2009年高考试题——数学理(江西卷)word版

绝密启用前 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页，共 150 分。 第卷 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是 否一致。 2. 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上 作答。若在试题卷上作答，答案无效。 3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。 参考公式 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式,AB ()()PP 24SR 如果事件 ，相互独立，那么 其中 表示球的半径, 球的体积公式()()AB 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 p 34VR 次独立重复试验中恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径nk ()(1)knnPCp 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1若复数 为纯虚数，则实数 的值为2(1)(zxix A B C D 或011 - 2 - 2函数 的定义域为2ln(1)34xy A B C D(4,)(,)(1,)(1, 3已知全集 中有 m 个元素， 中有 n 个元素若 非空，则UAUABABI 的元素个数为I A B C D mnnm 4若函数 ， ，则 的最大值为()13ta)cosfxx02x()fx A1 B C D213 5设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲()fxg()ygx,(1)21yx 线 在点 处切线的斜率为y1,)f A B C D4422 6过椭圆 ( )的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ， 为右焦点， 21xyab01FxP2F 若 ，则椭圆的离心率为120FP A B C D w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 31213 7 展开式中不含 的项的系数绝对值的和为 ，不含 的项的系数绝对值(1)naxbyx4y 的和为 ，则 的值可能为32, A B 5n2,1,6abn C D w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1,6ab5 8数列 的通项 ，其前 项和为 ，则 为n22(cosi)3nanS30 A B C D4704904951 9如图，正四面体 的顶点 ， ， 分别在两两垂直的三条射线 ，ACOx ， 上，则在下列命题中，错误的为 Oyz A 是正三棱锥 y x z O A B C D 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 - B直线 平面OACD C直线 与 所成的角是B45 D二面角 为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了 种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡3 片，集齐 种卡片可获奖，现购买该种食品 袋，能获奖的概率为35 A B C D w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1838148101 11一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径” ，封闭区域边界曲线 的长度与区域直径之比称为区域的“周率” ，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到 右依次记为 ，则下列关系中正确的为1234, A B C D143312423341 12设函数 的定义域为 ，若所有点 构成一2()(0)fxabxcD(,),)sft 个正方形区域，则 的值为 A B C D不能确定 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 248 绝密启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学 第卷 注意事项： 第卷 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。请把答案填在答题卡上 13已知向量 ， ， ，若 ，则 = (3,1)a(,)b(,7)ck()acbk 14正三棱柱 内接于半径为 的球，若 两点的球面距离为 ，则正三棱ABC2,AB 柱的体积为 - 4 - 15若不等式 的解集为区间 ,且 ,29()2xkab2 则 k 16设直线系 ,对于下列四个命题：:cos()sin1(02)Mxy 中所有直线均经过一个定点A 存在定点 不在 中的任一条直线上BP 对于任意整数 ，存在正 边形,其所有边均在 中的直线上C(3)nnM 中的直线所能围成的正三角形面积都相等D 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 三.解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 设函数 ()xef （1 ） 求函数 的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m f （2 ） 若 ，求不等式 的解集0k()1)(0fxkfx 18 （本小题满分 12 分） 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行 评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 .若某人获得两个“支持” ，则给12 予 10 万元的创业资助；若只获得一个“支持” ，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持” ， 则不予资助，令 表示该公司的资助总额 (1) 写出 的分布列； (2) 求数学期望 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m E 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 - 19 （本小题满分 12 分） 中， 所对的边分别为 ， ,ABC, ,abcsintcoABC .sin()cos （1）求 ；, （2）若 ,求 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3ABCSac 20 （本小题满分 12 分） 在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，PABCDABPABCD ， . 