1、曲线拟合及其应用综述;doc

曲线拟合及其应用综述 摘要： 本文首先分析了曲线拟合方法的背景及在各个领域 中的应用，然后详细介绍了曲线拟合方法的基本原理及实 现方法，并结合一个具体实例，分析了曲线拟合方法在柴 油机故障诊断中的应用，最后对全文内容进行了总结，并 对曲线拟合方法的发展进行了思考和展望。 关键词：曲线拟合 最小二乘法 故障模式识别 柴油机故障 诊断 1 背景及应用 在科学技术的许多领域中， 常常需要根据实 际测试所得到的一系列数据，求出它们的函数关 系。理论上讲，可以根据插值原则构造 n 次多项 式 Pn(x)，使得 Pn(x)在各测试点的数据正好通过 实测点。可是, 在一般情况下，我们为了尽量反映 实际情况而采集了很多样点，造成了插值多项式 Pn(x)的次数很高，这不仅增大了计算量，而且影 响了函数的逼近程度；再就是由于插值多项式经 过每一实测样点，这样就会保留测量误差，从而 影响逼近函数的精度，不易反映实际的函数关系。 因此，我们一般根据已知实际测试样点，找出被 测试量之间的函数关系，使得找出的近似函数曲 线能够充分反映实际测试量之间的关系，这就是 曲线拟合。 曲线拟合技术在图像处理、逆向工程、计算 机辅助设计以及测试数据的处理显示及故障模式 诊断等领域中都得到了广泛的应用。 2 基本原理 2.1 曲线拟合的定义 解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体 上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟 合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解 析表达式约束的曲线拟合； 另一类是无理论模型 的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓 扑结构确定数据关系的曲线拟合。 2.2 曲线拟合的方法 解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体 上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟 合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解 析表达式约束的曲线拟合； 另一类是无理论模型 的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓 扑结构确定数据关系的曲线拟合。 2.2.1 有理论模型的曲线拟合 有理论模型的曲线拟合适用于处理有一定背 景资料、规律性较强的拟合问题。通过实验或者 观测得到的数据对 （ xi,yi） （ i=1,2, ,n） ，可以用 与背景资料规律相适应的解析表达式 y=f(x,c)来反 映 x、 y 之间的依赖关系，y=f(x,c)称为拟合的理论 模型，式中 c=c0,c1,cn 是待定参数。当 c 在 f 中线 性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。 有许多衡量拟合优度的标准，最常用的方法是最 小二乘法。 2.2.1.1 线性模型的曲线拟合 线性模型中与背景资料相适应的解析表达式 为： （1）xy10 式中， 0， 1 未知参数， 服从 N(0， 2)。 将 n 个实验点分别带入表达式（1）得到： （2）iiixy10 式中 i=1,2,n， 1, 2, n 相互独立并且服从 N(0， 2)。 根据最小二乘原理，拟合得到的参数应使曲 线与试验点之间的误差的平方和达到最小，也就 是使如下的目标函数达到最小： （3）2101)(iiniixyJ 将试验点数据点入之后，求目标函数的最大 值问题就变成了求取使目标函数对待求参数的偏 导数为零时的参数值问题，即： （4）0)(21010 ii niixyJ （5）0)(2101ii nii xyJ 从而，就能唯一地确定参数 0， 1 的值， 完成了曲线的最小二乘拟合。 2.2.1.2 非线性模型的曲线拟合 非线性模型的问题一般比线性问题的处理要 复杂，模型也分为两类。一类是能通过某些数学 变换使待求参数以线性形式出现的，一般优先对 其进行线性变换将问题转换，这种称为伪线性最 小二乘问题；另一类是无法将待求参数线性化的 问题，则必须采用较复杂的非线性问题处理方法。 对于第一类问题，其典型代表是多项式模型， 设多项式函数为 （6） mxxxf .)(210 我们令x m=xm，则解析式变为 （7）mf .)