吉林省2017届高三第五次摸底考试数学试题（理）含答案

吉林省 2017 届高三第五次摸底考试数学（理）试题 考试时间： 120 分钟 试卷满分： 150 分 命题人： 审题人：数学组 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 ， 考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 米黑色字迹的签字笔书写，字体工整 、笔迹清楚。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不 得 折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第 卷（选择题 60 分） 一、选择题 （本大题包括 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中， 只 有一项 是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） （ 1） 若集合 2 | 5 4 0 | 3 A x x x B x x N ， ，则 （ A） ( 1 3) ， （ B） 1 2， （ C） 0 3)， （ D） 0 1 2， ， （ 2） 复数2i （ i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数 （ A） 1( 2 )2 ，（ B） 1( 2)2 ，（ C） ( 2) ， （ D） 1( + )2 ，（ 3） 在 梯形 ， 3C ， 则 于 （ A） 1233D（ B） 2433D（ C） 23 D（ D） 23 D（ 4） 等差数列 前 n 项和为 且 5261， ，则公 差 d 等于 （ A） 15（ B） 35（ C） 65（ D） 2 （ 5） “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明 勾股圆方图 ” 中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个 边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 （ A） 312（ B） 32（ C） 434（ D） 34（ 6） 考拉兹猜想又名 31n 猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1；如果它是偶数，则对它除以 终都能得到 行相应程序，输出的结果 i （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7 （ 7） 某 三棱锥 的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则三棱锥的体积 为 （ A） 32 （ B） 32 7 （ C） 16 7 （ D） 64 7 （ 8） 已知 满足约束条件 20626 ，则目标函数 442yz x 的最大值为 （ A） 6 （ B） 5 （ C） 2 （ D） 1 第 （ 6）题 第 （ 7）题 2 结束 开始 10 1， 1?a 31 ？ a 是奇数？ 输出 i 10 8 27 正视图 侧视图 俯视图 （ 9） 以下四个命题中是假命题的是 （ A） “昆虫都是 6 条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有 6 条腿 ”此推理属于演绎推理 . （ B） “在平面中，对于三条不同的直线 a ， b ， c ，若 ， 则 ，将此结论放到空间中也成立 ” 此推理属于 合情 推理 . （ C） “a 0 ”是 “函数 ( ) x ax x 存在极值 ”的必要不充分条件 . （ D）若 (0 2x ， 则 2x的最 小 值为 22. （ 10） 如图，南北方向的公路 l ， A 地在公路正东 2， B 地在 A 东偏北 30 方向 2 3流沿岸曲线 任意一点到公路 l 和到 A 地距离相等现要在曲线 一处 两地运货物，经测算，从 M 到 A 、 M 到 B 修建费用都为 a 万元/那么，修建这条公路的总费用最低是（ ）万元 （ A） (2 3)a （ B） 2( 3 1)a （ C） 5a （ D） 6a （ 11） 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的 A B C D， ， ， 四个家庭各有两个小孩共 8 人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4 名（乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置），其中 A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来否否 是是 否否 2 结束开始10 1，1?a31a 是奇数是是 输出 （ A） 18种 （ B） 24 种 （ C） 36 种 （ D） 48 种 （ 12） 设函数 ()定义域为 D ，如果 x D y D ， ，使得 ( ) ( )f x f y 成立，则称函数 ()“ 函数” . 给出下列四个函数： ； 2 ； 11y x ； , 则其中“ 函数”共有 （ A） 1 个 （ B） 2 个 （ C） 3 个 （ D） 4 个 第 卷（非选择题，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题、 23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题（ 本大题包括 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上 ） （ 13） 函数 x x的单调递增区间为 （ 14） 6(3 2 )的展开式中的第 3 项的二项式系数为 （用数字作答） （ 15） 已知命题 :P 对任意的 21 2 0x x a， ， ，命题 :Q 存在 2 2 2 0x x a x a R ， ，若命题“ P 且 Q ”是真命题，则实数 a 的取值范围是 _ （ 16） 已知数列 等比数列，且 2 22 0 1 5 2 0 1 7 0 a ，则 2 0 1 6 2 0 1 4 2 0 1 8()a a a 的最小值 为 三、解答题 （本大题包括 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （ 17） （本小题满分 12 分） 在 中， ， 分别是角 A B C， ， 的对边，且 co s 2a c . （ ） 求角 B 的大小； （ ） 若 1 3 4b a c ， ，求 的面积 . （ 18） （本小题满分 12 分） 在四边形 ，对角线 D， 垂直相交于点 O ，且 43O A O B O D O C ，. 