2016-2017学年高中数学 全册北师大版选修4-5_1

1 【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学 章末综合测评 2 北师大版 选修 4-5 (时间 120 分钟，满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1设 xy0，则 )的最小值为( )(x2 4y2)(y2 1x2) A9 B9 C10 D0 【解析】 29.x2 ( 2y)2(1x)2 y2 (x1x 2yy) 【答案】 B 2设 nN ，则 4n与 3n 的大小关系是( ) A4 n3n B4 n3 n C4 n3n，即 4n3n. 【答案】 A 3已知实数 a， b， c， d， e 满足 a b c d e8， a2 b2 c2 d2 e216，则 e 的取值范围为( ) A. B0， 455 165， 165 C. D0， 165 455， 455 【解析】 4( a2 b2 c2 d2) (1111)( a2 b2 c2 d2) ( a b c d)2， 即 4(16 e2)(8 e)2， 644 e26416 e e2， 即 5e216 e0， e(5e16)0， 故 0 e . 165 【答案】 C 2 4学校要开运动会，需要买价格不同的奖品 40 件，50 件，20 件，现在选择商店中单 价为 5 元，3 元，2 元的奖品，则至少要花( ) A300 元 B360 元 C320 元 D340 元 【解析】 由排序原理，逆序和最小 最小值为 502403205320(元) 【答案】 C 5函数 y29 x (x0)的最大值是( ) 4x A10 B10 C11 D11 【解析】 y2 22 10.(9x 4x) 36 【答案】 A 6已知 a， b， c(0，)， a b4 c21，则 c 的最大值是( ) a b 2 【导学号：94910043】 A5 B 102 C8 D 132 【解析】 (a b4 c2)( c)2， 12 12 (12)2 a b 2 c .a b 2 52 102 当且仅当 a b ， c 时等号成立 25 510 【答案】 B 7若 x2 y4 z1，则 x2 y2 z2的最小值是( ) A21 B 121 C16 D 116 【解析】 1 x2 y4 z ， x2 y2 z2 ，即x2 y2 z2 1 4 16 121 x2 y2 z2的最小值为 . 121 【答案】 B 3 8设 S(n) ，则( ) 1n 1n 1 1n 2 1n2 A S(n)共有 n 项，当 n2 时， S(2) 12 13 B S(n)共有 n1 项，当 n2 时， S(2) 12 13 14 C S(n)共有 n2 n 项，当 n2 时， S(2) 12 13 14 D S(n)共有 n2 n1 项，当 n2 时， S(2) 12 13 14 【解析】 S(n)共有 n2 n1 项，当 n2 时， S(2) . 12 13 14 【答案】 D 9设 a， b， c 为正数，且 a2 b3 c13，则 的最大值为( )3a 2b c A. B 1333 1332 C. D613 13 【解析】 ( a2 b3 c) 2( 3 2 12 (13)2 (a3 2b1 3c13) 3a )2，2b c ( )2 ，3a 2b c 1323 ，3a 2b c 1333 当且仅当 时取等号 a3 2b1 3c13 又 a2 b3 c13， a9， b ， c 时，原式取到最大值 . 32 13 1333 【答案】 A 10已知 a， b， c 为正数，且满足 a2 b3 c1，则 的最小值为( ) 1a 12b 13c A7 B8 C11 D9 【解析】 a， b， c 为正数，且满足 a2 b3 c1， ( a2 b3 c) 1a 12b 13c 3 3 9，当且仅当 a2 b3 c 时取等号因此 ( 1a 12b 13c) 3a2b3c 31a12b13c 13 1a 4 的最小值为 9. 12b 13c 【答案】 D 11用数学归纳法证明 cos cos 3 cos(2 n1) 12 ( k， kZ， nN )，在验证 n1 时，左边计算所得的 sin 2n 12 cos 2n 12 sin 项是( ) A. 12 B. cos 12 C. cos cos 3 12 D. cos cos 2 cos 3 12 【解析】 首项为 ，末项为 cos(211) cos . 12 【答案】 B 12设 a， b， c， x， y， z 是正数，且 a2 b2 c210， x2 y2 z240， ax by cz20，则 的值为( ) a b cx y z A. B 14 13 C. D 12 34 【解析】 由题意可得 x2 y2 z22 ax2 by2 cz， 与 a2 b2 c210 相加可得( x a)2( y b)2( z c)210， 所以不妨令Error!或Error! 