2016-2017学年高中数学 全册北师大版选修4-5_14

1 【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学 第 2 章 几个重要的不等 式 学业分层测评 9 不等式的应用 北师大版选修 4-5 (建议用时：45 分钟) 学业达标 一、选择题 1某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f(t)与时间 t(025 时， 不等式 ax25850 (x2600) x 有解，等价于 x25 时， a x 有解， 16 15 150x 16 15 x2 10(当且仅当 x30 时，等号成立)， a10.2. 150x 16 150x16x 当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于 原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 30 元 10为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元，该建 筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系： C(x) (0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层建造费 k3x 5 用与 20 年的能源消耗费用之和 (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值 【解】 (1)由题设，隔热层厚度为 x cm 时，每年能源消耗费用为 C(x) ， k3x 5 再由 C(0)8，得 k40，因此 C(x) . 403x 5 而建造费用为 C1(x)6 x. 隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)20 C(x) C1(x) 20 6 x 6 x(0 x10) 403x 5 8003x 5 (2)f(x) 6 x 2(3 x5)10 8003x 5 8003x 5 2 1070，1 600 当且仅当 2(3 x5)， 8003x 5 即 x5 时取最小值 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用最小为 70 万元 能力提升 1某城市为控制用水，计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知 0 q p1)( ) 5 A先提价 p%，再提价 q% B先提价 q%，再提价 p% C分两次都提价 % q2 p22 D分两次都提价 % p q2 【解析】 ab，由题可知，A，B 两次提价均为(1 p%)(1 q%)相等， a2 b22 (a b2 )2 C 提价 ，D 提价 ，(1 p2 q22 %)2 (1 p q2%)2 (1 p%)(1 q%) p q2 p2 q22 ，则提价最多为 C.(1 p q2%)2 (1 p2 q22 %)2 【答案】 C 2已知 M 是 ABC 内的一点，且 2 ， BAC30，若 MBC， MCA 和AB AC 3 MAB 的面积分别为 ， x， y，则 的最小值是( ) 12 1x 4y A20 B18 C16 D19 【解析】 由 | | |cos 302 得| | |4，AB AC AB AC 3 AB AC S ABC | | |sin 301， 12AB AC 由 x y1，得 x y . 12 12 所以 2 (x y) 1x 4y (1x 4y) 2 2(522)18.(5 yx 4xy) 【答案】 B 3设 a0， b0，称 为 a， b 的调和平均数如图 154 所示， C 为线段 AB 上的 2aba b 点，且 AC a， CB b， O 为 AB 中点，以 AB 为直径作半圆过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D，连接 OD， AD， BD.过点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E.则图中线段 OD 的长度是 a， b 的算术 平均数，线段_的长度是 a， b 的几何平均数，线段_的长度是 a， b 的调和 6 平均数 图 154 【解析】 在 Rt ABD 中， CD 是斜边 AB 上的高， 所以 CD2 ACCB， 所以 CD ，ACCB ab 所以线段 CD 的长度是 a， b 的几何平均数 在 Rt OCD 中， 因为 CE OD， 所以 ， DECD CDOD 所以线段 DE . CD2OD aba b2 2aba b 所以线段 DE 的长度是 a， b 的调和平均数 【答案】 CD DE 4提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上 的车流速度 v(单位：千米/小时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度 达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车 流速度为 60 千米/小时研究表明：当 20 x200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函 数 (1)当 0 x200 时，求函数 v(x)的表达式； (2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位： 辆/小时) f(x) xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/小时) 【解】 (1)由题意，当 0 x20 时， v(x)60；当 20 x200 时，设 v(x) ax b，则由已知得Error!解得Error! 故函数 v(x)的表达式为 v(x)Error! (2)依题意并由(1)可得 f(x)Error! 当 0 x20 时， f(x)为增函数，故当 x20 时， f(x)取得最大值为 60201 200； 7 当 20 x200 时， f(x) x(200 x) 13 ， 13x 200 x2 2 10 0003 当且仅当 x200 x，即 x100 时，等号成立 所以，当 x100 时，