吉林省长春市2017届高三第二次模拟考试数学试题（理）含答案

长春市普通高中 2017 届高三质量检测（二） 数学试卷（理科） 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 且只有一项符合题目要求 . 0 , 1 , 2 , | 2 , y y x A ，则 A. 0,1,2 B. 1,2 C. 1,2,4 D. 1,4 ，则下列命题中正确的是 . 2z ； 1 ； . z 的虚部为 i ； z 在复平面上对应的点位于第一象限 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 是奇函数又在上单调递增的函数是 A. B. C. D. 2 224 关于直线 33称的圆的方程是 A. 2 23 1 4 B. 222 2 4 C. 22 24 D. 221 3 4 国古代数学名词，其三视图如图所示 .九章算术中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为 2丈，长为 18 丈 6 尺，高为 2 丈 5 尺，问它的体积是多少？”（注：一丈 =十尺），答案是 A. 25500 立方尺 B. 34300 立方尺 C. 46500 立方尺 D. 48100 立方尺 中， D 为三角形所在平面内一点，且 1132A D A B A C，则 A. 16B. 13C. 输出结果为 A. 1008 B. 1009 C. 2016 D. 2017 s i n 3 14 ，下列叙述有误的是 A. 其图象关于直线4x 对称 B. 其图像可由 2 s i n 14 图象上所有点横坐标变为原来的 13倍得到 C. 其图像关于点 11 ,012对称 1,3 017 年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是 A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高 B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降 C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州 D. 平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 形 圆心角为 120 ，点 P 在弦 ，且 13B，延长 弧 点 C，现向扇形 投一点，则该点落在扇形 A. 14B. 13C. 27D. 的渐近线方程为 233，一个焦点为 0, 7F ，点 2, 0A ，点 P 为双曲线第一象限内的点，则当点 P 的位置变化时， 周长的最小值为 A. 8 B. 10 C. 4 3 7 D. 3 3 17 的函数 1,1 ，且对 ,都有 2 ，则不等式 2l o g 2 3 1 3 l o g 3 1 的解集为 A. , 0 0,1 B. 0, C. 1, 0 0, 3 D. ,1 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . x . 14. 将 1,2,3,4正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第 10 行左数第 10 个数 为 . 15. 某班主任准备请 2016 年毕业生作报告，要从甲、乙等 8 人中选 4人发言，要求甲、乙两人至少一人 参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有 （种） .（用数字作答） 的底面为矩形，平面 平面 C 于点 E ，1 , 6 , 3 , 2E C A B B C P E ，则四棱锥 P 的外接球半径为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 算过程 . 17.（本题满分 12 分） 已知数列 113 , 3 1 .2 a a n N （ 1）若数列 2，求证： （ 2）若数列 2l o g ,n n n nc a T c c c ，求证： 1 18.（本题满分 12 分） 为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效的改良玉米品种，为农民提供技术支 得茎叶图如右图（单位：厘米），设茎高大于或等于 180 厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米 . （ 1）完成 22 列联表，并判断是 否可以在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？ （ 2） 按照分层抽样的方式，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽取 9 株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为 X ，求 X 的分布列（概率用组合数算式表示）； 若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机抽取出 50 株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差 . 19.（本题满分 12 分） 已知三棱锥 A 中， 是等腰直角三角形，且 , 2 ,A C B C B C A D 平面, D （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若 E 为 中点，求二面角 A 的余弦值 . 20.（本题满分 12 分） 已知抛物线 2: 2 0C y p x p与直线 2 4 0 相切 . （ 1）求该抛物线的方程； （ 2）在 x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点 M,过该点的动直线 l 与抛物线 C 交于 A,得2211M为定值 出点 M 的坐标；如果不存在，请说明理由 . 