2017年河南省洛阳市高考数学模拟试卷（文科）含答案解析

2017 年河南省洛阳市高考数学模拟试卷（文科）（ 3 月份） 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设复数 z 满足 =|1 i|+i（ i 为虚数单位），则复数 z 为（ ） A i B +i C 1 D 1 2i 2已知集合 A= 1， 1， 3， B=1， 2a， B A，则实数 a 的不同取值个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 3已知 ， 是非零向量且满足（ 2 ） ，（ 2 ） ，则 与 的夹角是（ ） A B C D 4已知等差数列 公差和首项都不等于 0，且 等比数列，则=（ ） A 2 B 3 C 5 D 7 5设 a= b= （ ， c= ，则 a， b， c 的大小关系是（ ） A a b c B b a c C c a b D a c b 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A B C D 3 7意大利著名数学家斐波那契在研究 兔子繁殖问题时，发现有这样一列数： 1，1， 2， 3， 5， 8， 13， 该数列的特点是：前两个数都是 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列 为“斐波那契数列 ”，则（ a ）（ a ）（ a ） （ a ）=（ ） A 1 B 1 C 2017 D 2017 8如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰， P 表示估计的结果，刚图中空白框内应填入 P=（ ） A B C D 9已知直线 x+y k=0（ k 0）与圆 x2+ 交于不同的两点 A、 B， O 是坐标原点，且有 ，那么 k 的取值范围是（ ） A B C D 10一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（ 1）三角形；（ 2）四边形；（ 3）五边形；（ 4）六边形，其中正确的结论是（ ） A（ 1）（ 3） B（ 2）（ 4） C（ 2）（ 3）（ 4） D（ 1）（ 2）（ 3）（ 4） 11已知直线 y=k（ x+2）（ k 0）与抛物线 C： x 相交于 A， B 两点， F 为C 的焦点 ，若 |2|则点 A 到抛物线的准线的距离为（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 12已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f（ x） =x+1），给出下列命题： 当 x 0 时， f（ x） =e x（ x 1）； 函数 f（ x）有 2 个零点； f（ x） 0 的解集为（ ， 1） （ 0， 1）， R，都有 |f（ f（ | 2 其中正确命题的个数是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13中心在原点， 焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（ 2， 1），则它的离心率为 14设 a 0， b 0若 是 3a 与 32b 的等比中项，则 + 的最小值为 15已知 p： x ， ， 2x m（ ）， q：函数 f（ x） =4x+2x+1+m 1 存在零点，若 “p 且 q”为真命题，则实数 m 的取值范围是 16已知 O（ 0， 0）， A（ 2， 1）， B（ 1， 2）， C（ ， ），动点 P（ x，y）满足 0 2且 0 2，则点 的距离大于 的概率为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17（ 12 分）已知 f（ x） = +x） x） 0）的最小正周期为 T= （ 1）求 f（ ）的值 （ 2）在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若（ 2a c） 角 B 的大小以及 f（ A）的取值范围 18（ 12 分）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各 5 个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示其中一个数字被污损 （ 1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数 的概率 （ 2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅，现从观看节目的观众中随机统计了 4 位观众的周均学习成语知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）； 年龄 x（岁） 20 30 40 50 周均学习成语知识时间 y（小时） 3 4 表中数据，试求线性回归方程 = x+ ，并预测年龄为 50 岁观众周均学习成语知识时间 参考公式： = ， = 19（ 12 分）如图，在四棱锥中 P ，底 面 菱形，且 0，D， M 为 中点，平面 平面 （ 1）求证： （ 2）若 0， ，求点 A 到平面 距离 20（ 12 分）已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右交点分别为 |4 ， A（ ， ）是椭圆上一点 （ 1）求椭圆 C 的标准方程和离心率 e 的值； （ 2）若 T 为椭圆 C 上异于顶点的任意一点， M， N 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线 y 轴交于点 P，直线 x 轴交于点 Q，求证： |定值 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =， g（ x） =ax+b （ 1）若 a=2， F（ x） =f（ x） g（ x），求 F（ x）的单调区间； （ 2）若函数 g（ x） =ax+b 是函数 f（ x） =图象的切线，求 a+b 的最小值 选修 4标系与参数方程 22（ 10 分）在直角坐标系 ，曲线 参数方程为 （ a 为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的正半周为极轴，建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 ） =3 （ 1）写出 普通方程和 直角坐标方程； （ 2）设点 P 在 ，点 Q 在 ，求 |最小值及此时 P 的直角坐标 选修 4等式选讲 23已知关于 x 的不等式 |x+3|+|x+m| 2m 的解集为 R （ 1）求 m 的最大值； （ 2）已知 a 0， b 0， c 0，且 a+b+c=1，求 2最小值及此时 a， b，c 的值 2017 年河南省洛阳市高考数学模拟试卷（文科）（ 3 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设复数 z 满足 =|1 i|+i（ i 为虚数单位），则复数 z 为（ ） A i B +i C 1 D 1 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解：复数 z 满足 =|1 i|+i= +i，则复数 z= i 故选： A 【点评】 本题考查了复数的模的计算公式、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2已知集合 A= 1， 1， 3， B=1， 2a， B A，则实数 a 的不同取值个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 集 合的包含关系判断及应用；交集及其运算 【分析】 根据题意，分析可得：若 B A，必有 2a= 1 或 2a=3，分 2 种情况讨论可得答案 【解答】 解： B A， 2a= 1 或 2a=3 由 2a= 1 得 2a+1=0，解得 a=1 当 a=1 时， B=1， 1，满足 B A 由 2a=3 得 2a 3=0，解得 a= 1 或 3， 当 a= 1 时， B=1， 3，满足 B A， 当 a=3 时， B=1， 3，满足 B A 综上，若 B A，则 a= 1 或 a=3 故选： B 【点评】 本题考 查集合间包含关系的运用，注意分情况讨论时，不要漏掉情况 3已知 ， 是非零向量且满足（ 2 ） ，（ 2 ） ，则 与 的夹角是（ ） A B C D 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 【分析】 利用两个向量垂直，数量积等于 0，得到 = =2 ，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角 【解答】 解： （ ） ，（ ） ， （ ） = 2 =0， （ ） = 2 =0， = =2 ，设 与 的夹角为 ， 则由两个向量的夹角公式得 = = = ， =60， 故选 B 【点评】 本题考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式的应用 4已知等差数列 公差和首项都不等于 0，且 等比数列，则=（ ） A 2 B 3 C 5 D 7 【考点】 等比数列的性质 【分析】 利用等差数列 公差和首项都不等于 0，且 等比数列，可得 d=可求出 【解答】 解： 等差数列 公差和首项都不等于 0，且 等比数列， （ d） 2=（ a1+d）（ d）， d2= d 0， d= = =3 故选： B 【点评】 本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础 5设 a= b= （ ， c= ，则 a， b， c 的大小关系是（ ） A a b c B b a c C c a b D a c b 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 利用两角和公式和倍角公式对 a， b， c 分别化简，利用诱导公式再转化成单调区间的正弦函数，最后利用正弦函 数的单调性求得答案 【解答】 解： a=40+127） = b= （ = 56 45） = = a c b 故选： D 【点评】 本题考查了三角函数的化简求值，考查了两角和公式，二倍角公式，诱导公式的应用，正弦函数的单调性，属于基 础题 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ） A B C D 3 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面 平面 棱锥 A 高为 1，四边形 边长为 1 的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论 【解答】 