则 x y z2( a b c)， 即 . a b cx y z 12 【答案】 C 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上) 13证明 1 (nN )，假设 n k 时成立，当 n k1 时，左 12 13 14 12n 1n2 边增加的项数是_ 5 【解析】 左边增加的项数为 2k1 12 k12 k. 【答案】 2 k 14已知 x， y， zR， x y z9，则 的最大值是_x y z 【解析】 ( )2(1 21 21 2)(x y z)3927，所以x y z 3 .x y z 3 当且仅当 x y z3 时取“” 【答案】 3 3 15若 x y z t4，则 x2 y2 z2 t2的最小值为_ 【解析】 比较已知条件、待求式子，发现把待求式子乘以一个常量后，可满足四维 柯西不等式条件并同时用到已知条件，得 (x2 y2 z2 t2)(121 21 21 2)( x y z t)2，当且仅当 x y z t1 时，取 最小值 4. 【答案】 4 16函数 y 的最小值是 _. (1 1sin )(1 1cos )(0 2) 【导学号：94910044】 【解析】 由柯西不等式，得 y 12 ( 1sin )212 ( 1cos )2 ( 11 1sin 1cos )2 (1 )232 .( 1 2sin 2 )2 2 2 当且仅当 ， 1cos 1sin 即 时等号成立 4 【答案】 32 2 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)设 x， y， zR，且 1.求 x 1 216 y 2 25 z 3 24 x y z 的最大值和最小值 【解】 根据柯西不等式，知 42( )22 25 ( x 14 )2 (y 25)2 (z 32 )2 ，( 4x 14 5y 25 2z 32 )2 6 当且仅当 ， x 116 y 25 z 34 即 x ， 215 y1， z 或 x ， y3， 195 115 z 时等号成立 115 251( x y z2) 2， | x y z2|5，3 x y z7， 即 x y z 的最大值为 7，最小值为3. 18(本小题满分 12 分)设 x22 y21，求 u(x， y) x2 y 的最小值. 【导学号：94910045】 【解】 由柯西不等式，有 |u(x， y)|1 x y|2 2 .1 2 x2 2y2 3 得 umax ， umin .3 3 分别在 ， 时取到( 33， 33) ( 33， 33) 19(本小题满分 12 分)求证： (n2) 12 13 14 12n 1n 22 【证明】 (1)当 n2 时， 0，不等式成立 12 (2)假设 n k(k2)时，原不等式成立 即 ， 12 13 14 15 12k 1k 22 则当 n k1 时， 左边 12 13 14 12k 1 12k 1 1 12k 1 2 12k 1 2k 1k 22 12k 1 1 12k 1 2 12k 1 2k 1k 22 12k 12k 12k k 22 2k 12k k 12 . k 1 22 当 n k1 时，原不等式成立 由(1)(2)知，原不等式对 n2 的所有的自然数都成立 故 (n2) 12 13 14 12n 1n 22 20(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) m| x2|， mR，且 f(x2)0 的解集为 7 1,1 (1)求 m 的值； (2)若 a， b， c 为正数，且 m，求证： a2 b3 c9. 1a 12b 13c 【解】 (1)因为 f(x2) m| x|，所以 f(x2)0 等价于| x| m. 由| x| m 有解，得 m0，且其解集为 x| m x m 又 f(x2)0 的解集为1,1，故 m1. (2)证明：由(1)知 1， 1a 12b 13c 又 a， b， c 为正数，由柯西不等式得 a2 b3 c( a2 b3 c) ( 1a 12b 13c) 29.( a1a 2b12b 3c13c) 21(本小题满分 12 分)已知正数 x， y， z 满足 x y z1. (1)求证： ； x2y 2z y2z 2x z2x 2y 13 (2)求 4x4 y4 z2的最小值 【解】 (1)证明：因为 x0， y0， z0，所以由柯西不等式得： (y2 z)( z2 x)( x2 y) ( x y z)2，( x2y 2z y2z 2x z2x 2y) 又因为 x y z1. 所以 . x2y 2z y2z 2x z2x 2y x y z 2 y 2z z 2x x 2y 13 (2)由平均值不等式得 4x4 y4 z23 ，34x y z2 因为 x y z1， 所以 x y z21 z z2 ，(z 12)2 34 34 故 4x4 y4 z23 3 ， 3434 2 当且仅当 x y ， z 时等号成立， 14 12 所以 4x4 y4 z2的最小值为 3 .2 22(本小题满分 12 分)用数学归纳法证明 1 1 n(nN ) n2 12 13 12n 12 8