09高考数学易错题解题方法大全(1)

09 高考数学易错题解题方法大全（1） 一.选择题 【范例 1】已知集合 A=x|x=2nl，nZ，B=x|x 2一 4x0，则 AB=（ ） A B C D1，2，3，44x13, 答案：C 【错解分析】此题容易错选为 B，错误原因是对集合元素的误解。 【解题指导】集合 A 表示奇数集，集合 B=1，2，3，4. 【练习 1】已知集合 xyxsin),(，集合 xyxBtan),(，则 BA（ ） A )0,( B )0,( C )0,(k D 【范例2】若A、B均是非空集合，则 AB是A B的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 答案：B 【错解分析】考生常常会选择 A，错误原因是混淆了充分性，与必要性。 【解题指导】考查目的：充要条件的判定。 【练习 2】已知条件 ： ，条件 ： ，且 是 的充分不必要条件，则p2|1|xqaxpq 的取值范围可以是（ ）a A ； B ； C ； D ；1a13a 【范例 3】定义在 R 上的偶函数 满足 ，且在-1，0上单调递增，设)(xf )()(xff ， ， ，则 大小关系是（ ）)(fa)2(fbccba, A B C Dcaabc 答案：D 【错解分析】此题常见错误 A、B，错误原因对 这样的条件认识不充分，忽)()1(xfxf 略了函数的周期性。 【解题指导】 由 可得， 是周期为 2 的函数。利用周期性 转化)()1(xfxf)(f cba, 为-1，0的函数值，再利用单调性比较. 【练习 3】设函数 f (x)是定义在 上的以 5 为周期的奇函数，若 ，1)2(f ，则 的取值范围是（ ）)208(af A.(, 0) B.(0, 3) C.(0, +) D.(, 0)(3, +) - 2 - x y O P1 P0 P2 【范例 4】 的值为（ ）12coslg12sinlo A4 B4 C2 D2 答案：D 【错解分析】此题常见错误 A、C，错误原因是对两倍角公式或对对数运算性质不熟悉。 【解题指导】结合对数的运算性质及两倍角公式解决. 【练习 4】式子 432log值是（ ） A4 B4 C2 D2 【范例 5】设 是方程 的解，且 ，则 （ ）0xxl80(,1)(xkZk A4 B5 C7 D8 答案：C 【错解分析】本题常见错误为 D，错误原因没有考虑到函数 y=8-x 与 y=lgx 图像的结合。 【解题指导】考查零点的概念及学生的估算能力. 【练习 5】方程 的实数根有( )个lg(2)1x A0 B1 C2 D3 【范例 6】已知AOB=lrad，点 Al，A 2，在 OA 上， B1，B 2，在 OB 上，其中的每一个实线段和 虚线段氏均为 1 个单位，一个动点 M 从 O 点 出发，沿着实线段和以 O 为圆心的圆弧匀速 运动，速度为 l 单位秒，则质点 M 到达 A10 点处所需要的时间为( ) 秒。 A62 B63 C65 D66 答案：C 【错解分析】本题常见错误 B、D，这样的错误常常由于是信息图片信息把握力不强。 【解题指导】本题综合考察等差数列求和，及扇形的弧长公式。要细读题，理解动点的运动 规律。 【练习 6】如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数 字标签： 原点处标 0，点（1，0）处标 1，点（1，-1）处 标 2，点（0，-1）处标 3，点（-1，-1）处标 4， 点（-1，0）标 5，点（-1，1）处标 6，点（0，1） 处标 7，以此类推，则标签 的格点的坐标29 为( ) A(1005,1004) B(1004.1003) C(2009,2008) D(2008,2007) 【范例 7】如图，点 P 是单位圆上的一个顶点，它从初始位置 开0 xy1 2 13 34 5 6 7 8 9 10 11 12 0 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 - 始沿单位圆按逆时针方向运动角 （ ）到达点 ，021P 然后继续沿单位圆逆时针方向运动 到达点 ，若点 的横32 坐标为 ，则 的值等于 . 45cos 答案： 310 【错解分析】本题常见错误写成 的相反数，这样的错误常常是忽略角度所在的象限。3410 【解题指导】本题主要考察三角函数的定义，及对两角和与差公式的理解。 【练习 7】已知 . xxx 2cos,sinco,sins 则 【范例 8】已知向量 ，其中 、 均为非零向量，则 的取值范围是 .|abp ab|p 答案： 0,2 【错解分析】本题常见错误五花八门，错误原因是没有理解向量的模的不等式的性质。 【解题指导】 分别表示与 、 同向的单位向量, ba,ab baba 【练习 8】 ABC 中， ， ，则 的最小值是 .2C1,2ABC()2(1)fCAB 【范例 9】若不等式 恒成立，则实数 a 的取值范围是 .Rxax对| 答案： 3,( 【错解分析】解含绝对值不等式也是考生常常出现错误的，错误原因有解法单一，比如只会 运用去绝对值的方法，这样会导致计算量较多，易错。