《自动控制理论 第2版(夏德钤)》习题答案详解

自动控制理论 第 2 版（夏德钤）习题答案详解 第二章 2求图 2示 络的传递函数。 (a)11111111 22 ，则传递函数为： 2121221212)( )( (b) 设流过 1C 、 2C 的电流分别为 1I 、 2I ，根据电路图列出电压方程： )(1)()()()(1)(2221111)()1()(1 22211 联立三式可消去 )(1 )(2 则传递函数为： 1)(1111)()(222111221212211112 2设图 2运算放大器均为理想放大器，试写出以 (a)由运算放大器虚短、虚断特性 可知：，0， 对上式进行拉氏变换得到 )()()( 0 sU 故传递函数为 sU i 1)( )(0 (b)由运放虚短、虚断特性有： 022 R uR 02 10 联立两式消去0222 0101 i 对该式进行拉氏变换得 0)(2)(2)(2 0101 i 故此传递函数为 )4( 4)( )( 10 R sU sU i(c) 02/2/ 11 0 R uR 21，联立两式可消去0222101 0)(2)(2)(2 011 sU i 4 )4()( )( 110 2求图 2以电枢电压电动机的转角 为输出量的微分方程式和传递函数。 解：设激磁磁通ff 恒定 位置随动系统的原理图如图 2示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移 动，用电位器检测负载运动的位移，图中以 c 表示电位器滑动触点的位置。另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以 r 表示）即为该随动系统的参考输入。两电位器滑动触点间的电压差大系数为输入，放大器向直流电动机 M 供电，电枢电压为 u ，电流为 I。电动机的角位移为 。 解： 260232 2示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流 110 设电路中 的 310R ，静态工作点 ，0 。试求在工作点 ),( 00 近 )( dd 的线性化方程。 解： dd 写出图 2示系统的微分方程，并根据力 电压的相似量画出相似电路。 解：分别对物块 1m 、 2m 受力分析可列出如下方程： )()()(1222211122111 、2 得 )()()(1222222111222121 2插了一个温度计的槽。槽内温度为i，温度计显示温度为 。试求传递函数)()(（考虑温度计有贮存热的热容 C 和限制 热流的热阻 R）。 解：根据能量守恒定律可列出如下方程： i 对上式进行拉氏变换得到 R i )()()( 则传递函数为 11)( )( 简化图 2示的系统框图，并求系统的传递函数)( )( 解： (a) 化简过程如下 1 1 R(s) C(s) + + + + C(s) R(s) + _ 2 1 (s) C(s) 2 )(1 113 3 2 1 + _ + _ + C(s) R(s) a) + 1 4 3 + + + _ _ R(s) C(s) b) 图 2传递函数为 )(1 )()( )( 113 213 (b) 化简过程如下 传递函数为 )(1 )()( )( 312432121 4321 2简化图 2示系统的框图，并求系统的传递函数)( )( C(s) R(s) )(1 )( 113 213 (s) + + _ 4 1 2 + R(s) R(s) 22111 3+1 + _ C(s) )(1 )( 312432121 4321 C(s) R(s) _ + 0.7 + + _ R(s) C(s) 图 2解：化简过程如下 系统的传递函数为 3 出图 2示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数)( )( + + s _ _ R(s) C(s) + _ sR(s) C(s) 3 sC(s) R(s) 1 2 3 _ + + + + + R(s) C(s) 图 2统的传递函数为 423212112 3211 2绘出图 2示系统的信号流程图，并求传递函数)( )(11 sR )(22 sR 0)(2 。 解：系统信号流程图如图所示。 