21.（本题满 分 12 分） 已知函数 21 1 l n , x x a x a x a R （ 1）若 ，求 a 的值； （ 2）若 证：请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分 . 22.（本题满分 10 分）选 修 4坐标与参数方程 在平面直角坐标系 ，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 223 s i n 1 2，曲线2 c o （ t 为参数） , 0, （ 1）求曲线1判断该曲线是什么曲线； （ 2）设曲线2,B， 1,0P ,当 72B时，求 的值 . 23.（本题满分 10 分）选修 4 等式选讲 （ 1）如果关于 x 的不等式 15x x m 的解集不是空集，求实数 m 的取值范围； （ 2）若 ,证： a b b aa b a b . 长春市普通高中 2017 届高三质量监测（ 二 ） 数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. B 2. C 3. D 4. D 6. B 7. A 8. C 9. D 10. A 11. B 12. A 简答与提示： 1. 【命题意图】 本题考查集合中元素的计算与交集的运算 . 【试题解析】 B 题意可知， 1,2, 4B ， 1, 2. 故选 B. 2. 【命题意图】 本题考查复数的 模、共轭复数、 虚部与复数与平面内点的对应关系 . 【试题解析】 C 由已知， 正确， 错误 . 3. 【命题意图】 本题考查 函数的单调性与奇偶性知识 . 【试题解析】 D A、 B 选项为偶函数，排除， C 选项是奇函数，但在 (0, ) 上不是单调递增函数 . 4. 【命题意图】 本题考查 直线与圆的相关知识 . 【试题解析】 D 圆 22( 2 ) 4 31, 3) ，从而所求圆的方程为 22( 1 ) ( 3 ) 4 故选 D. 5. 【命题意图】 本题主要 考查空间几何体的体积 . 【试题解析】 C 由已知 ， 堑堵的体积为 1 2 0 1 8 6 2 5 4 6 5 0 02 . 故选 C. 6. 【命题意图】 本题 主要考查利用平面向量确定点的位置进而解决平几问题 . 【试题解析】 B 由已知， 点 D 在 的中位线上，且为靠近 的三等分点处，从而有 12， 13 ， 1 1 1( 1 )2 3 6B C D A B C A B S ，有13 . 7. 【命题意图】 本题考查直到型循环结构程序框图运算 . 【试题解析】 A 有已知， 0 1 2 3 4 2 0 1 5 2 0 1 6 1 0 0 8 S . 8. 【命题意图】 本题考查 三角函数的有关性质 . 【试题解析】 C 由已知， 该函数图象关于点 11( ,1)12对称 . 9. 【命题意图】 本题主要考查 考试对统计图表的识别 . 【试题解析】 D 由 图可知 D 错误 . 10. 【命题意图】 本题 主要考查几何概型 . 【试题解析】 A 设 3则 3 3 , 3A B A P ，由余弦定理可求得 3有 30 所以扇形 面积为 34，扇形 面积为 3 ，从而所求概率为 3 1434 . 11. 【命题意图】 本题考查双曲线定义的相关知识 . 【试题解析】 B 由已知 双曲线方程为 22143设双曲线的上焦点为 F ，则| | | | 4P F P F ， 周长为 | | | | | | | | 4 | | 3 P F P A A F P F P A，当 P 点在第一象限时， | | | | A 的最小值为 | | 3 故 周长的最小值为 12. 【命题意图】 本题是考查导数 在研究函数单调性上的应用 . 【试题解析】 A 令 ( ) ( ) 2F x f x x，有 ( ) ( ) 2 0 F x f x ，所以 () 1)1( f ，得 (1 ) (1 ) 2 3 因为2 2( l o g | 3 1 | ) 3 l o g | 3 1 | l o g | 3 1 | ) 2 l o g | 3 1 | 3 令2lo g | 3 1 | ( ) 2 3f t t ， 则 有 1t ，即2lo g | 3 1 | 1x， 从而 | 3 1| 2x ，解得 1,x 且 0x . 故选 A. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 2 1291 15. 1080 16. 2 简答与提示： 13. 【命题意图】 本题考查定积分的求解 . 【试题解析】 2 2 21 11 1 1( ) ( l n ) 12 2 2 2 ee x e ex d x 14. 【命题意图】 本题考查考生有关数列归纳的相关能力 . 【试题解析】 由三角形数组可推断出，第 n 行共有 21n 项，且最后一项为 2n ，所以第 10 行共 19 项，最后一项为 100， 左数第 10 个数是 91. 15. 【命题意图】 本题考查 排列组合综合 问题 . 【试题解析】 若甲乙同时参加，有 2226 2 22 1 2 0C A 甲乙有一人参与，有 1 3 42 6 4 960C C 而总共的发言顺序有 1080 种 . 16. 【命题意图】 本题考查 四 棱锥的外接球问题 . 【试题解析】 如图， 由已知， 设三角形 接圆圆心为1O，由正弦定理 可 求出三角形 接圆半径为 102， F 为 中点，进而求出1 12四 棱锥的外接球 球心为 O ，外接球半径的平方为 221( ) 42 F，所以四棱锥外接球 半径为 2 . 三、解答题 17. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】 本题考查 等比 数列及利用不等式性质证明与数列前 有关的不等式 . 