将 沿 到 的位置，使得二面角 E 的大小为 90 （如图）已知 Q 为 中点，点 P 在线段 ，且 2 （ ） 证明：直线 /面 （ ） 求直线 平面 成角 的正弦值 （ 19） （本小题满分 12 分） 班主任为了对本班学生的考试成绩进行 分析，决定从全班 25 位女同学， 15位男同学中随机 抽取一个容量为 8 的样本进行分析 . （）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少； （）随机抽取 8 位 同 学 ， 数 学 成 绩 由 低 到 高 依 次 为 ：6 0 6 5 7 0 7 5 8 0 8 5 9 0 9 5， ， ， ， ， ， ，； 物理成绩由低到高依次为： 7 2 7 7 8 0 8 4 8 8 9 0 9 3 9 5， ， ， ， ， ， ，若规定 90 分（含 90 分）以上为优秀，记 为这 8 位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求 的分布列和数学期望 . （ 20） （本小题满分 12 分） 已知 12是椭圆 22+ 1 ( 0 )xy 的左、右焦点， O 为坐标原点，点 2( 1 )2P ，在椭圆上，线段 2 y 轴的交点 M 满足2 M0 （ ） 求椭圆的标准方程； （ ）圆 O 是以 12直径的圆，一直线 :l y kx m与 圆 O 相切，并与椭圆交于不同的两点 A 、 B ，当 B ，且满足 2334 时，求 的面积 S 的取值范围 P A B Q D E O （ 21） （本小题满分 12 分） 设 ( 4 ) 31x a x ，曲线 ()y f x 在点 (1 (1)f， 处的切线与直线 10 垂直 . （）求 a 的值； （）若对于任意的 1 ) ( ) ( 1 )x f x m x ， ， 恒成立，求 m 的取值范围； （）求证：1l n ( 4 1 ) 1 6 ( )( 4 1 ) ( 4 3 ) *N . 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如 果多做，则按所做的第一题计分 （ 22） （本小题满分 10 分） 选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，抛物线 C 的方程为 2 44 （ ） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （ ） 直线 l 的参数方程是 （ t 为参数）， l 与 C 交于 两点， | | 8，求 l 的斜率 （ 23） （ 本小题满分 10 分 ） 选修 4 5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 2 1 | | 2 3 |f x x x x R，. （ ） 解不等式 ( ) 5； （ ）若 1()()gx f x m 的定义域为 R ，求实数 m 的取值范围 考试时间： 120 分钟 试卷满分： 150 分 命题人： 审题人：数学组 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 ， 考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出 答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不 得 折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第 卷（选择题 60 分） 一、选择题 （本大题包括 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中， 只 有一项 是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） （ 24） 若集合 2 | 5 4 0 | 3 A x x x B x x N ， ，则 （ A） ( 1 3) ， （ B） 1 2， （ C） 0 3)， （ D） 0 1 2， ， 【答案】 （ D） （ 25） 复数2i （ i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数 （ A） 1( 2 )2 ，（ B） 1( 2)2 ，（ C） ( 2) ， （ D） 1( + )2 ，【答案】 （ A） （ 26） 在 梯形 ， 3C ， 则 于 （ A） 1233D（ B） 2433D（ C） 23 D（ D） 23 D【答案】 （ D） （ 27） 等差数列 前 n 项和为 且 5261， ，则公差 d 等于 （ A） 15（ B） 35（ C） 65（ D） 2 【答案】 （ A） （ 28） “勾 股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明 勾股圆方图 ” 中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形 拼成一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 （ A） 312（ B） 32（ C） 434（ D） 34【答案】 （ A） （ 29） 考拉兹猜想又名 31n 猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1；如果它是偶数， 则对它除以 终都能得到 行相应程序，输出的结果 i （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7 【答案】 （ D） 是 否 2 结束 开始 10 1， 1?a 31 a 是奇数 ？ 