解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面 平面 棱锥 A 高为 1，四边形 边长为 1 的正方形，则 S= ， S = ， S = ， 故选： B 【点评】 本题考查三视图与几何体的关系，几何体的侧面积的求法，考查计算能力 7意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数： 1，1， 2， 3， 5， 8， 13， 该数列的特点是：前两个数都是 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列 为“斐波那契数列 ”，则（ a ）（ a ）（ a ） （ a ）=（ ） A 1 B 1 C 2017 D 2017 【考点 】 数列的应用 【分析】 利用 a =1 2 12=1， a =1 3 22= 1， a =25 32=1， ， a =1即可得出 【解答】 解： a =1 2 12=1， a =1 3 22= 1， a =2 5 32=1， ， a =1 （ a ）（ a ）（ a ） （ a ） =11008 （1） 1007= 1 故选： B 【点评】 本题考查了斐波那契数列的性 质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 8如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰， P 表示估计的结果，刚图中空白框内应填入 P=（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式 【解答】 解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率 的程序框图，M 是圆周内的点的次数，当 i 大于 2017 时， 圆周内的点的次数为 4M，总试验次数为 2017， 所以要求的概率 ， 所以空白框内应填入的表达式是 P= 故选： C 【 点评】 本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率 的方法，考查计算能力，属于基础题 9已知直线 x+y k=0（ k 0）与圆 x2+ 交于不同的两点 A、 B， O 是坐标原点，且有 ，那么 k 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 向量在几何中的应用；直线与圆相交的性质 【分析】 利用平行四边形法则，借助于正弦与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论 【解答】 解：设 点为 D，则 ， 直线 x+y k=0（ k 0）与圆 x2+ 交 于不同的两点 A、 B， 4 4 k 0， 故选 C 【点评】 本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题 10一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（ 1）三角形；（ 2）四边形；（ 3）五边形；（ 4）六边形，其中正确的结论是（ ） A（ 1）（ 3） B（ 2）（ 4） C（ 2）（ 3）（ 4） D（ 1）（ 2）（ 3）（ 4） 【考点】 平面的基本性质及推论 【分析】 利用正方体的结构特征求 解 【解答】 解：正方体容器中盛有一半容积的水， 无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心 三角形截面不过正方体的中心，故（ 1）不正确； 过正方体的一对棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，故（ 2）正确； 正方体容器中盛有一半容积的水，任意转动这个正方体， 则水面在容器中的形状不可能是五边形，故（ 3）不正确； 过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形，故（ 4）正确 故选： B 【点评】 本题考查水面在容器中的形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 11已知直线 y=k（ x+2）（ k 0）与抛物线 C： x 相交于 A， B 两点， F 为C 的焦点，若 |2|则点 A 到抛物线的准线的距离为（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 【考点】 直线与抛物线的位置关系 【分析】 根据直线方程可知直线恒过定点，如图过 A、 B 分别作 l 于 M，l 于 N，根据 |2|推断出 |2|点 B 为 中点、连接 知 | |推断出 |进而求得点 B 的横坐标，即可求得点 A 到抛物线的准线的距离 【解答】 解：设抛 物线 C： x 的准线为 l： x= 2， 直线 y=k（ x+2）恒过定点 P（ 2， 0） 如图过 A、 B 分别作 l 于 M， l 于 N， 由 |2|则 |2| 点 B 为 中点、连接 则 | | |点 B 的横坐标为 1， |6， 点 A 到抛物线的准线的距离为 6 故选： A 【点评】 本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 12已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f（ x） =x+1），给出下列命题： 