2009年高三理科数学第七次月考联考试题及答案[长沙一中与雅礼中学]

2009 届长沙一中雅礼中学 高三联考试卷 数 学（理工农医类） 命题：卿 科 审卷：卿 科 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分 150 分，考试时间 120 分钟 参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式 如果事件 A、B 互斥，那么 clS21锥 侧 P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中，c 表示底面周长、l 表示斜高 或 P（AB）=P （A）P（B） 母线长 如果事件 A 在 1 次实验中发生的概率是 球的体积公式 P，那么 n 次独立重复实验中恰好发生 k 34RV球 次的概率 nknC)()( 其中 R 表示球的半径 第 I 卷(共 50 分) 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合要求的 复数 2(1)zi等于 2i 2i 设全集是实数集 R. 2|4|1MxNx与 都是的子集（如图所示， 则阴影部分所表示的集合为 2x 1 2x 函数 xf44cossin)(的最小正周期是 2 3 设等差数列 na的公差为 2，前 n项和为 nS，则下列结论正确的是 1S 12nan 1naSn 1naSn 抛物线 xy82的准线与双曲线 128yx的两条渐近线所围成的三角形的面积为 6 4 2 已知 ba0，且 a+b=1，则下列不等式中，正确的是 log2 21ba 2ll2ba ab 在空间给出下列四个命题： 如果平面 内的一条直线 a垂直于平面 内的任意一条直线，则 ； 如果直线 a与平面 内的一条直线平行，则 a ； 如果直线 与平面 内的两条直线都垂直，则 ； 如果平面 内的两条直线都平行于平面 ，则 其中正确的个数是 1 2 3 4 已知点 (3,)A，O 是坐标原点，点 (,)Pxy的坐标满足 302xy ，设 z 为 在 P上的投影，则 z 的取值范围是 3, 3, 3, 3, 把半径都为 1的四个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为 26 21 62 321 10设点 P是函数 ),0(,sin)(xf图象上的任意一点点 A的坐标为 )0,(，O 为坐标原点，则使得 OAP为直角三角形的点 P的个数是 0 2 4 6 第 II 卷 二填空题：本大题共小题，每小题 5 分（第 14、15 题第一空分，第二空 3 分） ，共 讯源网 ,百万资源,完全免费,无需注册 ,天天更新！ 讯源网 ,百万资源,完全免费,无需注册,天天更新！ 25 分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 11二项式 92()x展开式中 1x的系数为 25 12若 31limxab，则 13在 ,245五个数字组成没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共 有 14已知 1:2yxO及直线 052:yxl点 ),(0yxP是直线 l上的任意一 点 过 ),(0P作 的两条切线 BPA,， ,为切点 （i）当 20时，则直线AB 的方程为 0192yx；（ii） O的最大值为 53 15已知函数 |37|)(xf （i）函数 )(xf的对称中心为 ),(；（ii ）若函 数 aaxg 42|)| 的图象有对称中心，则 a32 三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 一袋中装有分别标记着 1、2、3、4 数字的 4 个球, 从这只袋中每次取出 1 个球, 取出 后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为 . （）求 时 的概率；（）求 的概率分布列及数学期望. 解：（） 3表示取出的三个球中数字最大者为 3 三次取球均出现最大数字为 3 的概率 1()4P 三取取球中有 2 次出现最大数字 3 的概率 236()4C 三次取球中仅有 1 次出现最大数字 3 的概率 12 239(3)64PP 6 分 （）在 k时, 利用（）的原理可知： 23213131()()()4446kkkPC ,( =1,2,3,4) 的概率分布为：E =1 2 3 4 = 12 分 164 764 1964 3764 5516 17 （本小题满分 12 分） 如图, 在正方体 ABCD 1中, E 为 的中点 （）证明：平面 E1平面 1； （）求 C与平面 B所成角的大小的正弦值 解：（）取 1的中点 ,FD1的中点 ,G连结.G,EBFCD 平面 1B, C. 