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压轴题放缩法技巧全总结 本资料为 woRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需 要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综 合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴 题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解 策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入 剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主 要有以下几种： 一、裂项放缩 例 1.求的值; 求证:. 解析:因为,所以 因为,所以 技巧积累: 例 2.求证: 求证: 求证: 求证： 解析:因为,所以 先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可 以得到答案 首先,所以容易经过裂项得到 再证而由均值不等式知道这是显然成立的， 所以 例 3.求证: 解析: 一方面:因为,所以 另一方面: 当时,当时, 当时, 所以综上有 例 4.设函数.数列满足 设，整数.证明:. 解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列, 故 若存在正整数,使,则, 若,则由知, 因为,于是 例 5.已知,求证: . 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证, 即等价于, 即等价于 而正是成立的,所以原命题成立. 例 6.已知,求证:. 解析: 所以 从而 例 7.已知,求证: 证明: , 因为 ,所以 所以 二、函数放缩 例 8.求证：. 解析:先构造函数有,从而 cause 所以 例 9.求证: 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答 案 函数构造形式: , 例 10.求证: 解析:提示: 函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数, 首先:,从而, 取有, 所以有,相加后可以得到: 另一方面,从而有 取有, 所以有,所以综上有 例 11.求证:和.解析:构造函数后即可证明 例 12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式: 例 13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以 例 14.已知证明. 解析: , 然后两边取自然对数,可以得到 然后运用和裂项可以得到答案) 放缩思路： 。于是， 即 注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒 思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放 缩： ， 即 例 16.已知函数若 解析:设函数 函数）上单调递增，在上单调递减.的最小值为， 即总有 而 即 令则 例 15.已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. 求证：函数上是增函数； 当； 已知不等式时恒成立， 求证： 解析:,所以函数上是增函数 因为上是增函数,所以 两式相加后可以得到 相加后可以得到: 所以 令,有 所以 所以 又,所以 三、分式放缩 姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之. 例 19.姐妹不等式:和 也可以表示成为 和 解析:利用假分数的一个性质可得 即 例 20.证明: 解析:运用两次次分式放缩: 相乘,可以得到: 所以有 四、分类放缩 例 21.求证: 解析: 例 22.在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线（0）上的点列满足，直线 在 x 轴上的截距为.点的横坐标为,. 证明4，;证明有，使得对都有. 解析:依题设有：，由得： ,又直线在轴上的截距为满足 显然，对于，有 证明：设，则 设，则当时， 。 所以，取，对都有： 故有成立。 例 23.已知函数，若的定义域为1，0，值域也为 1，0.若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正 常数 A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。 解析:首先求出, , ,故当时, 因此，对任何常数 A，设是不小于 A 的最小正整数， 则当时,必有. 故不存在常数 A 使对所有的正整数恒成立. 例 24.设不等式组表示的平面区域为, 设内整数坐标点的个数为.设, 当时,求证:. 解析:容易得到,所以,要证只要证,因为 ,所以原命题得证 五、迭代放缩 例 25.已知,求证:当时, 解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论 例 26.设,求证:对任意的正整数 k,若 kn 恒有: |Sn+kSn|1n 解析: 又 所以 六、借助数列递推关系 例 27.求证: 解析:设则 ,从而 ,相加后就可以得到 所以 例 28.求证: 解析:设则 ,从而 ,相加后就可以得到 例 29.若,求证: 解析: 所以就有 七、分类讨论 例 30.已知数列的前项和满足证明：对任意的整数，有 解析:容易得到, 由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论： 当且为奇数时 （减项放缩） ，于是 当且为偶数时 当且为奇数时 （添项放缩）由知由得证。 八、线性规划型放缩 例 31.设函数.若对一切， ，求的最大值。 解析:由知 即 由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为 因此对一切，的充要条件是， 即，满足约束条件， 由线性规划得，的最大值为 5 九、均值不等式放缩 例 32.设求证 解析:此数列的通项为 ， ， 即 注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放 缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！ 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不 等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。 例 33.已知函数，若，且在0，1上的最小值为，求证： 解析: 例 34.已知为正数，且，试证：对每一个，. 解析:由得，又，故，而， 令，则=，因为，倒序相加得=， 而， 则= ，所以 ，即对每一个，. 例 35.求证 解析:不等式左 =， 原结论成立. 例 36.已知,求证: 解析: 经过倒序相乘,就可以得到 例 37.已知,求证: 解析: 其中:,因为 所以 从而,所以. 例 38.若,求证:. 解析: 因为当时,所以,所以,当且仅当时取到等号. 所以 所以所以 例 39.已知,求证:. 解析:. 例 40.已知函数 f=x2k2lnx.k 是奇数,nN* 时, 求证:fn2n1f2n. 解析:由已知得， 当 n=1 时，左式=右式=0.不等式成立. ,左式= 令 由倒序相加法得： ， 所以 所以综上，当 k 是奇数，时，命题成立 例 41.（XX 年东北三校）已知函数 （1）求函数的最小值，并求最小值小于 0 时的取值范 围； （2）令求证： 例 42.已知函数,.