2019届高三理科数学上学期月考试卷（三）附解析

2019届高三理科数学上学期月考试卷（三）附解析审题：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z21i2i，则下列结论中正确的是(C)Az的虚部为i B|z|2 Cz2为纯虚数 Dz1i【解析】由已知，z2（1i）（1i）（1i）2i1i，则z的虚部为1，|z|2，z22i为纯虚数，z1i，故选C.2设xR，若“|xa|0”的充分不必要条件，则a的取值范围是(A)A(，32，) B(，3)(2，)C(3，2) D3，2【解析】由|xa|1(aR)，解得：a1x0，解得x1或x2.又“|xa|0”的充分不必要条件，1a1或a12，即a2，或a3.故选A.3已知集合A5，B1，2，C1，3，4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为(C)A6 B32 C33 D34【解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为C12C13A3336，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36333个，故选C.4设l、m、n表示不同的直线，、表示不同的平面，给出下列4个命题：(B)若ml，且m，则l；若ml，且m，则l；若l，m，n，则lmn；若m，l，n，且n，则ml.其中正确命题的个数是A1 B2 C3 D4【解析】易知命题正确；在命题的条件下，直线l可能在平面内，故命题为假；在命题的条件下，三条直线可以相交于一点，故命题为假；在命题中，由n知，n且n，由n及n，m，得nm，同理nl，故ml，命题正确故选B.5若实数x，y满足不等式组x3y30，2xy30，xmy10，且xy的最大值为9，则实数m(C)A2 B1 C1 D2【解析】令zxy，则yxz，z表示斜率为1的直线在y轴上的截距当z最大值为9时，yxz过点A，因此xmy10过点A，所以m1.故选C. 6某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表所示：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为y0.7xa，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为()吨(A)A5.25 B5.15 C5.5 D9.5【解析】由表中数据，计算得x14(3456)4.5，y14(2.5344.5)3.5，且线性回归方程y0.7xa过样本中心点(x，y)，即3.50.74.5a，解得a0.35，y关于x的线性回归方程是y0.7x0.35，当x7时，估计生产7吨产品的生产能耗为y0.770.355.25(吨)故选A.7设等差数列an的前n项和为Sn，已知SnnSn1n1，且a6a7Sn1n1，则a1an2a1an12，即anan1，所以数列an单调递减因为a6a7b0)，O为坐标原点，若椭圆C上存在两个关于x轴对称的点A，B，使得|AB|b，且AOB的重心为椭圆C的一个焦点，则椭圆C的离心率为(B)A.22 B.33 C.12 D.13【解析】不妨设点A(x0，y0)(x00，y00)，因为点A，B关于x轴对称，则点B(x0，y0)，因为|AB|b，则y0b2.因为AOB的重心为椭圆C的一个焦点，则2x03c，即x03c2.因为点A在椭圆C上，则x20a2y20b21，所以9c24a2141，即e213，即e33，选B.10将函数f(x)sin2x3的图像向左平移n(n0)个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为偶函数，则n的最小值为(B)A.6 B.12 C.56 D.24【解析】由f(x)sin2x3向左平移n(n0)个单位后得到函数ysin2（xn）3的图像，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到函数ysinx2n3的图像，因其为偶函数，故x0时，2n32k，kZn12k2，kZ.故选B. 11如图所示，点G是ABC内一点，若SAGB7，SBGC5，SAGC6，且AGxAByAC，则xy(C)A.1118 B.23 C.1318 D1【解析】在GA上取一点E，使得GE57GA， 在GB上取一点F，使得GF67GB，连接CE，EF，FC.SEGF6757SAGB307，SCGE57SAGC307，SCGF67SBGC307，G为CEF的重心，GEGFGC0，57GA67GBGC0，5GA6GB7GC0，18GA6AB7AC0.AG618AB718AC，xy1318，选C.12设x1，x2分别是函数f(x)xax和g(x)xlogax1的零点(其中a1)，则x14x2的取值范围是(D)A4，) B(4，) C5，) D(5，)【解析】由f(x)xax0得ax1x；由g(x)xlogax10得logax1x；因为函数yax与ylogax互为反函数，图像关于直线yx对称， 由yx，y1x，得x1，y1，不妨设x12，且x21, 所以x14x2x1x23x25，故答案选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13计算：tan 123（4cos2122）sin 12_4_【解析】原式sin 123cos 122sin 12cos 12cos 242sin（1260）12sin 484.14设数列an的前n项和为Sn，已知Sn2ann(nN*)，则数列an的通项公式是_an2n1_【解析】当n1时，S12a11，则a11.当n2时，anSnSn12ann2an1(n1)，即an2an11，即an12(an11)则数列an1是首项为2，公比为2的等比数列，所以an12n，即an2n1. 15某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，2)，若每个元件使用寿命超过1 200小时的概率为13，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过800小时的概率为_1627_【解析】三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，2)，概率密度分布图像关于x1 000(小时)对称，每个元件使用寿命超过1 200小时的概率为13，每个元件的使用寿命不超过800小时的概率为13，每个元件的使用寿命超过800小时的概率为23，根据此部件的结构，元件1，2中至少有一个正常工作，元件3必须正常工作，又各个元件能否正常工作相互独立，设三个元件能正常工作的事件分别记作A，B，C，该部件能正常工作的事件记作M，则M(AB)C，P(M)P(AB)P(C)(1P(AB)P(C)(1P(A)P(B)P(C)11313231627，故答案为1627.16已知函数fxx2m与函数gxln 1x3xx12，2的图像上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是_2ln 2，2_【解析】原问题等价于hxfxgxx2ln x3xm在12，2有零点，而hx2x1x31x2x1x1，知hx在12，1单调递减，在1，2单调递增，又h1m2，h2ln 22m，h12ln 254m，由ln 212可判断h2h12，因而hx的值域为m2，ln 22m，又hx有零点有m20ln 22m得m2ln 2，2.