是 输出 i 否 10 8 27 正视图 侧视图 俯视图 （ 30） 某 三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则三棱锥的体积 为 （ A） 32 （ B） 32 7 （ C） 16 7 （ D） 64 7 【答案】 （ C） （ 31） 已知 满足约束条件 20626 ，则目标函数 442yz x 的最大值为 （ A） 6 （ B） 5 （ C） 2 （ D） 1 【答案】 （ B） （ 32） 以下四个命题中是假命题的是 （ A） “昆虫都是 6 条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有 6 条腿 ”此推理属于演绎推理 . （ B） “在平面中，对于三条不同的直线 a ， b ， c ，若 ， 则 ，将此结论放到空间中也成立 ” 此推理属于 合情 推理 . （ C） “a 0 ”是 “函数 ( ) x ax x 存在极值 ”的必要不 充分条件 . （ D）若 (0 2x ， 则 2x的最 小 值为 22. 【答案】（ D） （ 33） 如图，南北方向的公路 l ， A 地在公路正东 2， B 地在 A 东偏北 30 方向 2 3流沿岸曲线 任意一点到公路 l 和到 A 地距离相等现要在曲线 一处 两地运 货物，经测算，从 M 到 A 、 M 到 B 修建费用都为 a 万元/那么，修建这条公路的总费用最低是（ ）万元 （ A） (2 3)a （ B） 2( 3 1)a （ C） 5a （ D） 6a 【答案】 （ C） （ 34） 大数据时代出现了滴滴打车服务，二 胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普第 （ 6）题 第 （ 7）题 遍存在，某城市关系要好的 A B C D， ， ， 四个家庭各有两个小孩共 8 人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4 名（乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置），其中 A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆 车，则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一个家庭的乘坐方式共有 （ A） 18种 （ B） 24 种 （ C） 36 种 （ D） 48 种 【答案】 （ B） （ 35） 设函数 ()定义域为 D ，如果 x D y D ， ，使得 ( ) ( )f x f y 成立，则称函数 ()“ 函数” . 给出下列四个函数： ； 2 ； 11y x ； , 则其中“ 函数”共有 （ A） 1 个 （ B） 2 个 （ C） 3 个 （ D） 4 个 【答案】 （ C） 第 卷（非选择题，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题、 23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题（ 本大题包括 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上 ） （ 36） 函数 x x的单调递增区间为 【答案】 3 2 2 ( )44k k k Z，（ 37） 6(3 2 )的展开式中的第 3 项的二项式系数为 （用数字作答） 【答案】 15 （ 38） 已 知命题 :P 对任意的 21 2 0x x a， ， ，命题 :Q 存在 2 2 2 0x x a x a R ， ，若命题“ P 且 Q ”是真命题，则实数 a 的取值范围 是 【答案】 “ 2a 或 1a ” （ 39） 已知数列 等比数列，且 2 22 0 1 5 2 0 1 7 0 a ，则 2 0 1 6 2 0 1 4 2 0 1 8()a a a 的最小值 为 【答案】 22三、解答题 （本大题包括 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （ 40） （本小题满分 12 分） 在 中， ， 分别是角 A B C， ， 的对边，且 co s 2a c . （ ） 求角 B 的大小； （ ） 若 1 3 4b a c ， ，求 的面积 . 【解析】 （ ） 由 co s 2a c c o s s i nc o s 2 s i n s i C 2 s i n c o s c o s s i n s i n c o B C B C 2 s i n c o s c o s s i n s i n c o B C B C 2 s i n c o s s i n ( )A B B C 2 s i n c o s s i A 1 又 0 B ， 所以 23B . 