信号分析与处理课后习题答案

1 信号分析与处理课后习题答案 第五章 快速傅里叶变换 0次复加需要 10来就散 N=1024点的 ： （ 1）直接计算需要多少时间？用 （ 2）照这样计算，用 算快速卷积对信号进行处理是，估计可实现实时处理的信号最高频率？ 解： 分析：直接利用 算：复乘次数为 加次数为 N( 利用 算：复乘次数为20.5 加次数为2 （ 1） 直接 算： 复乘所需时间 221 5 0 1 0 2 4 5 0 5 2 . 4 2 8 8T N u s u s s 复加所需时间2 ( 1 ) 1 0 1 0 2 4 ( 1 0 2 4 1 ) 1 0 1 0 . 4 7 5 5 2T N N u s u s s 所以总时间12 6 2 . 9 0 4 3 2D F T s 算： 复乘所需时间3 2 20 . 5 l o g 5 0 0 . 5 1 0 2 4 l o g 1 0 2 4 5 0 0 . 2 5 6T N N u s u s s 复加所需时间4 2 2l o g 1 0 1 0 2 4 l o g 1 0 2 4 1 0 0 . 1 0 2 4T N N u s u s s 所以总时间为34 0 . 3 5 8 4 T s （ 2） 假设计算两个 N 长序列1()计算过程为如下： 第一步：求1()()需时间为 2二步：计算12( ) ( ) ( )X k X k X k，共需要 N 次复乘运算 所需时间为 5 0 1 0 2 4 5 0 0 . 0 5 1 2T o N u s u s s 第三步：计算 ( ( ) k ，所需时间为 3 0 . 3 5 8 4 0 . 0 5 1 2 1 . 1 2 6 4 T o s s s 容许计算信号频率为 N/T=.设 x(n)是长度为 2N 的有限长实序列， ()x(n)的 2 2 （ 1）试设计用一次 ) （ 2）若已知 ()设计用一次 x(n)的 2 解： 本题的解题思路就是 想。 （ 1） 分析 2N 点的 下 在始于分别抽取偶数点和奇数点 x(n)得到两个 N 长的实序列 x1(n)和 x2(n); X1(n) = x(2n), n = 0,1, , 2(n) = x(2n+1), n = 0,1, , 据 思想，只要球的 x1(n)和 x2(n)的 N 电 经过简单的一级蝶形运算就可得到 x(n)的 2N 点的 为 x1(n)和 x2(n)均为实序列，所以根据 共轭对称性，可以用一次 N 点 得 X1(k)和 X2(k)。具体方法如下： 令 y(n) = x1(n) + n) Y(k) = y(n), k = 0,1, , X1(k) = x1(n) = k) = (k)+Y*( X2(k) = n) = k) = (k) 2N 点得 x(n) = X(k)可由 X1(k)和 X2(k)得到 1 2 21 2 2( ) ( ) ( ) , 0 , 1 , , 1( ) ( ) ( ) , , 1 , , 2 1k X k W X k k NX k X k W X k k N N N 这样，通过一次 N 点 算就完成了计算 2N 点 然由 Y(k)求 x1(k)和 X2(k)需要相对小的额外计算量。 （ 2） 分析 2N 点的 换，如下 与 (1)相同，设 X1(n),x2(n),X1(k),X2(k); n,k = 0,1, , 应满足关系式 1 2 21 2 2( ) ( ) ( ) , 0 , 1 , , 1( ) ( ) ( )k X k W X k k NX k N X k W X k 由上式可解出 122( ) 0 . 5 ( ) ( ) ( ) 0 . 5 ( ) ( ) k X k X k NX k X k X k N W 由以上分析可得出计算过程如下 : 1 由 X(k)计算出 X1(k)和 X2(k),即 122( ) 0 . 5 ( ) ( ) ( ) 0 . 5 ( ) ( ) k X k X k NX k X k X k N W 2 由 X1(k)和 X2(k)构成 N 点频域序列 Y(k) Y(k) = X1(k) +k) = k) + k) 其中 k) = X1(k)， k) = k),进行 N 点 到 ( ) ( ) R e ( ) I m ( ) , 0 , 1 , , 1y n I F F T Y k y n j y n n N 3 由 共轭对称性知 12R e ( ) 0 . 5 ( ) * ( ) ( ) ( )I m ( ) 0 . 