有限元分析基础理论与方法

二 有限元分析基础理论与方法 山东科技大学机电学院 2012.10 李学艺 2 弹性力学的基本理论 (补充 ) 1. 弹性力学中的基本概念 (1) 体力 体力是分布在物体全部体积内的力 ,作用在物体的每一个质点上 ， 如重力、运动物体的惯 性 力和磁力等。为了表明物体内 某点 P所受体力的大小和方向 ,在这一点取物体的一小部分 ， 它包含着 P点 ， 且体积为 V。 (2) 面力 面力是分布在物体表面上的力 ,例如流体压力和接触力 。 (3) 应力 物体受外力作用 。 或由于温度改变，其内部将发生应力。 3 弹性力学的基本理论 (补充 ) (4) 应变 物体在受到外力和温度的作用下将发生变形。为研究物体 内部一点 P的变形情况 ,从 P点处取出一个平行六面微元体开始 研究。由于平行六面微元体三个棱的边长为无穷小量 ,所以在物 体变形后 ,仍然是直边 ,但是三个边的长度和边与边之间的夹角 将发生变化。各边的每单位长度的伸长或缩短量称为线应变 ,用 表示；边与边之间的直角的改变称为 切应变 ,用 表示。 4 弹性力学的基本理论 (补充 ) (5) 主应力 如果过弹性体内任一点 P的某一截面上的切应力等于零 ,则 该截面上的正应力称为该点的主应力 ,主应力作用的这一截面称 为过点 P的一个应力主平面 ,主平面的法线方向 (即主应力的方向 )称为 P点的应力主向。 (6) 主应变 给定应变状态下 ,弹性体内任意一点也存在着三个相互垂 直的应变主轴 ,三应变主轴之间的三个直角变形后仍为直角 (切 应变为零 ),沿三个应变主轴有三个主应变 ,用 1、 2和 3表示。 (7) 位移 物体受力变形过程中 ,其内部各点发生的位置变化称为位 移。位移为矢量。 5 弹性力学的基本理论 (补充 ) 2. 弹性力学中的基本方程 (1) 平衡微方程 反映微分体内力与外力的关系 。 (2) 几何方程 反映弹性体位移与应变的关系 。 *弹性体 在变形中应保持连续 ,即假定假定弹性体由许多微小平 行六面分体构成 ,微小平行六 面 体间不应有空隙 ,也不应重 叠 ,其应变满足变形协调方程。 (3) 物理方程 反映应力与应变的关系。 6 弹性力学的基本理论 (补充 ) (4) 弹性力学问题的解法 位移法 : 取位移分量 u,v,w为基本未知量，先利用位移表 示的平衡微分方程和边界条件求解位移，再利用几何方程求应 变，利用物理方程求应力。 应力法 : 取应力分量为基本未知量。 混合法 ：同时取部分位移分量和应力分量作为基本未知 量。 求解上述方程可知，弹性力学问题在数学上是由偏微分 方程及其边界条件描述的 ,微分方程的建立和求解比较复杂 , 只 有在物体形状和受力较简单的情况下才能获得精确解。为了避 免直接建立和求解这些微分方程的困难 ,提出了弹性力学微分 方程的等价表达形式及其建立方法 ,即能量原理。 7 弹性力学的基本理论 (补充 ) 3. 弹性力学中的能量原理 (1) 应变能 弹性体在受到外载荷作用发生变形的过程中 ,将把克服内力所 做的功作为应变能存储在弹性体内部 ,当外力去除后 ,应变 能做功 ,使弹性体恢复原状 。 (2) 虚位移原理 将理论力学中刚体的虚功原理之推广到弹性体上 ,由于外力会 使弹性体变形 ,因此 ,如果假定不存在热能和动能的改变 ,根 据能量守恒定律 ,当处于平衡状态的弹性体发生体系所允 许的任意微小位移时 ,外力在虚位移上所做的功等于虚位 移发生时引起的弹性体的应变能增量 ,称为虚位移原理 。 8 弹性力学的基本理论 (补充 ) (3) 最小势能原理 最小势能原理可方便地建立弹性体基本未知量位移与外力之 间的关系。一般弹性问题的最小势能原理可表述为 :在满足位移边 界条件的所有可能位移中 ,其中真实位移使系统的势能取最小值。 (4) 里兹法 最小势能原理是利用求取积分问题的最小值将弹性力学的偏 微分方程的求解化为线性方程组的求解 ,而积分方程极值问题的求 解也不易实现。作为一种变分问题 ,可以利用里兹法进行求解。在 1908年 ,里兹提出了一种 “泛函变分的近似计算法 ”,它简化了求解 过程。其基本思德是假定位移函数为级数形式 (富氏级数、幂级数 等 ),且满足有关边界条件 ,但级数中包含一些待定的参数 ai(i=1,2,) 。将之代入积分方程 ,使其成为待定参数 ai的函数。 这样 ,将泛函求极值的变分问题转化为函数求极值的问题 。 9 弹性力学的基本理论 (补充 ) 4. 两类平面问题 任何一个弹性体都是空间物体 ,一般的外力都是空间力系 ,因此 ,任 何一个实际的弹性力学问题都是空间问题，但当所研究的弹性 体有特殊的形状并承受特定的载荷时，就可以把空间问题简化 为近似的平面问题。这样分析和计算的工作量将大大地减少， 而所得到的结果却仍然能满足工程上对精度的要求。根据弹性 体内的应力状态不同 ,平面问题可分为平面应力问题和平面应 变问题两种。在有限元方法中 ,利用平面应力和平面应变单元 来分析弹性力学的平面问题 ,大大简化了有限元建模的复杂性 , 提高了计算效率 。 (1) 平面应力问题； (2) 平面应变问题。 10 弹性力学的基本理论 (补充 ) (1) 平面应力问题 若物体的某一方向的尺寸较另外两个方向的尺寸小得多 ,如 一很薄的等厚平板 ,仅受平行于板面的沿厚度方向均匀分布的面力 ,且体力也平行于板面并且不沿厚度变化 ,此类问题可按平面应力 问题考虑 ，此时垂直板面方向无任何应力。 (2) 平面应变问题 若物体的 长度远大于横向尺寸，且仅受平行于横截面、沿长 度不变的外力作用，则按平面应变问题处理。 11 有限元分析基础理论与方法 （一）有限元分析方法的基本概念 有限元法分析计算的思路和步骤可归纳如下 。 1. 分析模型的定义 根据工程实际结构的形状、尺寸以及受载特点确定分 析问题的 力 学模型 。 2. 连续体的离散化 将连续区域离散为由各种单元组成的计算模型 ,此过程 称为有限 元 网格划分。离散后单元与单元之间利用节 点相互连接起来 ， 有限元法中分析的结构已不是原 有 的 物体或结构物 ,而是由众多单元以一定方式连接而成 的模型。这 样， 用有限元分析计算所获得的结果是近 似的。如果划分单元类型合 理且 数目非常多 ,则所获得 的结果就与实际情况较接近。 12 有限元分析基础理论与方法 3. 单元特性分析 (1)选择位移模式 在有限元法中 ,一般都是选择节点位移作 为未 知量的所 谓 “位移法 ”进行求解。当采用位移法时 ,可 把单元 中的 一些 物理量如位移、应变和应力等由节点位移来表示。此时对 单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以 描述。通常 ,有限元法中将位移表示为单元坐标变量的简单 函数。这种函数称为位移模式或位移函数。通常假定位移 函数为多项式。 (2) 分析单元的力学特性 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置 及其含义等 ， 找出单元节点力和节点位移的关系式 ， 这是 单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何 13 有限元分析基础理论与方法 方程和物理方程来建立力和位移的方程式 ， 从而导出单元刚 度矩阵 ， 这是有限元法的基本步骤之一。设节点载荷列阵用 Fe表示 ， 节点位移列阵用 qe表示 ： 则单元的力和位移的方 程式为 Fe=kqe （ 1） 式中 k 单元刚度矩阵。 (3)计算等效节点力 物体被离散后，假定力是通过节点从一个单元传递到另 一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边 界传递到另一个单元的。