1 4 3H 2220022221221 0 . 9 52() . 0 3 5 % n = 1 0 0 . 0 4 %1 0 0 . 0 3 5 %7 . 6 5 6 30 . 0 4 %V = ( 1 )( 1 ) ( 9 ) 1 6 . 9 1 9 2构 造 统 计 量 ： 未 知 ， 可 选 择 统 计 量本 题 中 ，代 入 上 式 得 ： （ ）（ ）否 定 域 为 ：本 题 中 ，210( 1 ) 接 用 A(电学法 )与 B(混合法 )两种方法来研究冰的潜热，样品都是 的冰块，下列数据是每克冰从 变成 的过程中吸收的热量 (卡 /克 )； 方法 A： 法 B： 设每种方法测得的数据都服从正态分布，且他们的方差相等。检验 :0( ) 解： )提出假设211210 : (2)构造统计量 (3)否定域 222 21212121212 (4)给定显著性水平 时，临界值 (5) 22121 ，样本点在否定域内，故拒绝原假设，认为两种方法的总体均值不相等。 有两台机床加工同一种零件，分别取 6 个及 9 个零件侧其口径，数据记为61 , 及921 , ，计算得 9 1 29 16 1 26 1 1 7 2 8 0, 7, 7 8, 4 i ii ii ii i 假设零件的口径服从正态分布，给定显著性水平 ，问是否可认为这两台机床加工零件口径的方法无显著性差异？ 解： 3 5 4 ni (1)提出假设 2221122210 : (2)构造统计量 2122121 (3)否定域 1,11,11,1 21212121212 (4)给定显著性水平 时，临界值 1,1 (5) 1,1 2121 ，样本点在否定域之外，故接受原假设，认为两台机床加工零件口径的方差无显著性影响。 重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中2如下结果 重量法： n=5 次测量，12 0 . 5 % , 0 . 2 0 6 %比色法： n=5 次测量，22 1 . 3 % , 0 . 3 5 8 %假设两种分析法结果都服从正态分布，问 （ i）两种分析方法的精度 （ ） 是否相同？ （ 种分析方法的 均 值 （ ） 是否相同？ （ ） 解：（ i） 1 2 1 1 221 2 122 1 2121 2 1 211H : H :n ( 1 )F =n ( 1 )H F F 1 1( 1 1 ) ( 1 1 )V H 0 . 0 15 , n n 00220提 出 原 假 设 ：对 此 可 采 用 统 计 量在 下 ， （ ， ） ， 我 们 可 取 否 定 域 为V= 此 时 P ( ) =本 题 中 ，111x 2 0 . 5 % , S = 0 . 2 0 6 %5 , y 2 1 , S = 0 . 358%n21 2 122 1 20 . 0 0 50 . 9 9 50 . 0 0 5 0 . 9 9 5n ( 1 ) 5 ( 5 1 ) 0 . 2 0 6 %F = 0 . 3 3 1 1n ( 1 ) 5 ( 5 1 )F 0 6 9 220代 入 上 式 得 ：（ ）（ ）1（ 5 ， 5 ） =5 ， 5 ） = （ 5 ， 5 ） =7 频数 8 16 17 10 6 2 1 0 试问这个分布能看作为泊松分布吗？ （ = 解： 0221122222233224H : ( )!8 1 6 1 0X n 0 1 * 6 * 7 * 26 0 6 0 6 0 6 020 0 . 1 3 5 30!21 2 * 0 . 2 7 0 71!22 2 * 0 . 2 7 0 72!23 1 . 5 * 0 . 23!x X X X X e 0检 验 问 题 为 ： 参 数 为已 知 的 最 大 似 然 估 计 42255226622782 2 2 221030224 * 0 . 0 9 0 24 ! 3245 * 0 . 0 3 6 15 ! 1 5246 * 0 . 0 1 2 06 ! 4 57 1 6 0() ( 8 6 0 * 0 . 1 3 5 3 ) (1 6 6 0 * 0 . 2 7 0 7 ) (1 6 0 * 0 . 0 1 2 0 )6 0 * 0 . 1 3 5 3 6 0 * 0 . 2 7 0 7 6 0 * 0 X X X X P Xn n . 0 1 2 00 . 6 1 4 5 =21210k - 1k - 1,H （ ） = （ 5 ） =）接 受 即 分 布 可 以 看 作 为 泊 松 分 布 。查产品质量时，每次抽取 10 个来检查，共抽取 100 次，记录每 10 个产品中的次品数如下表： 次品数 0 1 2 3 4 5 6 10 频数 35 40 18 5 1 1 0 0 试问生产过程中出现次品的概率能否看作是不变的，即次品数 X 是否服从二项分布？