5 ( ) * ( ) ( ) ( )n y n y n I D F T Y k x ny n y n y n I D F T Y k j x n 3 由 x1(n)和 x2(n)合成 x(n) 1 ( ) ,2()12 ( ) ,2 6点时域抽选输入倒序、输出顺序基 2意 解： 4 第 6 章 无限长冲激响应（ 字滤波器 ( ) 3 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( ) 5 ( 1 )y n y n y n x n x n 请画出该系统的直接型、级联型和并联型结构。 解： （ 1）直接 结构： x ( n )y ( n )5- 3- 2（ 2）直接 结构： x ( n ) y ( n )5- 3- 2（ 3）级联型结构： 111 2 1 1( ) 1 5 1 1 5( ) *( ) 1 3 2 1 1 2Y z z z z z z z x ( n )5- 2- 1y ( n )（ 4）并联型结构 1134() 1 2 1Hz 5 - 1y ( n )4- 3x ( n )- 22 设系统的系统函数为 1 1 21 1 21 1 3 . 1 7 41 0 . 2 1 1 . 4 5z z z z z 试画出该系统的级联型结构。 解： 1 1 21 1 21 1 3 . 1 7 4() 1 0 . 2 1 1 . 4 5z z z z z x ( n ) y ( n )3 . 1 7- 1 . 4- 5111- 40 . 23 设计一个模拟巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率 3pf 通带最大衰减 3p ，阻带截止频率 12sf 阻带最小衰减 50s 。求系统函数 解： （ 1）求阶数 N 。 0 . 1 0 . 30 . 1 51 0 1 1 0 1 0 . 0 0 3 21 0 1 1 0 1 6 332 1 2 1 0 42 3 1 0 带入 N 的计算公式得 ： l g 0 . 0 0 3 2 4 . 1 4l g 4N ， 所以 取 N =5 （ 2）求归一化系统函数 阶数 N =5 直接查表可得到 5 阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数 5 4 3 213 . 2 3 6 1 5 . 2 3 6 1 5 . 2 3 6 1 3 . 2 3 6 1 1p p p p p （ 3） 去归一化，由归一化系统函数 32 3 1 0 /cp r a d s ， 因此 55 4 2 3 3 2 43 . 2 3 6 1 5 . 2 3 6 1 5 . 2 3 6 1 3 . 2 3 6 1 1c c cH s H ps s s s s 带入c的值即可。 4设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率 3pf 通带最大衰减 3p ，阻带截止频率 12sf 阻带最小衰减 50s 。求系统函数 解： （ 1）确定滤波器技术指标： 3p ， 32 6 1 0 /r a d s 50s ， 32 2 4 1 0 /r a d s 1p ， 4 （ 2） 求阶数 N 和 7 1sA r c h r c h 0 . 110 . 11 0 1 3 1 6 . 9 7 81 0 1 3 1 6 . 9 7 8 3 . 1 2 6 84A r c r c h，为 满足指标要求，取 4N 0 . 11 0 1 0 . 9 9 7 6p （ 3）求归一化系统函数 1112 7 . 9 8 0 8a p p p 其中，极点 2 1 2 1s i n c o s , 1 , 2 , 3 , 422k c h j c h 1 1 1 1 = 0 . 2 2 0 84 0 . 9 9 7 6A r s h A r s 1 0 . 2 2 0 8 s i n 0 . 2 2 0 8 c o s 0 . 3 9 2 1 0 . 9 4 6 588p c h j c h j 2 330 . 2 2 0 8 s i n 0 . 2 2 0 8 c o s 0 . 9 4 6 5 0 . 3 9 2 188p c h j c h j 3 550 . 2 2 0 8 s i n 0 . 2 2 0 8 c o s 0 . 9 4 6 5 0 . 3 9 2 188p c h j c h j 4 770 . 2 2 0 8 s i n 0 . 2 2 0 8 c o s 0 . 3 9 2 1 0 . 9 4 6 588p c h j c h j （ 4） 将 得实际滤波器系统函数 8 4444117 . 9 8 0 8 7 . 