因而，需要把作用在单元边界上的 表面力、体积力或集中力都等效地移到节点上，即用等效的 节点力来代替所有作用在单元上的力。 14 有限元分析基础理论与方法 4. 单元组装 由上述获得的单元刚度矩阵和单元等效节点载荷列阵 组装成表示整个结构的结构刚度矩阵和结构载荷列阵 ， 从而建立起整个结构已知量 (总节点载荷 )和整个物 体未知量 (总节点位移 )的关系式 。 设总刚度矩阵为 、 总载荷列阵为为 F， 整个连续体的节点位移为 q， 三者 之间构成整体平衡方程式 ， 即 F=kq （ 2） 5. 求解平衡方程式 考虑边界条件和初始条件 ， 求解上述联立方程组 ， 获 得节点的位移值。可根据方程的具体特点来选择合适 的计算方法 。 15 有限元分析基础理论与方法 （二）结构静力的有限元分析 1. 单元特性推导 有限元分析的基本步骤之一就是要导出所划分单元的 刚度矩阵 ,一般来说 ,建立刚度矩阵的方法有 : 直接法 ; 虚功原理法 ; 能量变分原理方法。 直接 方法 是直接应用物理 概念来建立单元的有限元方 程和分析单元特性的一种方法 。该 方法仅用于简单形状的 单元 ,如梁单元。但它可以帮助理解有限元法的物理概念。 虚功原理 是理论力学的一个基本原理 ,既可解决线形力 学问题 ,也可用于一切非线性力学问题。最小势能原理只是 虚功原理对弹性体导出的一种表述形式。 能量变分原理 方法是从势能的泛函表达式出发进行变 分求极值的结果。能量变分原理方法的应用范围可以方便 16 有限元分析基础理论与方法 地扩大到机械结构位移以外的其他不含非线性的领域。如 求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 本课程 简要介绍用 虚功 原 理 法推导单元刚度矩阵的过 程 ,以平面问题中的三角形单元为例 进 行 。 (1) 位移函数设定 对于弹性力学的平面问题 ， 一个节点具有 2个自由度 , 即节点 有 沿 x轴及 y轴的 2个位移分量 ,故图 1所示三角形单 元有 6个自 由度，即 6个位移分量。设三角形单元内的位移 函数为 :d=(u(x,y) v(x,y)T，当单元很小时 ,单元内一点 的位移可以通过节点的位移插值来表示。可假设单元内位 移为 x,y的线性函数 ,且具有 6个待定系数 a1a6。即 17 有限元分析基础理论与方法 图 1 三角形单元 a) 三角形单元节点位移 b)三角形单元节点力 18 有限元分析基础理论与方法 （ 3） 或写成矩阵形式 （ 3a） 19 有限元分析基础理论与方法 在 i、 j、 k三点有 （ 3b） 或写成矩阵 （ 3c） 20 有限元分析基础理论与方法 为了能用单元节点位移 qe表示单元内某点位移 d，即表 达成节点位移插值函数的形式，应从上式中解出 a=C-1qe。 其中 C逆 阵为 式中 A 三角形面积 21 有限元分析基础理论与方法 为使面积 A不为负值，图 1种的 i,j,k的顺序按逆时针方向标 注。 将 a=C-1qe=代入到式 (3a)中，得 22 有限元分析基础理论与方法 相乘后得 (4) 23 有限元分析基础理论与方法 或写成 (4a) 可简写为 d=Nqe (4b) 式中 (4c) 式中， Ni、 Nj、 Nk是坐 标 的 连续 函数，反映 单 元内位移分 布状 态 ，称 为 位移的形 态 函数。 N称 为 形函数矩 阵 。 Ni、 Nj、 Nk为 24 有限元分析基础理论与方法 (4d) 插值函数的性质如下： （ a）插值函数在节点上的值有 (5) 上式表明，在节点 i上，根据式 (4a)， 应 有 u(xi,yi)=ui，其它 两个形函数同样如此 。 （ b）在单元的任一点处，三个形函数之和等于 1,即 25 有限元分析基础理论与方法 (6) 因为若单元发生刚体位移 ,如 x方向有刚体位移 u0， 则单 元内 (包括节点上 )到处应有位移 u0 ，即 ui= uj= uk= u0，由 式 (4b)有 因此，必然要求 Ni(x,y)+Nj(x,y)+Nk(x,y)=1。若函数插 值 不 满 足此要求， 则 不能反映 单 元的 刚 体位移，用以求解 则 得不到正确的 结 果。 （ c）单元插值函数是线性的，在单元内部及边界上位 移也是线性的，可由节点的位移唯一确定。由于公共边界 上的位移完全由两个公共节点位移所确定，所以相邻单元 的位移是连续的。 26 有限元分析基础理论与方法 为 了 能保证有限元法得到正确解 ,构造出的单元位移函 数必须 满 足一定的条件 ,以使得当单元划分越来越细 ,网格越 来越密时 ,所 得的解答能收敛于实际问题的精确解 。 条件 1 构造出的位移函数必须在单元内连续 ,且在相 邻 单元的 公共边界 上协调 。后者意味着变形后相邻单元之间既 不互相脱离 (开裂 ),也不相互侵 入 (重叠 )。 条件 2 位移函数中必须包含单元的刚体位移的 常数项 ，以反映刚形位移。 条件 3 位移函数中必须含有 单元常应变 的一次项。当 单元的尺寸越来越小时，单元内各点应变趋于相等。当单元 尺寸 无限小时 ,应变逼近于常量 ,即单元处于常应变状态。 因 此 位移函数中就应包括一次项 ,因为一次项求导后为常数 。 27 有限元分析基础理论与方法 (2) 求应变 由弹性力学知， 或写成矩阵形式 28/36 (7) 有限元分析基础理论与方法 29 有限元分析基础理论与方法 (3) 求应力 根据虎克定律，平面问题的应力 式中，对于平面问题有 (8) (9) 30 有限元分析基础理论与方法 (4) 求单元的刚度矩阵 根据虚功原理，当结构受载荷作用处于平衡状态时， 在任意给出的节点虚位移下，外力（节点力） Fe及内力 所做的虚功之和应等于零，即 (10) 现给单元节点任意虚位移 qe=(ui vi uj vj uk vk)T,则 单元内各点将产生相应的虚位移 u， v和虚应变 x, y, z ，它们都为坐标 x,y的函数。可分别按式 (4b)和式 (7)求得 (11) (12) 31 有限元分析基础理论与方法 求单元节点力的虚功： (13) 再求内力虚功： (14) (15) 式中， V单元体积。 将式 (12)和式 (8)代入到式 (14)中，得到 式中 , qeT和 qe可视为常值 ,将其移出积分号之外 ,即 32 有限元分析基础理论与方法 (15a) (16) (17) 考虑到虚位移的任意性 ,可以将式 (16)中两边的 qeT消除 ,得 或 式中 , 将式 (13)和式 (15a)代入到虚功方程 ,得 (17a) (17b) 将前述的 B和 D 矩阵代入到式 (17b)中，可得到平面应 33 有限元分析基础理论与方法 (18) 式中 ,分块阵的表达式为 式中 ,t单元厚度。 力 问题 三角形 单 元 刚 度矩 阵 的分 块 表达式 为 (18a) 将式 (18)代入到式 (17a)中并展开得 34 有限元分析基础理论与方法 (19) 2. 总刚度矩阵的形成 通 过单 元分析得到了 单 元特性方程 Fe=Keqe,根据此式 还 不能求出 qe。因 为 Fe是 单 元之 间 的作用力 ,属于内力 ,是 未知的，而通常知道的是 结 构所受的外力。由于内力成 对 出 现 ,它 们 大小相等 ,方向相反 ,因此 ,如果将每个 单 元 的特性方程叠加 ,便能消除 这 些成 对 的内力 ,最 终 只剩下 已知的外力 ,而 单 元的 刚 度 则 集成 为 整体 刚 度。 这 也就是 由 单 元 刚 度形成 总刚 的目的。 35 有限元分析基础理论与方法 单元分析时已对单元的每一个节点建立了平衡方程。 如式 (19)中的第一式表明单元中节点 i上的节点力等于该单 元三个节点 i、 j、 k的位移在节点 i上所引起的节点力的叠加 。