(210 此时试验点数据为(x i1,xi2,xim, yi)，将试验点 数据代入解析式得： imiii xxf .)(210 （8） 式中i=1,2,n 。 此时的目标函数为 （922101 ).( imii ni xxyJ ） 为使目标函数得到最小值，需使其对各待求 参数的偏导数等于零，即 0).(221010 imiini xxyJ).(2101 ijiinij （10）),.j 由此便可求得各参数的唯一值，从而完成了 曲线的最小二乘拟合。 类似的可以进行线性化的常用曲线如下表所 示： 表 1 可转化为线性式的曲线类型 变量和参数变化函数表达式 变换后表达式 Y X A B=1/(+) 1=+ 1/ =(0) =+ =(0)=+ = (22) =22 /2 1/2/ 对于第二类不能直接线性化的问题，通常要 借助求解非线性方程组, 通过最优化方法求得所需 参数。最常用的最优化方法有：单纯形下山法、 拟牛顿法以及 Marquadst 算法。另外, 遗传算法 (GA )、免疫算法( IA ) 的研究也为曲线拟合中的 优化问题提供了新的思路。 2.2.2 无理论模型的曲线拟合 无理论模型的曲线拟合通常用于工程当中规 律性差、理论模型难以确定或者根本不需要理论 模型的问题的处理。这种情况下一般采用几何方 法或神经网络方法实现曲线拟合。 2.2.2.1 曲线拟合的圆弧法 圆弧拟合是一种描绘通过观测点(型值点) 的 几何拟合方法。它用分段圆弧代替曲线, 并且使相 邻两个圆弧有公共切线。这种方法归结为以下三 种情况: a. 已知圆 O和圆外两点A 1、A 2, 求圆P，使它 通过A 1、A 2，并且与圆O相切 (外切或内切)。 b. 已知圆O和圆外一点A 2，求圆P,使它通过 A2，并且和圆O切于点A 1。 c. 已知圆O 1和圆O 2, 求圆P, 使它和圆O 2相切, 且与圆O 1切于定点A。 根据上述三种情况可以确定圆的圆心坐标、 半径以及切点, 从而唯一的确定拟合曲线。 对于常规的已知实验数据点求拟合曲线问题， 圆弧拟合法的示意图如图1所示。分别对试验点连 线P 1P2和P 2P3做垂直平分线，两条垂直平分线的交 点即为第一段圆弧的圆心，第一段圆弧过前三个 试验点，以后的每个试验点的圆弧拟合方法以第q 个试验点P q为例进行说明。 3 3 先做第q个试验点与第q-1个试验点连线 Pq-1Pq 的垂直平分线，它与第q-1个试验点所在前一段拟 合曲线的过第q-1个试验点的半径或者半径的延长 线的交点，即为第q个试验点所在拟合圆弧的圆心， 确定了圆心，便可作出经过该试验点的拟合圆弧。 依此对每个试验点使用此法，便可实现对所有试 验点的圆弧曲线拟合。 图 1 可转化为线性式的曲线类型 2.2.2.1 曲线拟合的神经网络法 如果将人工神经网络的每个结点看成是一个 基本函数，则人工神经网络实质上就相当于基本 函数族网络(如图2所示)，它们在相应的权值 i作 用下， 生成网络函数 Y，可以将其看成是泛化了 的曲线模型。 图 2 人工神经网络简图 针对曲线拟合的问题，激活函数应该是连续 的、非线性的(对非线性拟合问题而言 )。应用最普 遍的是Sigmoid 函数, 其表达式为 (11)()=1/(1+ ) 式中，c 为任意常数。而网络结构的选择一 般要根据实验数据的形式确定，前馈型神经网络 是最常用的网络结构。具体地，如果是单条曲线 的拟合,网络结构应该是单输入单输出的；如果是 多对曲线的并行拟合，还存在单输入多输出与多 输入多输出的网络结构。 常用的神经网络拟合模型有BP网络、径基函 数（RBF）神经网络等，这里不再详细叙述。 3 曲线拟合的应用 3.1 运用曲线拟合法进行故障诊断的方法 曲线拟合方法在设备故障诊断方面有着广泛 的应用。在故障诊断中，需要根据已知的测试数 据找出相应函数的系数。对于每一种故障状态， 提取所采集的多组信号的多个特征参数，求每组 特征参数的平均值，然后分别将不同的特征参数 的平均值作为拟合曲线的纵坐标，即： (12),.21nuy 同时取自然数横坐标 (13) ,.x 然后运用最小二乘法进行多项式曲线拟合， 求出拟合系数，这样便可以得到不同故障状态下 的多项式拟合系数模式 。 设对于第k个模式k对应的多项式拟合系数 ank,an-1k,a2k,a1k (n为拟合多项式的阶数)，则有： ,.,1211aaMn12 (14) ,.,121kknkaa 这样对于每一种模式即可根据采集的大量实 验数据求出对应的拟合系数。对于故障模式的一 组信号求出其特征参数的拟合系数b n,bn-1,b2,b1, 定义故障模式与已知模式的距离为： 12121 )(.)()( babadnn 22b 21212 )(.)