对任意正数,证明： 解析:对任意给定的,由, 若令 ，则 ,而 （一） 、先证；因为， ， ， 又由 ，得 所以 （二） 、再证；由、式中关于的对称性，不妨 设则 （） 、当，则，所以，因为 ， ，此时 （） 、当，由得,， ， 因为 所以 同理得，于是 今证明 ,因为 ， 只要证 ，即 ，也即 ，据，此为显然 因此得证故由得 综上所述，对任何正数，皆有 例 43.求证: 解析:一方面: 另一方面: 十、二项放缩 , 例 44.已知证明 解析: ， 即 45.设，求证：数列单调递增且 解析:引入一个结论：若则（证略） 整理上式得（） 以代入（）式得 即单调递增。 以代入（）式得 此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为 数列单调递增，所以对一切正整数有。 注：上述不等式可加强为简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有对通项作如下放缩： 故有 上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题 的背景：已知是正整数，且（1）证明；（2）证明（01 年 全国卷理科第 20 题） 简析对第（2）问：用代替得数列是递减数列；借鉴此 结论可有如下简捷证法：数列递减，且故即。 当然，本题每小题的证明方法都有 10 多种,如使用上 述例 5 所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造 “分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮 的解决！详见文1。 例 46.已知 a+b=1,a0,b0,求证： 解析:因为 a+b=1,a0,b0,可认为成等差数列， 设， 从而 例 47.设，求证. 解析:观察的结构，注意到，展开得 ，即，得证. 例 48.求证:. 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!) 例 42.已知函数，满足： 对任意，都有； 对任意都有. （I）试证明：为上的单调增函数； （II）求； （III）令，试证明：. 解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. 运用抽象函数的性质判断单调性: 因为,所以可以得到, 也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调 增函数. 此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,尝试探索看看按中的不 等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了! 由可知,令,则可以得到 ,又,所以由不等式可以得到,又 ,所以可以得到 接下来要运用迭代的思想: 因为,所以, , 在此比较有技巧的方法就是: ,所以可以判断 当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还 可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以 得到结论. 所以,综合有= 在解决的通项公式时也会遇到困难. ,所以数列的方程为,从而, 一方面,另一方面 所以,所以,综上有 . 例 49.已知函数 fx的定义域为0,1， 且满足下列条件： 对于任意0,1，总有，且；若则有 （）求 f0的值；（）求证： fx4； （）当时，试证明：. 解析:（）解：令，由对于任意0,1，总有， 又由得即 （）解：任取且设 则 因为，所以，即 . 当0,1时，. （）证明：先用数学归纳法证明： （1） 当 n=1 时， ，不等式成立； （2） 假设当 n=k 时， 由 得 即当 n=k+1 时，不等式成立 由（1） 、 （2）可知，不等式对一切正整数都成立. 于是，当时， ， 而0,1，单调递增 所以， 例 50.已知： 求证： 解析:构造对偶式：令 则 又 （ 十一、积分放缩 利用定积分的保号性比大小 保号性是指，定义在上的可积函数，则. 例 51.求证：. 解析: ， ， 时， ， ， ，. 利用定积分估计和式的上下界 定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的 面积，现在用它来估计小矩形的面积和. 例 52.求证：，. 解析:考虑函数在区间 上的定积分. 如图，显然- 对求和， . 例 53.已知.求证：. 解析:考虑函数在区间 上的定积分. - . 例 54.（XX 年全国高考江苏卷）设，如图，已知直线 及曲线：，上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于 轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的 横坐标构成数列. （）试求与的关系，并求的通项公式； （）当时，证明； （）当时，证明. 解析:（过程略）. 证明（II）：由知，. 当时， ， . 证明（）：由知. 恰表示阴影部分面积， 显然 . 奇巧积累:将定积分构建的不等式略加改造即得“初等” 证明，如： ； ； ； . 十二、部分放缩 例 55.求证: 解析: 例 56.设 求证： 解析: 又（只将其中一个变成，进行部分放缩） ， ， 于是 例 57.设数列满足，当时 证明对所有 有； 解析: 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则 当时 ，成立。 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质 也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论 十三、三角不等式的放缩 例 58.求证:. 解析:当时, 当时,构造单位圆,如图所示: 因为三角形 AoB 的面积小于扇形 oAB 的面积 所以可以得到 当时 所以当时有 当时, ,由可知: 所以综上有 十四、使用加强命题法证明不等式 同侧加强 对所证不等式的同一方向进行加强.如要证明,只要证 明,其中通过寻找分析,归纳完成. 例 59.求证:对一切,都有. 解析: 从而 当然本题还可以使用其他方法,如: 所以. 异侧加强 双向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时, 不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺 利解决原不等式.其基本原理为: 欲证明,只要证明:. 例 60.已知数列满足:,求证: 解析: ,从而,所以有 ,所以 又,所以,所以有 所以 所以综上有 引申:已知数列满足:,求证: . 解析:由上可知,又,所以 从而 又当时,所以综上有. 同题引申:已知数列,. 记,.求证:当时. ; ; . 解析:,猜想,下面用数学归纳法证明: 当时,结论成立; 假设当时,则时, 从而,所以 所以综上有,故 因为则, ,相加后可以得到: ,所以 ,所以 因为,从而,有,所以有 ,从而 ,所以 ,所以 所以综上有. 例 61.已知数列的首项, 证明:对任意的,; 证明:. 解析:依题,容易得到,要证, 即证 即证,设所以即证明 从而,即,这是显然成立的. 所以综上有对任意的, ,原不等式成立 由知，对任意的，有 取， 则 原不等式成立 十四、经典题目方法探究 探究 1.已知函数.若在区间上的最小值为, 令.求证:. 证明:首先:可以得到.先证明 所以 因为,相乘得: ,从而. 设 A=,B=,因为 AB,所以 A2AB, 所以,从而. 下面介绍几种方法证明 因为,所以,所以有 ,因为,所以 令,可以得到,所以有 设所以, 从而,从而 又,所以 运用数学归纳法证明: 当时,左边=,右边=显然不等式成立; 假设时,则时, , 所以要证明,只要证明,这是成立的. 这就是说当时,不等式也成立,所以,综上有 探究 2.设函数.如果对任何，都有，求的取值范围 解析:因为,所以 设,则, 因为,所以 当时, 恒成立,即,所以当时, 恒成立. 当时,因此当时,不符合题