通常简捷的方法可以是利用绝对值的 几何意义。 【解题指导】由绝对值的几何意义知 的最小值为 3.|1|2|x 【练习 9】不等式x1(2x 1)0 的解集为 . 【范例 10】圆 被直线 分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为 .21y0xy 答案：13 【错解分析】圆与直线的位置关系的错误点通常是考生找错了圆的圆心，判断不了圆的位置， 在花函数图像是产生了偏差。 【解题指导】对 【练习 10】已知直线 与圆 交于 A、 B 两点，O 是坐标原点，向量 、ayx42yx OA - 4 - 满足| + |=| |，则实数 的值是 .OB OA OB OA OB a 【范例 11】一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ，则球的表面积为 _. 答案：8 【错解分析】球体是近年高考通常所设计的集合体，通常也是考生容易 出错的一个地方，通常的错误是对球体的与题目结合时候空间想象力缺乏 导致，或者计算的时候计算不出球的半径等。 【解题指导】过球心与小圆圆心做球的截面，转化为平面几何来解决. 【练习 11】如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为 1 的正方 体和 4 个边长为 1 的正三角形组成，则该多面体的体积是 【范例 12】已知过点 的直线 与 轴正半轴、 轴正半轴分别交于 、 两点，则)2,(PlxyAB 的面积最小为 .AOB 答案：4【错解分析】本题考查均值不等式和数形结合，也是考生容易错误的地方，例如不 会利用均值不等式，或者没有看出均值不等式中隐含的“面积” 。 【解题指导】设直线方程为 ,代点得: .由于 ,所以1byax12baab2 ,所以8,412ab即 42SAOB 【练习 12】函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线1)3(logxya )1,0(且 A 上，其中 ，则 的最小值为 .02nmxmnn 【范例 13】已知点 P（4，4） ，圆 C： 与椭圆 E：2()5(3)xym 有一个公共点 A（3，1） ，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线 PF1与 21(0)xyab 圆 C 相切 （1）求 m 的值与椭圆 E 的方程； （2）设 Q 为椭圆 E 上的一个动点，求 的取值范PQ 围 【错解分析】本题易错点（1）在于计算椭圆的方程的量 本身就大，方法和计算技巧的运用很重要。 解：（1）点 A 代入圆 C 方程，得 2(3)15m m3，m1圆 C： xy 设直线 PF1的斜率为 k，则 PF1： ，()k Q PO y xF 1 AC F2 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 - 即 直线 PF1与圆 C 相切， 解得40kxy2|04|51k 1,2对 当 k 时，直线 PF1与 x 轴的交点横坐标为 ，不合题意，舍去361 当 k 时，直线 PF1与 x 轴的交点横坐标为4，c4F 1（4，0） ，F 2（4，0） 12 2aAF 1AF 2 ， ，a 218，b 225623 椭圆 E 的方程为： 18xy （2） ，设 Q（x，y） ， ， (1,3)AP (3,1)Axy(3)(1)36APQxyxy ，即 28x2()8 而 ，186xy18 2(3)|3|yxy 的取值范围是0，36，2()618xxy 即 的取值范围是6，63y 的取值范围是12，0APQx 【练习 13】已知圆 上的动点，点 Q 在MPNyM为 圆点定 点 ),05(,36)5(:2 NP 上，点 G 在 MP 上，且满足 .GQNP （1）求点 G 的轨迹 C 的方程； （2）过点（2，0 ）作直线 ，与曲线 C 交于 A、B 两点，O 是坐标原点，设l 是否存在这样的直线 ，使四边形 OASB 的对角线相等（即,OBASl |OS|=|AB|）？若存在，求出直线 的方程；若不存在，试说明理由.l 【范例 14】如图，在矩形 ABCD 中，已知 A（2，0） 、C（ 2，2） ，点 P 在 BC 边上移动，线 段 OP 的垂直平分线交 y 轴于点 E，点 M 满足.EPM （1）求点 M 的轨迹方程； （2）已知点 F（0， 21） ，过点 F 的直线 l 交点 M 的轨迹 于 Q、R 两点，且 ,R求实数 的取值范围. 【错解分析】向量的综合题型考察的范围可以很广，这样 的题型容易产生画图不准确，题意模糊的错误，导致考生 - 6 - 无法作答，因此要理解题意，把握条件，学会精确画图。 解:（1）依题意，设 P（t,2） （2t2） ，M（x，y）. 当 t=0 时，点 M 与点 E 重合，则 M=（0，1） ， 当 t0 时，线段 OP 的垂直平分线方程为： ).2(tx )1(4,.42 )4,(,0,( )4,4,02 2222yxttyx tttyEPOtyx得消 去得由 即得令 显然，点（0，1）适合上式 .