2017届高考数学一轮复习 全册 理_56

1 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第十节 热点专题 概率与统计中的热点问题课后作业 理 1为了防止塑化剂超标的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须 进行两轮塑化剂含量检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售已知某产品第 一轮检测不合格的概率为 ，第二轮检测不合格的概率为 ，两轮检测是否合格相互没有影 16 110 响 (1)求该产品不能销售的概率； (2)如果产品可以销售，则每件产品可获利 40 元；如果产品不能销售，则每件产品亏 损 80 元(即获利80 元)已知一箱中有产品 4 件，记一箱产品获利 X 元，求 X 的分布列 及均值 E(X) 2(2016山东师大附中模拟)为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣 传志愿者从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者，其年龄频率分布直方 图如图所示，其中年龄分组区间是20,25)，25,30)，30,35)，35,40)，40,45 (1)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在35,40)岁的人 数； (2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的 宣传活动，再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 X，求 X 的分布列及均值 3(2016日照模拟)某娱乐节目将 4 名队员平均分成甲、乙两个组，进行一对一的独 立闯关比赛，已知甲组中 2 名队员 A， B 过关的概率分别为 ，乙组中 2 名队员 C， D 过关 1323 的概率都为 ，最后根据两组过关人数的多少来决定胜负，若过关人数相同，则认为两组平 12 局 (1)求 A， B， C， D 4 名队员至多 1 人过关的概率； (2)将甲组过关的人数记作 x，乙组过关的人数记作 y，设 X| x y|，求 X 的分布列 和均值 4将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为 1,2,3,4 的四个盒子中(每个盒子足 2 够大) (1)求编号为 1 的盒子为空盒的概率； (2)求空盒的个数 的分布列和均值 E( ) 5(2016九江模拟)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组 为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20)，给所有 同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如下表：(单 位：人) 几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计 30 20 50 (1)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ (2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在 57 分钟，乙每次解答一 道几何题所用的时间在 68 分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率； (3)现从选择做几何题的 8 名女同学中任意抽取 2 人对她们的答题情况进行全程研究， 记丙、丁 2 名女同学被抽到的人数为 X，求 X 的分布列及均值 E(X) 下面临界值表仅供参考： P(K2 k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 6某高中为了推进新课程改革，以满足不同层次的学生的需求，决定从高一年级开始， 在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、语文、物理、化学、生物这 5 个学科的辅导讲座，每位有兴趣的学生可以在期间的任何一天参加任何学科的辅导讲座， 也可以放弃任何一个学科的辅导讲座规定：各学科达到预先设定的人数时称为满座，否 则称为不满座统计数据表明，各学科辅导讲座满座的概率如下表(每天各个学科的辅导讲 座是否满座互不影响)： 数学 语文 物理 化学 生物 周一 12 14 14 14 14 周三 23 12 12 12 12 3 周五 23 13 13 13 13 (1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率； (2)设周三各学科辅导讲座满座的科目数为 ，求随机变量 的分布列和均值 答 案 1. 解：(1)记“该产品不能销售”为事件 A， 则 P(A)1 ，(1 16) (1 110) 14 故该产品不能销售的概率为 . 14 (2)由已知，可知 X 的所有可能取值为320，200，80，40,160. P(X320) 4 ，( 14) 1256 P(X200) C 3 ，14 ( 14) 34 364 P(X80) C 2 2 ，24 ( 14) (34) 27128 P(X40) C 3 ，34 14 (34) 2764 P(X160) 4 .( 34) 81256 所以 X 的分布列为 X 320 200 80 40 160 P 1256 364 27128 2764 81256 E(X)320 200 80 40 160 40. 1256 364 27128 2764 81256 2. 解：(1)小矩形的面积等于频率，除35,40)外的频率和为 0.70， x 0.06. 1 0.705 故 500 名志愿者中，年龄在35,40)岁的人数为 0.065500150(人) (2)用分层抽样的方法，从中选取 20 名，则其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 名， “年龄不低于 35 岁”的人有 8 名 故 X 的可能取值为 0,1,2,3， P (X0) ， P (X1) ， C38C320 14285 C12C28C320 2895 4 P (X2) ， P (X3) ， C21C18C320 4495 C312C320 1157 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 14285 2895 4495 1157 E(X)0 1 2 3 . 14285 2895 4495 1157 17195 3. 解： (1)设 “A， B， C， D 4 名队员至多 1 人过关”为事件 A， “4 名队员都不过关” 为事件 A0， “4 名队员恰有 1 人过关”为事件 A1，则 A A0 A1. 又 P (A0) ， 23 13 12 12 118 P(A1) 2 ， 13 13 12 12 23 23 12 12 23 13 12 12 14 故 P (A) . 118 14 1136 (2) X 的所有可能取值为 0,1,2. P (X0) 2 ， 23 13 12 12 (1313 2323) 12 12 13 23 12 12 718 P (X2) ， 13 23 12 12 23 13 12 12 19 故 P (X1)1 P(X0) P(X2)1 . 718 19 12 故 X 的分布列为 X 0 1 2 P 718 12 19 E(X)0 1 2 . 718 12 19 1318 4. 解：(1)将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为 1,2,3,4 的四个盒子中，由 分步乘法计数原理知共有 44256 种放法，设事件 A 表示“编号为 1 的盒子为空盒” ，则四 个乒乓球可以随机放入编号为 2,3,4 的三个盒子中，共有 3481 种放法，故所求概率为 P(A) . 81256 (2)空盒的个数 的所有可能取值为 0,1,2,3， 则 P ( 0) ， A4256 24256 332 5 P ( 1) ， C24C34A3256 144256 916 P ( 3) ， C14256 4256 164 P ( 2) 或 P ( 2)1 P ( 0) P ( 1) C14C24A2 C24C2A2C24A2 256 84256 2164 P( 3) ， 2164 所以 的分布列为 0 1 2 3 P 332 916 2164 164 的均值为 E( )0 1 2 3 . 332 916 2164 164 8164 5. 解：(1)由表中数据得 K2 5.5565.024， 50 2212 88 230203020 509 根据统计有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关 (2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x， y 分钟，则基本事件满足的区域为 (如图所示 )， 设事件 A 为“乙比甲先解答完此道题”则满足的区域为 x y， 由几何概型的概率计算公式得 P(A) ，即乙比甲先解答完的概率为 1211 22 18 . 18 (3)X 的可能取值为 0,1,2，由题可知在选择做几何题的 8 名女同学中任意抽取 2 人， 抽取方法有 C 28 种，其中丙、丁 2 人没有一个人被抽到有 C 15 种；恰有一人被抽到28 26 有 C C 12 种；2 人都被抽到有 C 1 种，12 16 2 P(X0) ， P(X1) ， P(X2) ， 1528 1228 37 128 X 的分布列为 6 X 0 1 2 P 1528 37 128 E(X)0 1 2 . 1528 37 128 12 6. 解：(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A， 则 P(A) .(1 12) (1 23) (1 23) 118 (2) 的可能取值为 0,1,2,3,4,5， P ( 0) 4 ，(1 12) (1 23) 148 P ( 1)C 3 4 ，14 12 (1 12) (1 23) (1 12) 23 18 P ( 2)C 2 2 C 3 ，24 ( 12) (1 12) (1 23) 14 12 (1 12) 23 724 P ( 3)C 3 C 2 2