又 1, ,F 平面 3 分GBE,CD2 ,21 , 四边形 FG是平行四边形, ./EGBF平面 .CDB1 又 平面 1, 平面 1平面 .CD1 6 分 （）过 C作 DBH于 ，连结 H 由（）中的平面 E1平面 1知 面 EB1，所以 C在面 DEB1上的 射影为 ，所以 就是所求的角 9 分 令正方体的棱长为 ，所以 36,25C，所以 5302sinH 即 CE与平面 DB1所成角的大小的正弦值为 10 12 分 P647196437 讯源网 ,百万资源,完全免费,无需注册 ,天天更新！ 讯源网 ,百万资源,完全免费,无需注册,天天更新！ 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 xef)(，过该函数图象上任意一点 bkxgxf )()(,0的 切 线 为 （）证明： y图象上的点总在 )gy图象的上方； （）若 Rax在 上恒成立，求实数 a的取值范围 解：（） 000)(,)( xxx egf ， 设 )efh(,)(,0hexx时 ，当 为增， 当 0)()( 00 xhxxh取 最 小 值时 ，为 减 ， 当时 ， ),)( gfgf ， 所以 fy图象上的点总在 )(y图象的上方 6 分 （）当 2 1,)(xeFxex 时 ， 令 x （，0） （0，1） 1 （1，+） F（ x） 0 + F（x） 减 减 e 增 当 x0 时，F（x）在 x=1 时有最小值 e， aae的 范 围 是恒 成 立 的即, 当 x0 时，F（x）为减函数， 0),(),0)()( xexFx， ，, aaexx的 范 围 是恒 成 立 的即 当 x=0 时， R 由， x恒成立的 的范围是 ,0e 12 分 19 （本小题满分 13 分） 如图，一船在海上由西向东航行，在 A处测得某岛 M的方位角为北偏东 角，前进4km 后在 B处测得该岛的方位角为北偏东 角，已知该岛 周围 5.3范围内有暗礁，现该船继续东行 （）若 062，问该船有无触礁危险？ 如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自 B处向东航行多少距离会有触礁危险？ （）当 与 满足什么条件时，该船没有触礁危险？ 解：（）作 ABMC，垂足为 ，由已知 06， 03， 所以 012， 03 北 M A B C 北 M A B C D 所以 4ABM， 06C， 所以 5.32sin0C，所以该船有触礁的危险 设该船自 向东航行至点 D有触礁危险，则 5.3MD， 在 B中， 4， BC， 2， 5.0)32(.C， 所以， 5.1（ km） 所以，该船自 向东航行 .1km会有触礁危险 6 分 （）设 xCM，在 A中，由正弦定理得， MABABsinsin， 即 cos)sin(4B， )sin(co4， 而 )i(six ，所以，当 5.3x， 即 27)sin(co4，即 87)sin(co时，该船没有触礁危险 13 分 20 （本小题满分 13 分） 在直角坐标平面中， ABC的两个顶点 BA,的坐标分别为 )0,1(A， ),(B，平面 内两点 MG,同时满足下列条件： 0A； MC； G （）求 BC的顶点 的轨迹方程； （）过点 ),3(P的直线 l与（）中轨迹交于不同的两点 FE,，求 O面积的最 大值 解：（）设 ).,( ,)( ,)(0MyxyxGBA ，M 点在线段 AB的中垂线上由已知 10 ,(),0Mx 1 分 又 ， 0yM又 GC，,1,1 000 yxxyx ，3 3 0y 3 分 讯源网 ,百万资源,完全免费,无需注册 ,天天更新！ 讯源网 ,百万资源,完全免费,无需注册,天天更新！ MCB， 2222 30310 yxy ，32yx ， 顶点 C的轨迹方程为 12 0 5 分 （）设直线 l方程为： )0(3kxy， ),(1yxE， ),(2yxF， 由 13)(2yxk 消去 得： 0396222 k 621k ， 3921kx 7 分 由方程知 4 0，2k 83， 0k， 2k 8 9 分 而 21212121 4)(|3|3|2 xxkxySABC 964963)(| 2kkk 11 分 令 tk2，则 )8,0(， ABCS96432t记 )830()249)(ttf ， 求导易得当 173t时有 OEF面积的最大值 13 分 21 （本小题满分 13 分） 已知数列 na满足： )()(1*2 Nnan ，且 1,021a求证： （）数列 )(1nna为等比数列；（） )(!98nn 解：（）由 )12nna得 1112 )2()()( nnnn aaa 而 012，所以 11)()(nnn， 所以数列 )(na为等比数列 4 分 （）由（）有 )2(!1)(!nn 6 分 所以 )!12()!()!12(2nann， )!2(1)!32()!(2nann ，)!()!(a ，累和得 !)!()!()!( )!12(!5432)!1()!2(!514!321 nn 8 分 因为 13)1(! nn ，9 分 所以 )1)(22)!2( *353 也 成 立检 验 nNan 记 35311nS ，用错位相减法得