以 的中点 为球心、 为直径的球面42O 交 于点 ，交 于点 .MN （1 ）求证：平面 平面 ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m P （2 ）求直线 与平面 所成的角的大小；CDA （3 ）求点 到平面 的距离. N O D M CB P A - 6 - 21 （本小题满分 12 分） 已知点 为双曲线 （ 为正常数）上任一10(,)Pxy218xybb 点, 为双曲线的右焦点,过 作右准线的垂线,垂足为 ,连接2F1PA 并延长交 轴于 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m Ay2 (1) 求线段 的中点 的轨迹 的方程;1E (2) 设轨迹 与 轴交于 两点,在 上任取一点ExBD、 ,直线 分别交 轴于 两点.1,(0)Qy（ ） Q， yMN， 求证: 以 为直径的圆过两定点.MN 22 （本小题满分 14 分） 各项均为正数的数列 ， ，且对满足 的正整数 都有na12,bmnpq,mnpq.(1)()pqmna （1 ）当 时，求通项 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4,25b;na （2 ）证明：对任意 ，存在与 有关的常数 ，使得对于每个正整数 ，都有an1.na 2F1OyxA2P 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 - 绝密启用前 秘密启用后 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D B A B D B D C B 1.由 故选 A w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 201xx 2.由 .故选 C2 1430xxx 3.因为 ，所以 共有 个元素,故选 D()UUABBAmn 4.因为 = =()1tancosfxx3six2cos()3x 当 是，函数取得最大值为 2. 故选 B3 5. 由已知 ，而 ，所以 故选 A()2g()fxgx(1)14fg 6. 因为 ，再由 有 从而可得 ，故选 B,bPca1260FP23,ba3cea 7. ， ，则可取 ，选 D5(1)243n5()n1,5n 8. 由于 以 3 为周期, 故2cosi2222 230 589(3)(6)(30)S 故选 A 221 10151()5472k kk 9.将原图补为正方体不难得出 B 为错误，故选 B 10 故选 D 553(2)081P 11前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，所以 、12 - 8 - 、 ，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间23 的距离之比，所以 ，则 ，选 C4234231 12 ， ， ， ，选 B12max|()xf22bacb|a4 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 13. 14. 15. 16. 58,BC 13. 3651k 14.由条件可得 ，所以 ， 到平面 的距离为 ，所以所求体2AOB2AOABC23 积等于 8 15.由数形结合，直线 在半圆 之下必须 ，则直线()ykx29yx,1ba 过点（ ） ，则(2)ykx1,2k 16因为 所以点 到 中每条直线的距离cos()siny(0,2)PM221id 即 为圆 : 的全体切线组成的集合,从而 中存在两条平行直线,所以 A 错MC()xy 误 又因为 点不存在任何直线上,所以 B 正确 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (02) 对任意 ,存在正 边形使其内切圆为圆 ,故 正确3nC 中边能组成两个大小不同的正三角形 和 ,故 D 错误,AEF 故命题中正确的序号是 B,C 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。 17.解： (1) , 由 ,得 . 2211()xxfee()0f1x 因为 当 时, ； 当 时, ； 当 时, ；0xf0()0fx 所以 的单调增区间是: ； 单调减区间是: .()f1,)(,)， (2) 由 , 2()xxkfxkfe210xke 得： . (1)0 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 - 故：当 时, 解集是： ；01k1xk 当 时，解集是： ； 当 时, 解集是： . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 18.解：（1） 的所有取值为0,51,2,30 (0)64P()P15()64P5()16P 232 （2 ） . 31535050562E 19解：(1) 因为 ，即 ，sintacoABCsinisncocoCAB 所以 ，sin 即 ，cii 得 . 所以 ,或 (不成立).()s() )C 即 , 得 ，所以.2AB323BA 又因为 ，则 ，或 （舍去） 1sin()cos2C656 得 5,41 (2) ， 6sin328ABCSacac 又 , 即 ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m sii2 得 2,3.ac 20解： 方法一：（1）依题设知，AC 是所作球面的直径，则 AMMC。 又因为 P A平面 ABCD，则 PACD ，又 CDAD， 所以 CD平面，则 CDAM ，所以 A M平面 PCD， 所以平面 ABM平面 PCD。 （2 ）由（1 ）知， ，又 ，则 是 的中点可得MPDPD ，23C 则 6ACMS 设 D 到平面 ACM 的距离为 ，由 即 ，hDACMADV268h 可求得 ，23h NO DM CB PA - 10 - 设所求角为 ，则 ， 。6sin3hCD6arcsin3 （3 ） 可求得 PC=6。因为 ANNC ，由 ，得 PN 。所以 。PNAC8:5:9NCP 故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的 。59 又因为 M 是 PD 的中点，则 P、D 到平面 ACM 的距离相等，由（2）可知所求距离为 。5106927h 方法二： （1 ）同方法一； （2 ）如图所示，建立空间直角坐标系，则 ， ，(0,)A(,04)P ， ， ， ；设平面 的一(,0)B(2,40)C(,)D2MCM 个法向量 ，由 可得： ，令nxyznxyz ，则1z 。设所求角为 ，则 ，(2,)6sin3DC 所以所求角的大小为 。6arcsi3 （3 ）由条件可得， .在 中， ,所以 ,则ANCRtPA2PN83 , ，所以所求距离等于点 到平面 距离的 ，设点10NCP59CAM59 到平面 距离为 则 ，所以所求距离为 。Mh263n 5106h927 21解： (1) 由已知得 ,则直线 的方程为: ,20830FbAy（ ， ） ， （ ， ） 2FA03()yxb 令 得 ,即 ,0x09y()P 设 ,则 ,即 代入 得: ,P（ ， ） 00 25xyy25xy2018xyb24185xyb 即 的轨迹 的方程为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m E221xb (2) 在 中令 得 ,则不妨设 , 2215xyb0y2b-2020BbDb（ ， ） ， （ ， ） y x z D M CB P A NO 高考资源网（ks5u