( ) 解： 提出假设0H： 1参数 p 的极大似然估计为： 0 0/010401350 p ki np 2212 ,6 4 故在置性水平 下接受 0H ，认为次品数服从二项分布。 一批滚珠中随机抽取了 50 个 ， 测得他们的直径为 （ 单位 ： : 否可认为这批滚珠直径服从正态分布？ ( 解： 2123( ) ,H : ( ) ( )H 0 . 1 8 3 3( ) ( - 1 . 1 1 6 3 ) 0 . 1 3 2 1 0 . 4 2 8 21 4 . 8 1 5 . 0 7 8p ( ) ( - 1 . 1 1 6 3 ) ( - 0 . 6 4 9 2 ) ( - 1 . 1 1 6 3 ) 0 . 1 2 6 00 . 4 2 8 2 020设 为 滚 球 的 直 径 ， 其 分 布 函 数 为 则 检 验 问 题 为在 成 立 的 条 件 下 ， 参 数 ， 的 最 大 似 然 估 计 为 = . 1 1 5 . 0 7 8( ) ( - 0 . 6 4 9 2 ) ( 0 . 0 5 1 4 ) ( - 0 . 6 4 9 2 ) 0 . 2 6 2 40 . 4 2 8 2 45 1 2 3 40 . 9 5201 5 . 4 1 5 . 0 7 8p ( ) ( - 0 . 6 4 9 2 ) ( 0 . 7 5 2 0 ) ( 0 . 0 5 1 4 ) 0 . 2 5 3 50 . 4 2 8 2p 1 0 . 2 2 6 0k - m - 1 2k - m - 1,p p p 221） = （ ） =） = 认 为 滚 珠 直 径 服 从 正 态 分 布 。表 3i 1( , ) 2() 1 (0,6 5 13 14 ) 12 查 339 名 50 岁以上吸烟习惯于患慢性支气管炎病的关系，得下表： 吸烟 不吸烟 患慢性支气管炎 43 13 56 未 患慢性支气管炎 162 121 283 205 134 339 患病率 21 问吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率是否有所不同？ ( ) 解： :0炎患病率相同 :1H 吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率不同 对每个对象考察两个指标， X 是否吸烟， Y 是否患病 X 的取值：吸烟，不吸烟； Y 的取值：患病，不患病 要研究吸烟与患慢性支气管炎病是否有关，这是一个 r=s=2 的二元列联表 134,283,205,56,121,162,13,43 2.122211211 21. 对于 ，查表 3 ，所以拒绝0H，认为吸烟者的慢性支气管炎病患病率较高。 列为某种药治疗感冒效果的 3*3 列联表。 年龄 疗效 儿童 成年 老年 显著 一般 较差 58 38 32 28 44 45 23 18 14 128 117 55 109 100 91 300 试问疗效与年龄是否有关 ( ？ 解： 2X X Y 131 2 3设 为 年 龄 儿 童 成 年 老 年为 疗 效 显 著 一 般 较 差2221 1 1 1 1 12111 )( 1 )j i jr s r s r j i j i ji j i n p n n nn p 0 i p i = 1 , 2 , 3 j = 1 , 2 , 3 即 X 与 独 立本 题 选 择 的 统 计 量 为代 入 数 据 得 ：221 - 0 . 9 52 2 21 - 0 . 9 50381 3 . 5 8 6 2( ( 1 ) ( 1 ) ) ( 4 ) 9 . 4 8 8( ( 1 ) ( 1 ) ) ( 4 ), 2 2 2 2 2 22 2 25 8 3 2 2 8 4 4 4 5= 3 0 0 ( + + + + +1 0 9 * 1 2 8 1 0 0 * 1 2 8 9 1 * 1 2 8 1 0 9 * 1 1 7 1 0 0 * 1 1 7 9 1 * 1 1 72 3 1 8 1 4+ + + 0 9 * 5 5 1 0 0 * 5 5 9 1 * 5 5=拒 绝 认 为 疗 效 与 年 龄 有 关 。动机床加工轴，从成品中抽取 11 根，并测得它们直径（单位： 下： 检验这批零件的直径是否服从正态分布？ ( 0 . 0 5 , )W 用 检 验 解： 为了便于计算，列表如下：这里 n=11。表 3k ()1 )( 1 ) ( )n k () 0122()1112()15k ( 1 2 ) ( )i = 1: H :()()( ) 0 . 3 8 2 11 0 . 5 2 6 4 a ( ) = 0 . 5 6 0 X ( 1 ) ( 2 ) ( n )n2k ( n + 1 - k ) ( k )k=1总 体 服 从 正 态 分 布 总 体 不 服 从 正 态 分 布将 观 察 值 按 非 降 次 序 排 列 成 ：X X 采 用 的 统 计 量 为 ：a X 0 . 