9 8 0 8k s H ps p s s 其中 36 1 0 , 1, 2 , 3 , 4k p k ks p p k 。因为 *4 1 3 2,p p p p，所以 *4 1 3 2,s s s s。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。带入即可得到相应结果。 5 模拟滤波器的系统函数为 2132Hs ，试分别采用冲激响应不变法和双线性变换法将其转换成数字滤波器 解：（ 1）冲激响应不变法（设抽样间隔为 可以求出 121, 2所以 11112N ii s s s 1121111111z e z（ 2）双线性变换法 （设抽样间隔为 11211211112 2 1 2 221212 1 2 132114 6 2 4 8 4 6 21s s s z H z T T z T T 6 假 设 某 模 拟 滤 波 器 系 统 函 数 个 低 通 滤 波 器 ， 并 且 有9 11z H s ，数字滤波器 明原因。 （ 1） 0( ) 低 通 ； （ 2） () 高 通 ； （ 3）除 0和 以外的某一频率（带通）。 解： 方法 1： 按题意可写出 11z H s 故 c o 11s i o j 即 co 原模拟低通滤波器以 0 为通带中心， 由上式可知， 0 时，对应于 ，故答案为（ 2）。 方法 2： 找出对应于 0 的数字频率 的对应值即可。 令 1z ，对应于 1 ，应有 0 ，则 11111 s H 对应的不是模拟低通滤波器； 令 1z ，对应 1 ，应有 ，则 10 ，即 0 对应 ，将模拟低通中心频率 0 映射到 处，所以答案为（ 2）。 方法 3： 直接根据双线性变换法设计公式及模拟域低通到高通频率变换公式求解。 双线性变换设计公式为： 112 1 2 111 z H s 10 当 2T 时， 11zH z H z ，这时，如果 如果将 1hH s H s 则可将 1111111zs zh h zs z H s H 这正是题中所给变换关系，所以数字滤波器 11zH z通带中心位于 ，故答案为（ 2）。 7 设计数字低通滤波器，要求通带内频率低于 时，允许幅度误差在 1率在 的阻带衰减大于 10采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，采用冲激响应不变法进行转换，抽样间隔为 解： 本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下： 0采用冲激响应不变法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为： ， ， 0（ 1）求滤波器的阶数 N 及归一化系统函数 11 N 取 5N 。所以其归一化低通原型为： 4010 9 5 1 9 0.0 *31 5 8 1 9 0.0 12 p 将 40k 4 2 5 8 ， ， 1 1 3 9 4 2 5 8 （ 2）去归一化求的相应的模拟滤波器系统函数 我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以由式 s 2 10 求的 3止频率c。 sr a s /012 4040 k 中 ,。 （ 3）用冲激不变法将 换成数字滤波器系统函数 12 40 11k 计数字高通滤波器，要求通带截止频率 0 ，通带衰减不大于 3带截止频率 0 ，阻带衰减不小于 11采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计。 解： （ 1）确定数字高通滤波器技术指标： ， ， 1 （ 2）确定相应模拟高通滤波器技术指标。由于设计的是高通数字滤波器，所以应选用双线性变换法，所以进行预畸变校正求模拟高通边界频率（假定采样间隔 ）： sr a dT a a ， sr a a ， 1 （ 3）将高通滤波器指标转换成模拟低通指标。高通归一化边界频率为（本题）： 1 通指标为： 11 ， ， 1 （ 4）设计归一化低通 10110 110 13 ，取 2N 查表得归一化低通 ： 1212 （ 5）频率变换，求模拟高通 222 2 6）用双线性变换法将 换成 21 2111 81 章 字滤波器 1 2( ) ( 1 3 ) ( 1 6 2 )H z z z z ，试分别画出它的直接型结构和级联型结构。 解： （ 1）直接型，如图 7 2 3( ) 1 9 2 0 6H z z z z x ( n )y ( n )1- 92 0- 6（ 2）级联型，如图 74 x ( n )y ( n )- 3- （