相似三角形与动点问题

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 相似三角形与动点问题 【基金项目】甘肃省“十三五” 教 育科学规划 2016 年度初中数学动点 问题分析研究课题（课题立项号： GS2016GHB0653）成果. 中国论文网 /9/view-13002729.htm 所谓“ 动点问题” 是指题设图形中， 存在一个或多个动点，它们在线段、射 线或弧线上运动的一类开放性题目.解决 这类问题的关键是动中求静，在变化中 找到不变的性质.下面通过具体的例子说 明. 例 1 如图 1 所示，在平面直角坐 标系内，已知点 A（0，6） ，B（8，0） ， 动点 P 从 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 运动，同时动 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动.设点 P，Q 运动的时间为 t 秒.当 t 为何值时， APQ 与AOB 相似，并求出此时点 P 的坐标. 解A（0，6） ，B（8，0） ， OA=6 ，OB=8. 在 RtAOB 中，AB=62+82=10. 由题意可知 AP=t，AQ=10-2t， 如图 1 所示， APQ=AOB，APQ ABC. APAO=AQAB，即 t6=10-2t10. 解得 t=3011，即 AP=3011. PO=AO-AP=6-3011=3611，即 P0，3611. 如图 2 所示，当 AQP=AOB 时，AQPAOB. APAB=AQAO，即 t10=10- 2t6，解得 t=5013，即 AP=5013. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 PO=AO-AP=6-5013=2813，即 P0，2813. 综上所述 P0，3611 或 P0，2811. 例 2 如图 3 所示，在 RtABC 中， C=90，AB=10 cm，ACBC=43，cP 从点 A 出发 沿 AB 方向向点 B 运动，速度为 1 cm/s，同时点 Q 从点 B 出发沿 BCA 方向向点 A 运动，速度为 2 cm/s，当一个动点到达终点时，另一个 运动点也随之停止运动.设点 P 的运动 时间为 x（秒） ，PBQ 的面积为 y（cm2） ，当 PBQ 存在时，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值 范围. 图 3 图 4 解设 AC=4x，BC=3x. 在 RtABC 中，由勾股定理知 AC2+BC2=AB2， 即（4x）2+（3x）2=102，解得 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 x=2， 所以 AC=8 cm，BC=4 cm. 如图 3 所示，当 Q 在边 BC 上运动时，过 Q 作 QHAB 于 H. 由题可知 AP=x，则 BP=10- x，BQ=2x. QHAB，QHB=90， QHB=C. B=B，QHBACB. QHAC=QBAB，即 QH8=2x10，故 QH=85x. SPBQ=y=12BP QH=12（10-x） 85x =-45x2+8x（0x3 ）. 如图 4 所示，当点 Q 在边 CA 上运动时，过 Q 做 QHAB 于 H. AP=x，BP=10-x，AQ=14-2x. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 QHAB，QHA=90， QHA=C. A=A，AQH ABC. AQAB=QHBC，即 14- 2x10=QH6， 解得 QH=35（14-2x）. y=12PB QH=12（10-2x） 35（14-2x ）