()( babadknknk (15) 若 di=min(d1,d2,dk)，则可以判断待检故障模 式属于第 i 类故障模式。 3.2 运用曲线拟合法进行故障诊断的实例 由上述理论叙述可以知道，运用曲线拟合方 法进行故障诊断可分为建立标准故障模式、分析 待检信号、故障判断三个步骤进行。现以柴油机 故障诊断为例进行分析。 3.2.1 建立标准故障模式 实验时首先从柴油机表面振动信号中提取各 种预设工作状态的时域特征参数，绘制各状态的 时域特征参数拟合曲线，计算各状态的拟合多项 式系数，建立标准故障模式；对柴油机取六种工 作状态，每种工作状态取五个时域特征参数, 建立 标准故障模式。所选状态及参数如表2 所示。 表 2 时域中标准故障时各状态特征参数 波形指 标S 峰值指 标C 脉冲指 标I 裕度指标 L 峭度指标 KV a 正常 状态 1.4873 5.1278 7.6852 9.7126 13.1796 b 第一缸喷 油压力过大 1.5469 6.1268 9.5263 12.3385 13.0475 c 第一缸喷 油压力过小 1.4968 6.0417 7.7586 9.7026 9.8014 d 第一缸进 气门漏气 1.5287 6.0417 9.2063 11.7449 12.7749 e 第一缸气 门间隙过大 1.4859 5.2251 7.8233 10.0400 9.1055 f 供油提前 角提前5- 6 0 1.1458 4.1287 5.5587 6.8011 5.2104 用 Matlab 采用最小二乘法绘制各个状态下的 拟合曲线如下图所示： 图 3 标准故障模式的拟合曲线 计算各状态下的拟合多项式系数，计算结果 如下： Ma = 0.0533 -0.4292 0.6919 3.7650 - 2.5785； Mb= -0.0793 0.8752 -3.8432 11.1812 -6.6093； Mc = -0.0663 0.7375 -3.3294 9.5310 -5.3948； Md = -0.0604 0.7112 -3.4209 10.7087 -6.4271； Me = - 0.1328 1.4257 -5.7811 13.1072 -7.1706； Mf = 0.1509 1.7039 7.2002 14.9341 8.1838 3.2.2 分析待检信号 建立了标准故障模式后，就可以设置故障进 行故障分析了。现在设置两个故障信号，从其表 5 5 面振动信号中提取时域特征参数如表 3 所示： 表 3 故障信号的时域特征参数表 波形指 标S 峰值指 标C 脉冲指 标I 裕度指标 L 峭度指标 KV 故障 信号1 1.5277 6.0388 9.2058 11.8002 12.7693 故障 信号2 1.3549 4.1368 5.6073 7.0859 5.6189 用 Matlab 绘制故障信号在时域中的拟合曲线 如图 4 所示： 图 4 故障信号的拟合曲线 计算故障信号在时域的多项式拟合系数为： M1= -0.0916 1.0081 -4.3045 10.9138 -6.0745 M2= -0.1608 1.7929 -7.3646 14.7527 - 7.7107 3.2.3 进行故障诊断 根据公式求取故障信号与标准故障模式的多 项式拟合系数之间的距离，如下表所示： 表 4 故障信号与标准故障模式的距离 与a 与b 与c 与d 与e 与f 信号1 83.7526 0.3042 2.8754 0.0190 11.5153 34.6495 信号2 216.9598 27.2178 50.0352 34.7345 5.6425 0.2918 由表可以看出，故障信号 1 与 d 状态的距离 最小，可以判断是第一气缸进气门漏气故障；故 障信号 2 与 f 状态的距离最小，可以判断是供油提 前角提前 5-6 度故障。 4 总结及展望 本文主要讲述了曲线拟合的定义、实现方法 及在故障模式识别中的应用。详细讲述了最小二 乘曲线拟合法，但在实际应用中，有些场合需要 保留原数据点，对时效性要求较高，但对拟合精 度要求不高，这时使用最小二乘法等常用方法就 不合适了，这时考虑与传统插值法结合，实现快 速的曲线拟合。 本文中的故障模式识别是对故障信号进行了 时域分析，实际上它也可以与小波变换结合，用 来实现频域信号的拟合分析。对于存在理论模型 的实际问题，要根据累积经验多次拟合完善模型， 还可将曲线拟合与自适应技术结合，来实现拟合 模型的自动选择匹配。此外，通过对以往实验数 据进行曲线拟合，可以根据拟合结果进行设备运 行状况的预测分析，加强对设备的维护及检测。 致 谢