0 50 . 0 501 * 0 . 6 4 + 0 . 3 3 1 5 * 0 . 4 5 + 0 . 2 2 6 0 * 0 . 2 9 + 0 . 1 4 2 9 * 0 . 2 3 + 0 . 0 6 9 5 * 0 . 1= 0 . 6 1 3 00 . 6 1 3 0W = 0 3 40 . 3 8 2 1W 0 . 8 5,所 以接 受 认 为 这 批 零 件 的 直 径 服 从 正 态 分 布 。 D 检验法检验例 解： :01H 维尼纶纤度不服从正态分布 为了便于计算，统计量 D 的分子可以换成与其相等的形式： 10121 21 定义统计量： 对于给定的显著性水平 ，查表得 ,由于212 接受0H，认为维尼纶纤度服从正态分布 3 两种材料的灯丝制造灯泡，今分别随机抽取若干个进行寿命试验，其结果如下： 甲（小时）： 1610 1650 1680 1700 1750 1720 1800 乙（小时）： 1580 1600 1640 1640 1700 试用秩和检验法检验两种材料制成的灯泡的使用寿命有无显著差异 ( ？ 解：将两组数据按从小到大的次序混合排列如下表所示，其中第一组的数据下边标有横线。 1212F ( ) ( ) ,: F ( ) F ( )x F 设 两 个 总 体 的 分 布 函 数 分 别 为 与 它 们 都 是 连 续 函 数 ， 但 均 为 未 知 。我 们 要 检 验 的 原 假 设 为 ：号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数据 1580 1600 1610 1640 1640 1650 1680 1700 1700 1720 1750 1800 这里 1700 两组都有，排在第 8，第 9 位置上，它的秩取平均数（ 8+9)/2=这里1 2 20 . 0 5 0 . 0 507 5 , ,1 2 4 5 8 . 5 2 0 . 51 3 2 2 , 4 322,n n T 2( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )(1)取 即 T= 表 查 得 T T T 求 未 知 参 数 的 极 大 似 然 估 计 值 按 公 式计 算 点 的 分 布 函 数 值 ， 在 列 表 计 算 值 。() )( ; ) () 1)() 0 ( )()( ; )()( 1)0 ( )()( ; ) 30 1 60 1 20 1 380 1 520 1 660 1 770 1 100 1 320 1 350 1 650 1 2 , 0 . 1 01 2 , 0 . 1 00S 2 . 2 1 0 8 , 0 . 1 0 9 S 1 . 6 5SS, 由 表 可 知 给 定 显 著 水 平 ， 查 附 表 得拒 绝 既 不 认 为 故 障 时 间 服 从 指 数 分 布 。 10 台电机组成的机组进行工作，在 2000 小时中有 5 台发生故障，其故障发生的时间为： 1350 965 427 1753 665 试问这些电机在 2000小时前发生的故障时间 500小时的指数分布？( ) 解： :01H 故障时间不服从指数分布 求未知参数 的极大似然估计值为 10325151 i 10320 1, 计算 计算算过程见下表： ,0 ,0 65 1 65 1 350 1 750 1 计 表知 给定的置性水平 下， 查表得 * 23.1 ，故接受0H，认为服从平均寿命为 1500 小时的指数分布 察某台仪器的无故障工作时间 12 次，的数据如下： 28 42 54 92 138 159 169 181 210 234 236 265 试问无故障工作时间是否服 从指数分布？ ( ) 解： :0H 无故障工作时间服从指数分布 :1H 无故障工作时间不服从指数分布 求未知参数 的极大似然估计值为： i 6 6 00 1, 计算 计算算过程见下表： ,0 ,0 2 1 4 1 2 1 38 1 59 1 69 1 81 1 10 1 34 1 36 1 65 1 计 表知 给定的置性水平 下，查表得 *2* 65.1 ，故拒绝0H，认为无故障工作时间不服从指数分布 20 台电子设备进行 3000 小时的寿命试验，共发生 2 次故障，故障时间为： 340 430 560 920 1380 1520 1660 1770 2100 2320 2350 2650 试问在显著性水平 下，故障时间是否服从指数分布？ 解： :0H 故障时间服从指数分布 :1H 故障时间不服从指数分布 求未知参数 的极大似然估计值： 1500121121 i 1 5 0 00 1, 计算