故点 M 的轨迹方程为 x2=4(y1)( 2x2) （2）设 ),(),41(: 2ykkxl 代 入 得 x2+4k2=0. 设 Q（x 1,y1） 、R（x 2,y2） ，则 20861xk21,F得 , 4)(2 .消去 x2，得 28)1(k. ).0(5,1)(0,602 即k 解得 【练习 14】已知抛物线 C 的一个焦点为 F（ ，0） ，对应于这个焦点的准线方程为 x=- .21 21 （1 ）写出抛物线 C 的方程； （2 ）过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点，O 点为坐标原点，求AOB 重心 G 的轨迹 方程； （3 ）点 P 是抛物线 C 上的动点，过点 P 作圆（x -3） 2+y2=2 的切线，切点分别是 M，N. 当 P 点在何处时， |MN|的值最小？求出 |MN|的最小值. 【范例 15】如图：在三棱锥 中， 面 ， 是直角三角形，CAB ， ， ，点 分别为 的中点。90ABC2B45ADEF、 、 BC、 、 求证： ；EFD 求直线 与平面 所成的角的大小；P 求二面角 的正切值。 【错解分析】立体几何是高考的必考内容，容易错误的地方通 常是求二面角的大小，因此要归纳总结通常寻找二面角的平面 角的方法。 P M O FE D C B A 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 - D C A B B1A1 C1 解：连结 。在 中，BDAC90B ，点 为 的中点，ADAC 又 面 ，即 为 在平面 内的射影PP 分别为 的中点EF、 、 /EF 面 ，BACB 连结 交 于点 ， ，DO,PD 平面P 为直线 与平面 所成的角，且FEFPO 面 ， ，又BA,BAC45AB ， ，2P124OF2 在 中， ，Rt0sinP10arcsinFPO 过点 作 于点 ，连结 ， ，BMFEM,ABC 面 ，即 为 在平面 内的射影ACC ， 为二面角 的平面角 EB 中， ，RtP25PF5tan2EB 【练习 15】如图所示，正三棱柱 的底面边长是 2，侧棱长是 ，D 是 AC 的中1CA3 点。 (1)求证： 平面 ；/1CBDA1 (2)求二面角 的大小； (3)求直线 与平面 所成的角的正弦值。11 - 8 - 练习题参考答案： 1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7. 1 8. 9. 10. 2 或2 11. 12. 413. 解：21x或 26 （1 ） Q 为 PN 的中点且 GQPN0PNG GQ 为 PN 的中垂线 |PG|=|GN| |GN|+|GM|=|MP|=6，故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆，其长半轴长 ，3a 半焦距 ，短半轴长 b=2，点 G 的轨迹方程是 。5c 1492yx （2）因为 ，所以四边形 OASB 为平行四边形OBAS 若存在 l 使得| |=| |，则四边形 OASB 为矩形 0OBA 若 l 的斜率不存在，直线 l 的方程为 x=2，由 3521492yx得 矛盾，故 l 的斜率存在.0,0916OBAOBA与 设 l 的方程为 ),(),()2(21yxxky0)1(36)49(149)( 2222 kx由 49)1(36,3622121kxk )()(2121xy 4920)(2121 kxx 把、代入 3021ky得 存在直线 使得四边形 OASB 的对角线相等.0663: yxxl或 14. 解：（1）抛物线方程为： y2=2x. （2 ） 当直线不垂直于 x 轴时，设方程为 y=k(x- )，代入 y2=2x，得：k 2x2-(k2+2)x+21 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 - PM D C A B B1A1 C1 .042k 设 A（x 1，y 1） ，B(x 2，y 2)，则 x1+x2= ，y 1+y2=k(x1+x2-1)= .kk 设AOB 的重心为 G（x ，y）则 ，消去 k 得 y2= 为所求， kyy3201 93x 当直线垂直于 x 轴时，A （ ，1） ，B（ ，-1） ， AOB 的重心 G（ ，0 ）也满足上2231 述方程. 综合得，所求的轨迹方程为 y2= ，93x （3 ）设已知圆的圆心为 Q（3，0 ） ，半径 r= ，2 根据圆的性质有：|MN|=2 . 22|1| PQPQPM 当|PQ| 2 最小时， |MN|取最小值， 设 P 点坐标为(x 0，y 0)，则 y =2x0.|PQ|2=（x 0-3） 2+ y = x -4x0+9=(x0-2)2+5，2 02 当 x0=2，y 0=2 时，|PQ| 2 取最小值 5， 故当 P 点坐标为（ 2，2）时，|MN|取最小值 . 3 15. 解法一：（1）设 与 相交于点 P，连接 PD，则 P 为 中点，1AB1B D 为 AC 中点， PD/ .C 又 PD 平面 D， /平面 D 111