题 2统信号流程图 21542142126542122154214213211112图 2示系统的传递函数)( )( + _ C1(s) + 6 1 2 5 + _ + + R2(s) R1(s) C2(s) 图 2： (a) 系统只有一个回环： 1 ， 在节点 )( )(间有四条前向通道，分别为： 1 ， 2 ，3 ， 4 ，相应的，有： 14321 则 cd h g d e fa b cd ia b cd 11)( )(1(b) 系统共有三个回环，因此，122111 111 ， 两个互不接触的回环只有一组，因此 ，2212122112111 在节点 )( )(间仅有一条前向通道：22112111111111 ，并且有11 ，则 1)(1 1)( )( 22121122121 21121 定图 2系统的输出 )( 解：采用叠加原理，当仅有 )(用时，12122211 1)( )( ， 当仅有 )(1 用时，12122212 1)( )( sD ， R(s) _ + 2 2 + + + + + + _ _ D1(s) D3(s) D2(s) C(s) 图 2仅有 )(2 用时，12122223 1)( )( sD ， 当仅有 )(3 212212134 1)( )( 根据叠加原理得出 1212231212212214321 1 )()()()()()()()()( 第三章 3系统的传递函数为 2222)()( 求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。 解：当输入为单位斜坡响应时，有 )( ， 21)( 所以有 2222 12)( 分三种情况讨论 （ 1）当 1 时， 221221222,1111212122 2）当 10 时， 22222,11ar ct a i 3）当 1 时， 2,1设系统为单位反馈系统 ,有 22 2 2s 系统对单位斜坡输入的稳态误差为 22212220 3求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。系统的开环传递函数为 （ 1）)21)(50)( （ 2）)( （ 3）)102( )41)(21()( 22 4）)2004()( 2 1） 0)()(0)(000 （ 2） 0)(000 （ 3）10)(000 ； （ 4） 0)(00)(000 单位反馈系统的开环传递函数为 )10)( 系统的给定稳态误差级数。 （ 1）0)( ，（ 2） ，（ 3） 2210 21)( 解：首先求系统的给定误差传递函数 (1 1)( )( 2 ss 误差系数可求得如下 0)0)1.0(1）0)( ，此时有 0)()(,)(0 ，于是稳态误差级数为 0)(0 0t （ 2） ，此时有 0)(,)(,)(110 ，于是稳态误差级数为 110 )( ， 0t （ 3）2210 21)( ，此时有 12210 )(,21)( ，2)( ，于是稳态误差级数为 )(!2)()( 21210 ， 0t 3单位反馈系 统的开环传递函数为 )10)( ，求此系统的给定稳态误差级数。 解：首先求系统的给定误差传递函数 5 0 (1 1)( )( 2 ss 误差系数可求得如下 232220220222001200050098)000)001.0(55则稳态误差级数为 o i o i 3 统的框图如图 3计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。如在输入端加入一比例微分环节（参见图 3试证明当适当选取 统跟踪斜坡输入的稳态误差可以消除。 解：系统在单位斜坡输入下的稳态误差为：2 ，加入比例 微分环节后 22 ，可使 03位反馈二阶系统 ，已知其开环传递函数为 )2()(2 C(s) )2(2b) R(s) 图 3 _ )2(2R(s) C(s) a) + _ 从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图 3示。经测量知， 096.0pM，。试确定传递函数中的参量 及 n 。 解：由图可以判断出 10 ，因此有 221%1 0 0)1e x p (代入 096.02.0 3 馈控制系统的框图如图 3求 （ 1）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。 （ 2）整个系统的特征方程为 0464 23 求三阶开环传递函数 )(使得同时满足上述要求。 解：设开环传递函数为 32213)()( sR 根据条件（ 1） 0)(11 03k； 根据条件（ 2） 0464)( 23 知： 41k ， 62 k ， 4K 。 所以有 6442 3单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为 )(如要求 （ 1）由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于 （ 2）三阶系统的一对主导极点为 11, 21 。 求同时满足上述条件的系统开环传递函数 )( 解：按照条件（ 2）可写出系统的特征方程 02)22()2()(22()(1)(1( 232 G(s) R(s) C(s) + _ 图 3上式与 0)(1 较，可得系统的开环传递函数 )22()2( 2)( 2 根据条件（ 1），可得 2 解得 1a ，于是由系统的开环传递函数为 432)( 2 3知单位反馈控制系统的开环传递函数为 )1()( 试求在 下列条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。 （ 1） , （ 2） ,1 （ 3） , 解：系统单位阶跃响应的象函数为 )1()()()( 2 （ 1）将 ， 1 ， ，为欠阻尼系统，因此得出 %46 %)2(86.7 ， %)5(90.5 s （ 2）将 1K ， 1 s 代入式中可求出 1， ，为欠阻尼系统，因此得出 % %)2(8 s， %)5(6s （ 3）将 ， 1 s 代入式中可求出 ， ，过阻尼，无最大超调量。因此只有 15 3统的框图如图 3示，试求当 a=0 时 ,系统的之值。如要求，是确定 a 的值。 （ 1）当 a=0时， 则系统传传递函数为828)( 2 其中 228 n， 22 n，所以有 。 （ 2）n不变时，系统传函数为8)28( 8)( 2 求 ，则有)14(22 ，所以可求得求得 25.0a 。 3已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析 z=1 的零点对系统单位脉冲响应和单位阶跃响应的影响。 1. 单位脉冲响应 (a) 无零点时 0,1s 2 n （ b）有零点 1z 时 0,111s i 22 2 ta r c t n 比较上述两种情况，可见有零点 1z 时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生相移，相移角为 112 。 2单位阶跃响应 (a) 无零点时 0,11s i 1 222 ta r ct （ b）有零点 1z 时 0,11s i 22 2 ta r c t n 加了 1z 的零点之后，超调量 3位反馈控制系统的框图如图 3示。假设未加入外作用信号时，系统处 于零初始状态。如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何必然存在超调现象？ 单位反馈控制系统的框图如图 3示。假设未加入外作用信号时，系统中存在比例 11 ，当误差信号 0，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故系统输出继续增长，知道出现 0，比例 此，系统的响应必然存在超调现象。 3述系 统，如在 常量时，加于系统的扰动 阶跃函数形式，是从环节及物理作用上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？如扰动 斜坡函数形式，为何扰动稳态误差是与时间无关的常量？ 在 常量的情况下，考虑扰动 系统的影响，可将框图重画如下 图 题 3统框图等效变换 1121222 根据终值定理，可求得 单位阶跃函数时，系统的稳态误差为 0， 单位斜坡函数时，系统的稳态误差为 11K 。 从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个 积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。 3知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。 （ 1）劳斯表有 30303604238101234 （ 2）劳斯表有 282104221101234斯阵列第 一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。 （ 3）劳斯表有 101210106610911631012345斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。 （ 4）劳斯表有 4344312846269348510123456辅助方程 462 24 求得系统的两对共轭虚数极点 2; 4,32,1 。 3据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的 K 值的范围。 （ 1） K0 时 ,系统稳定。 （ 2） K0 时，系统不稳定。 （ 3） 0 s=s); G=1/(s*(1+s)2); 2); 程序执行结果如上，可从图中直接读出所求值。 5根据下列开环频率特性，用 制系统的伯德图，并用奈氏稳定判据判断系统的稳定性。 （ 1）)( 10)()( 令如下： s=s); G=10/(s*(0.1*s+1)*(0.2*s+1); ); 如图，相角裕度 和增益裕度都为正，系统稳定。 （ 2）)110)( 2)()( 2 令如下： s=s); G=2/(s2)*(0.1*s+1)*(10*s+1); ); 如图，增益裕度无穷大，相角裕度 统不稳定。 5已知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如图所示，试写出系统的开环传递函数，并汇出对应的对数相频曲线的大致图形。 （ a） 解：低频段由 10K 得， 10K =2 1s 处，斜率下降 20dB/s。 由上可得，传递函数 0 相频特性 。 汇出系统的相频特性曲线如下图所示。 （ b） 解：低频段斜率为 应积分环节 =2 1s 处，斜率下降 20dB/s。 在剪切频率 ，2 ，解得 传递函数为：)G c） 低频段斜率为 两个积分环节的叠加21s ； 11 s 处，斜率上升 20dB/应一阶微分环节 12 s ； 12 2 s 处，斜率下降 20dB/)12()( 2 ss 的低频段可用传递函数为 2/描述，则其幅频特性为 2/K 。取对数，得 21 同理， 中斜率为 中频段可用 来描述，则其对数幅频特性为 12 由图有， 0)(2 有 1 。 再看图，由 )()( 1211 可解得 综上，系统开环传递函数为)12( 2 ss 考李友善做法） 系统相频特性： a rc rc 曲线如下： 5设系统开环频率特性的极坐标图如图 5示，试判断闭环系统的稳定性 。 (a) 解：系统开环稳定，奈氏图包围（ 0j）点一次， P 0，所以闭环系统不稳定。 (b) 解：正负穿越各一次， P=2（ N+=0，闭环系统稳定。 (c) 闭环系统稳定。 (d) 闭环系统稳定。 5据系统的开环传递函数)1(2()(s ） 绘制系统的伯德图，并确定能使系统稳定之最大 值范围。 解： 0 时，经误差修正后的伯德图如图所示。 ，在剪切频率处系统的相角为 a r c r c 由上式，滞后环节在剪切频频处最大率可有 相角滞后，即 解得 。因此使系统稳定的最大 值范围为 。 5已知系统的开环传递函数为 )31)(1()( ）试用伯德图方法确定系统稳定的临界增益 K 值。 解：由 11 知两个转折频率 d /1,/31 21 。令1K ，可绘制系统伯德图如图所示。 确定 180)( 所对应的角频率g。由相频特 性表达式 a r c r c 可得 解出 7 3 在伯德图中找到 ，也即对数幅频特性提高 系统将处于稳定的临界状态。因此 5根据图 5 )( 伯德图求传递函数 )( 解：由 ) 知 1K ； 由 )1( 知 1 是惯性环节由11 从 1 增大到 10， )(L 下降约 可确 定斜率为 20 ，知系统无其他惯性环节、或微分环节和振荡环节。 由 0) 和 83)1( 知系统有一串联纯滞后环节 。系统的开环传递函数为 1 s 由 831801)1( a rc 。 可 确 定 系 统 的 传 递 函 数 为 s 第六章 6试求图 6示超前网络和滞后网络的传递函数和伯德图。 解：（ a），超前网络的传递函数为 1 德图如图所示。 题 6前网络伯德图 （ b），滞后网络的传递函数为 11 德图如图所示。 题 6后网络伯德图 6试回答下列问题，着重从物理概念说明： （ 1）有源校正装置与无源校正装置有何不同特点，在实现校正规律时他们的作用是否相同？ （ 2）如果 错误 !未找到引用源。 型系统经校正后希望成为 错误 !未找到引用源。 型系统，应采用哪种校正规律才能满足要求，并保证系统稳定 ? （ 3）串联超前校正为什么可以改善系统的暂态性能？ （ 4）在什么情况下加串联滞后校正可以提高系统的稳定程度？ （ 5）若从抑制扰动对系统影响的角度考虑，最好采用哪种校正形式？ 解： （ 1）无源校正装置的特点是简单，但要达到理想的校正效果，必须满足其输入阻抗为零，输出阻抗为无限大的条件，否则很难实现预期效果。且无源校正装置都有衰减性。而有源装置多是由直流运算放大器和无源网络构成，能够达到较理想的校 正效果。 （ 2）采用比例 型转变为 。 （ 3）利用串联超前校正装置在剪切频率附近提供的相位超前角，可增大系统的相角裕度 ，从而改善系统的暂态性能。 （ 4）当 减小，相频特性 )( 朝 0 方向变化且斜率较大时，加串联滞后校正可以提高系统的稳定程度。 （ 5）可根据扰动的性质，采用带有积分作用的 串联校正，或采用复合校正。 6某单位反馈系统的开环传递函数为 6418)( 2 1）计算校正前系统的剪切频率和相角裕度。 （ 2） 校正后系统的剪切频率和相角裕度。 （ 3）串联传递函数为1100 110)( 校正后系统的剪切频率和相角裕度。 （ 4）讨论串联超前校正 、 串联滞后校正的不同作用。 解： (1) 用 得校正前 )/ （ 2）串联超前校正后 )/ （ 3）串联滞后校正后 )/0 2 9 2 4 （ 4）串联超前校正装置使系统的相角裕度增大，从而降低了系统响应的超调量。与此同时，增加了系统的带宽，使系统的响应速度加快。 在本题中，串联滞后校正的作用是利用其低通滤波器特性，通过减小系统的剪切频率，提高系统的相角稳定裕度，以改善系统的稳定性和某些暂态性能。 6设控制系统的开环传递函数为 )10( （ 1）绘制系统的伯德图，并求相角裕度。 （ 2） 求校正后系统的相角裕度，并讨