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共60分17(本小题满分12分)在ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知ma，c2，n(cos C，1)，且mnb.()求角A的大小；()若a2，求ABC的面积S的最大值【解析】()由ma，c2，n(cos C，1)，且mnb可得2acos Cc2b，(1分)由正弦定理，得2sin Acos Csin C2sin B(2分)又sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，则sin C2cos Asin C(4分)因为sin C0，则cos A12.又0A2.072，(5分)所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关(6分)()由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以X可视为服从二项分布，即XB4，34，P(Xk)Ck434k144k(k0，1，2，3，4)，(8分)故P(X0)C043401441256，P(X1)P(X2)C2434214227128，P(X3)C343431412764，P(X4)C4434414081256，所以X的分布列为X 0 1 2 3 4P(Xk) 125636427128276481256(11分)数学期望为E(X)4343.(12分)或E（X）125603641271282276438125643.19(本小题满分12分) 如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD2，底面ABCD是直角梯形其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2.()求证：平面PCD平面PAB；()线段PD上是否存在点Q，使得二面角QACD的平面角的正切值为23，如存在，试确定这个点的位置；如不存在，试说明理由 【解析】()PAPD2，又AD2，PDPA.(1分)又底面ABCD是直角梯形，ABAD，侧面PAD底面ABCD，AB平面PAD，ABPD.(3分)ABPAA，PD平面PAB.(5分)平面PCD平面PAB.(6分)()解法一：取AD中点O，连接PO，则POAD，又侧面PAD底面ABCD，PO底面ABCD.假设存在点Q，过Q作QNPO交AD于点N，过点N作NMAC交AC于点M，连接QM.PO底面ABCD，QN底面ABCD，QMN就是二面角QACD的平面角(8分)从而QNMN23，设QNa，则MN32a.在POD中，有PO1，QNPO，DNDOQNPO，即DNa.(9分)在ACD中，有AD2，AC2，CAD4，由正弦定理得ACD2，MNCD，从而有DNDACDMNCD即DN2DOCDMNCD232a2.(10分)a23a，解得a12.(11分)又PO1，存在符合要求的Q点且Q点为PD的中点(12分) 解法二：取AD中点O，连接PO，则POAD，又侧面PAD底面ABCD，PO底面ABCD.BCAD，AOBC1，ABAD，COAD.以O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系(7分)则A(0，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，AC(1，1，0)，PD(0，1，1)假设存在点Q(x，y，z)，可设PQPD，则(x，y，z1)(0，1，1)，从而Q(0，1)，AQ(0，1，1)，设平面QAC的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n1AQ0，n1AC0，得（1）y1（1）z10，x1y10，取y11，得n11，1，11.(9分)取平面ACD法向量为n2(0，0，1)，从而cosn1，n2n1n2n1n211111112，(10分)设二面角QACD的平面角为，tan 23且0，从而cos 311，(11分)11111112311，解得12，或2(舍去)，存在符合要求的Q点且Q点为PD的中点(12分) 20(本小题满分12分)如图，抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，点M为圆O：x2y212与抛物线C的一个交点，且|MF|3.()求抛物线C的标准方程；()设斜率为22的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若|AB|86，证明：直线l与圆O相切【解析】()设抛物线C的方程为y22px(p0)，联立x2y212，得x22px12，即(xp)2p212.因为x0，则xp212p.设点M(x0，y0)，则x0p212p.(3分)因为|MF|3，则x0p23，即p212p23，所以p212p232，化简得p24p40，即(p2)20，则p2，所以抛物线C的标准方程是y24x.(6分)()设直线l的方程为x2ym，联立y24x，得y242y4m0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y242，y1y24m.(8分)所以|AB|y1y2|1（2）2（y1y2）24y1y233216m32m43.(9分)因为|AB|86，则2m22，即2m8，所以m6，此时(42)216m0.所以直线l的方程是x2y6，即x2y60.(11分)因为圆O的半径r23，圆心O到直线l的距离d|6|1（2）223r，所以直线l与圆O相切(12分)21(本小题满分12分)已知函数f(x)aln(x1)(x1)2.()求函数f(x)的单调区间；()试证对任意的nN*，有13225322n1n22nn1.【解析】()函数f(x)的定义域为(1，)，f(x)ax12(x1)2x2（a2）x1.(1分)(1)若a20，即a2，则f(x)0对x(1，)恒成立，故f(x)在区间(1，)上单调递增；(2分)(2)若a20，即a1，即0a2时，f(x)0的解为x2a2或1xf(0)1，即2ln(x1)(x1)21，整理得2xx22ln(x1)(7分)令x1k(k1，2，n)，则2k1k22ln 1kk，累加得，13225322n1n22ln 2ln32l