6 分 （ ） 由余弦定理有 2 2 2 2 22 c o s ( ) 2 2 c o a c a c B a c a c a c ，解得 3， 所以 1 3 3s i a c B 12 分 （ 41） （本小题满分 12 分） 在四边形 ，对角线 D， 垂直相交于点 O ，且 43O A O B O D O C ， 将 沿 到 的位置 ，使得二面角 E 的大小为 90 （如图）已知 Q 为 中点，点 P 在线段 ，且 2 （ ） 证明：直线 /面 （ ） 求直线 平面 成角 的正弦值 【解析】 （ ）解法一： 如图，取 中点 R ，连接 R， ，则 /Q ，由题知 42，又 2，故 : 4 :1 :P D B D R，因此 /R ，因为 Q，平面 且 E ， 平面 故 /面 /面 又 Q R ， 故平面 /面 从而 /面 6 分 解法二：以 O 为坐标原点 ， B ， 分别为 x y z， ， 轴建系 ， 由题知 | | 4 2，故 4P ，又 ( 4 4 0 )， ， ，故 ( 1 1 0 )， ， ， P Q D E O 从而 (3 1 0)P ， ， ，又 3(0 0 )2Q ， ，故 3( 3 1 )2 ， ， 设平面 法向量为 ()n x y z ， ， ，易得 ( 4 4 0 )， ， ， (0 4 3) ， ， ， 由 00n E 得 4 4 04 3 0，取 3x 得 (3 3 4 )n ， ， ，因 0n ， 故直线 /面 6 分 （ ）解法一： 由 （ ） 可知 (3 3 4 )n ， ， 为平面 法向量，又 ( 0 8 0 )， ， ，故 2 4 3s i n | c o s | 3 434| | | | 3 4 8n B D n B D ， 12 分 解法二： 由题 5D，取 点 F ，因 D ，故 D ， D ，因此 平 面 ，从而 A D E O E F平 面 平 面 ，过点 O 作 F 于 H ，连 则 平 面 ，从而 ，易知 F ， 3， 22， 故 3 2 2 6 3 41798，因此 3s i n 3 434 12 分 解法三： 由题 5D， 42， 设点 O 到平面 距离为 d ， 则由等体积法可得 114232 112 5 8 4 4 332d ， 故 6 3417d ，因此 3s i n 3 434. 12 分 （ 42） （本小题满分 12 分） 班主任为了对本班学生的 考试成绩进行分析，决定从全 班 25 位女同学， 15位男同学中随机 抽取一个容量为 8 的样本进行分析 . （）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少； （）随机抽取 8 位 同 学 ， 数 学 成 绩 由 低 到 高 依 次 为 ：6 0 6 5 7 0 7 5 8 0 8 5 9 0 9 5， ， ， ， ， ， ，； 物理成绩由低到高依次为： 7 2 7 7 8 0 8 4 8 8 9 0 9 3 9 5， ， ， ， ， ， ，若规定 90 分（含 90 分）以上为优秀，记 为这 8 位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求 的分布列和数学期望 . 【解析】 （ I）抽取女生数 258=540人，男生数 15 8340 4 分 （ 的所有可能取值为 0 1 2， ， 5 分 26568820( 0 ) 56 ， 1 1 1 62 3 5 68830( 1 ) 56C C C ， 2636886( 2 ) 56 8分 的分布列为 0 1 2 p 205630566562 0 3 0 6 30 1 25 6 5 6 5 6 4E 12 分 （ 43） （本小题满分 12 分） 已知 12是椭圆 22+ 1 ( 0 )xy 的左、右焦点， O 为坐标原点，点 2( 1 )2P ，在椭圆上，线段 2 y 轴的交点 M 满足2 M0 （ ） 求椭圆的标准方程； （ ）圆 O 是以 12直径的圆，一直线 :l y kx m与 圆 O 相切，并与椭圆交于不同的两点 A 、 B ，当 B ，且满足 2334 时，求 的面积 S 的取值范围 【解析】 （ ） 因为2 M0，所以 M 是线段 2中点，所以 12的中位线，又 12 F ， 所以 1 1 2F ,所以 1c 又因为 222 2 21112b c ， 解得 2 2 22 1 1a b c ， ， ，所以椭圆的标准方程为 2 2 12x y. 4 分 （）因为直线 :l y kx m与 圆 O 相切，所以2|11，即 221 5分 联立 2 2 12x yy kx m 得 2 2 2( 1 2 ) 4 2 2 0k x k m x m . 设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， 因为直线 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ， 所以 21 2 1 2224 2 20 1 2 1 2k m mx x x ， ， 6 分 221 2 1 2 22( ) ( ) 12y k x m k x m k ， 21 2 1 2 2112 O B x x y y k ，又因为 2334 ，所以 222 1 33 1 2 4 8分 解得 21 12 k . 42212 421 1 2 ( )| | 1 1 | |2 2 4 ( ) 1 B k x ， 10 分 设 42u k k，则 3 2 22 14 4 1 4 ， 单调递增， 所以 3( ) ( 2 )4S S S ，即 6243S 12 分 （ 44） （本小题满分 12 分） 设 ( 4 ) 31x a x ，曲线 ()y f x 在点 (1 (1)f， 处的切线与直线 10 垂直 . （）求 a 的值； （）若对于任意的 1 ) ( ) ( 1 )x f x m x ， ， 恒成立，求 m 的取值范围； （）求证：1l n ( 4 1 ) 1 6 ( )( 4 1 ) ( 4 3 ) *N . 【解析】 （）24( 4 l n ) ( 3 1 ) 3 ( 4 ) l n() ( 3 1 )xa x x x a ， (1) 1f ， 解得 0a 3 分 （）对于任意的 1 ) ( ) ( 1 )x f x m x ， ， ，即 14 l n ( 3 2 ) 0x m 恒成立， 设 1( ) 4 l n ( 3 2 ) 0g x x m 恒成立， 2224 1 3 4( ) ( 3 ) ( 1 ) 4 4m x x mg x m g mx x x ， 5 分 若 0 ( ) 0 ( )m g x g x ， ，单调递增， 0 (1) ( )g g x ， 这与 ( ) 0矛盾； 6分 若 (0 1)m ， ，当 22 4 3( 1 ) ( ) 0 ( )3 mx g x g ， ， ，单调递增， 0 (1) ( )g g x ， 这与 ( ) 0矛盾； 7 分 若 1 m ，当 ( 1 ) ( ) 0 ( )x g x g x ， ， ，单调递减， ( ) (1) 0g x g ， 即 ( ) 0恒成立 . 综上所述 1 )m ， . 8 分 （）由