这是一个单元对它的一个节点的节点力。而整体结构是 由多个单元所组成的 ,即一个节点往往为几个单元所共有 , 则这个节点上的节点力就应该是共有这个节点的几个单元 的所有节点位移在该节点上引起的节点力叠加总和。结构 平衡时 ,每个节点也是平衡的。设作用在节点 i上的载荷为 Ri ,则节点 i处的平衡方程为 。 (20) 将式 (19)的第一式代入到式 (20)中 ,得 36 有限元分析基础理论与方法 对于结构中的所有节点，则有 (21) (22) 式中 n节点总数。 将式 (22)记为 式中， q=(q1， q2 ， ， qn)T，是由所有 节 点的位移分量 组 成的列 阵 ； R=(R1， R2， ， Rn)T，是由所有作用在 节 点上的 载 荷 组 成的列 阵 ； K是要求的 总刚 度矩 阵 ，表达式 为 (23) 37 有限元分析基础理论与方法 式 (23a)为整个结构的平衡方程，称为有限元方程或 刚度方程。 (23a) 3. 载荷转移 在式 (23)中载荷列阵 R的元素为作用在节点上的外载 荷，是集中力。但结构上的载荷除了集中力之外，往往还有 分布的面力和体力，不可能只作用在节点上，另外，即使是 集中力也不一定刚好作用在节点上，因此，需要将这些载荷 转换为节点载荷 ,即将载荷向节点移置。 载荷移置遵循能量等效原则，即原载荷与移置载荷产生 的节点载荷在虚位移上所做的功相等。对于给定位移的函数 ， 38 有限元分析基础理论与方法 这种移置的结果是唯一的。 在线形位移函数情况下，也可以按静力等效原则进行移 置。 载荷移置是在结构的局部区域内进行的。根据圣维南原 理 ,这种移置可能在局部产生误差 ,但不会影响整个结构的力 学特性。 (1) 集中力的移置 集中力的移置是面力和体力的基础。如图 2所示 ,设平面 单元 e中某一点 (x,y)作用集中力 Pc 设 Pc移置后产生的等效节点载荷为 39 有限元分析基础理论与方法 如果节点发生虚位移 qe,则单元内任一点位移为 集中力 Pc所做的虚功为 40 有限元分析基础理论与方法 等效节点载荷所做的虚功为 根据能量等效原则 ,有 由于虚位移是任意的，可以从上式两边同时约去，故有 或 由上两式可见，载荷移置的结果仅与单元形函数有关， (24) (24a) 41 有限元分析基础理论与方法 当形函数确定后，移置的结果是唯一的。 (2) 面力的移置 设厚度为 t的平面单元单位面积上作用的面力为 Ps (psx, psy)T,如 图 3所示。并将微元面 积 dA=tdl上的面力 PsdA视为集 中力，利用式 (24)并积分，可得与面力等效的移置节点载荷 为 或 (25) (25a) 42 有限元分析基础理论与方法 根据形函数的特点，在 ij边上有 Nk=0，所以 。因此在 ij 边上作用的面力只能移置到该边的两个节点上。 (3) 体力的移置 设单元体积内作用的体力为 Pv (pvx, pvy)，若将微元体 tdxdy上的体力 Pv tdxdy视为 集中力， 则 利用式 (24)并 积 分， 可得与体力等效的移置 节 点 载 荷 为 或 (26) (26a) 43 有限元分析基础理论与方法 一般情况下 ,由叠加原理 ,一个 单 元上 总 的 节 点 载 荷 应 为 上述三种 载 荷移置 结 果之和 ,即 若是一个 节 点与多个 单 元相 连 ,则节 点 载 荷 应为 所有相 关 单 元向 该节 点移置的 载 荷的叠加。因此 ,对 于整个 结 构而 言 ,有 式中， ne结构的单元数量。 (28) (27) 44 有限元分析基础理论与方法 4. 约束处理 在没有 计 入 约 束条件之前 ,结 构在外力作用下 ,会 产 生 刚 体运 动 ,总刚 度矩 阵 是奇异的 ,因而 ,无法求解平衡方 程 获 得 节 点位移 值 。故必 须对结 构