【试题解析】 (1) 由题可知 *1 113 ( ) ( )22 N a n， 从而有1 3 11 12 以 为首项， 3 为公比的等比数列 . （ 6 分） (2) 由 (1)知 13 而 1 13211331l o g ( 3 ) l o g 3 12 12 ( 1 )0 1 2 1 2 nn c c c n， 所以 ( 1)2n （ 12 分） 18. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】 本小题主要考查学生对概率 统计 知识的理解，以及统计案例的相关知识，O O 1F 【试题解析】 解： (1) 根据统计数据做出 22 列联表如下： 抗倒伏 易倒伏 合计 矮茎 15 4 19 高茎 10 16 26 合计 25 20 45 经计算 7 7 6 5k ，因此 可以在犯错误概率不超过 1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关 . （ 4 分） (2) (i) 按照分层抽样的方式抽到的易倒伏玉米共 4 株，则 X 的可能取值为 0,1,2,3,4. 416420( 0 ) ， 134 1 6420( 1 ) ， 224 1 6420( 2 ) ， 314 1 6420( 3 )， 44420( 4 ) 即 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 4164206420 224 16420 314 16420在抗倒伏的玉米样本中，高茎玉米有 10 株，占 25，即每次取出高茎玉米的概率均为 25，设取出高茎玉米的株数为 ，则 2(50, )5B，即 25 0 2 05E n p ，23( 1 ) 5 0 1 255D n p p . （ 12 分） 19. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】 本题以三 棱锥 为载体，考查 平面与平面垂直，求二面角问题等 . 本题考 查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 . 【试题解析】 （ 1） 证明：因为 平 面 ,面 所以 C ，又因为 ,A C B C A C A D A，所以 面 ,面 所以平面平面 （ 6 分） （ 2） 由已知 可得 3图所示建立空间直角坐标系，由已知 (0,0,0)C ， (0,2,0)B ， ( 3, 0,1)A ，( 3, 0, 0)D ， 31( ,1, )22E . 有 31( ,1, )22( 3 , 0 ,1) ( 3 , 0 , 0 )设平面 法向量 ( , , )n x y z ，有 300 ,310 022 E x y z，令 1x ，得 (1, 0 , 3 )n ， 设平面 法向量 ( , , )m x y z ，有 300 ,310 022 E x y z，令 1y ，得(0,1, 2)m ，二面角 A 的余弦值 | | 2 3 1 5c o | | | 25 .（ 12 分） 20. (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】 本小题考查 直线与抛物线 的 位置关系及 标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力 . 【试题解析】 (1) 联立方程有 ，22 4 02 p x，有 2 2 2 8 0 y p y p，由于直线与抛物线相切，得 28 3 2 0 , 4 p p p，所以 2 8 （ 4 分） (2) 假设存在满足条件的点 ( , 0 )( 0 )M m m ，直线 : l x ty m ，有2 8x ty 8 8 0 y ty m ，设 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，有 1 2 1 28 , 8 y y t y y m，2 2 2 2 21 1 1| | ( ) ( 1 )A M x m y t y ， 2 2 2 2 22 2 2| | ( ) ( 1 )B M x m y t y ，22 2122 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 21 1 1 1 1 1 4( ) ( )| | | | ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 4yy B M t y t y t y y t m ，当 4m 时，2211| | | |A M B M 为定值，所以 (4,0)M . （ 12 分） zy (本小题满分 12 分 ) 【命题意图】 本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力 . 【试题解析】 (1) ( ) 1 af x x 为 ()，所以 (1) 0 f ，即 2 2 0 , 1 检验符合题意，所以 1a . （ 4 分） (2) ( ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) x x a x 当 0a 时， ( ) 0 成立，所以 ()0, ) 上为增函数，不符合题意； 当 0a 时，由 ( ) 0 当 ( ) 0 所以 () 当 0( ) 0 所 () 所以当 ()又因为 ()以 ( ) 0即 21 ( 1 ) l n 02 a a a a 2 作 ()y f x 关于直线 ) ( 2 )g x f a x， 令 2( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) 2 2 l n x g x f x f a x f x a x ) 2 2 0( 2 ) ( )x x x a a 所以 ()0,2 )a 上单调递增， 不妨设12x a x，则2( ) ( ) 0h x h a， 即2 2 2 1( ) ( 2 ) ( ) ( ) g x f a x f x f x， 又因为212 ( 0 , ) , ( 0 , ) , a x a x ) , )a 上为减函数， 故212 a x x，即122