当 x 0 时， f（ x） =e x（ x 1）； 函数 f（ x）有 2 个零点； f（ x） 0 的解集为（ ， 1） （ 0， 1）， R，都有 |f（ f（ | 2 其中正确命题的个数是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据 f（ x）为奇函数，设 x 0，得 x 0，可求出 f（ x） =e x（ x 1）判定 正确； 由 f（ x）解析式求出 1， 1， 0 都是 f（ x）的零点，判定 错误； 由 f（ x）解析式求出 f（ x） 0 的解集，判断 正确； 分别对 x 0 和 x 0 时的 f（ x）求导，根据导数符号判断 f（ x）的单调性， 根据单调性求 f（ x）的值域，可得 R，有 |f（ f（ | 2，判定 正确 【解答】 解：对于 ， f（ x）为 R 上的奇函数，设 x 0，则 x 0， f（ x） =e x（ x+1） = f（ x）， f（ x） =e x（ x 1）， 正确； 对于 ， f（ 1） =0， f（ 1） =0，且 f（ 0） =0， f（ x）有 3 个零点， 错误； 对于 ， x 0 时， f（ x） =x+1），易得 x 1 时， f（ x） 0； x 0 时， f（ x） =e x（ x 1），易得 0 x 1 时， f（ x） 0； f（ x） 0 的解集为（ ， 1） （ 0， 1）； 正确； 对于 ， x 0 时， f（ x） =x+2），得 x 2 时， f（ x） 0， 2 x 0 时， f（ x） 0； f（ x）在（ ， 0）上单调递减，在（ 2， 0）上单调递增； x= 2 时， f（ x）取最小值 e 2，且 x 2 时， f（ x） 0； f（ x） f（ 0） =1； 即 e 2 f（ x） 1； x 0 时， f（ x） =e x（ 2 x）； f（ x）在（ 0， 2）上单调递增，在（ 2， + ） 上单调递减； x=2 时， f（ x）取最大值 e 2，且 x 2 时， f（ x） 0； f（ x） f（ 0） = 1； 1 f（ x） e 2； f（ x）的值域为（ 1， e 2 e 2， 1）； R，都有 |f（ f（ | 2； 正确； 综上，正确的命题是 ，共 3 个 故选： B 【点评】 本题考查了奇函数的定义与应用问题，也考查了函数的零点以及不等式的解集、根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，是综合性题目 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（ 2， 1），则它的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用已知条件列出关系式求解即可 【解答】 解：中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（ 2， 1）， 可得 2b a=0，即 44a2= 可得 4a2 e= 故答案为： 【点评】 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 14设 a 0， b 0若 是 3a 与 32b 的等比中项，则 + 的最小值为 8 【考点】 基本不等式 【分析】 根据题意 ，由等比数列的性质可得 3a 32b=（ ） 2，变形化简可得 a+2b=1，进而有 + =（ a+2b）（ + ） =4+（ + ），结合基本不等式可得 + 的最小值，即可得答案 【解答】 解：根据题意，若 是 3a 与 32b 的等比中项， 则有 3a 32b=（ ） 2，即 3a+2b=3， 则有 a+2b=1； 则 + =（ a+2b）（ + ） =4+（ + ） 4+2 =8； 即 + 的最小值为 8； 故答案为： 8 【点评】 本题考查基本不等式的运用，涉及等比数列的性质，关键是求出 a+2b=1 15已知 p： x ， ， 2x m（ ）， q：函数 f（ x） =4x+2x+1+m 1 存在零点，若 “p 且 q”为真命题，则实数 m 的取值范围是 （ ， 1） 【考点】 复合命题的真假 【分析】 分别求出 p， q 为真时的 m 的范围，取交集即可 【解答】 解：已知 p： x ， ， 2x m（ ）， 故 m ， 令 g（ x） = ，则 g（ x）在 ， 递减， 故 g（ x） g（ ） = ， 故 p 为真时： m ； q：函数 f（ x） =4x+2x+1+m 1=（ 2x+1） 2+m 2， 令 f（ x） =0，得 2x= 1， 若 f（ x）存在零点， 则 1 0，解得： m 1， 故 q 为真时， m 1；若 “p 且 q”为真命题， 则实数 m 的取值范围是：（ ， 1）， 故答案为：（ ， 1） 【点评】 本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题以及指数函数的性质，是一道中档题 16已知 O（ 0， 0）， A（ 2， 1）， B（ 1， 2）， C（ ， ），动点 P（ x，y）满足 0 2 且 0 2，则点 P 到点 C 的距离大于 的概率为 1 【考点】 几何概型；平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量的数量积的坐标公式将不等式进行化简，作出不等式组对应的平面区域 ，利用几何概型的概率公式即可得到结论 【解答】 解： A（ 2， 1）， B（ 1， 2）， C（ ， ）， 动点 P（ a， b）满足 0 2 且 0 2， ， z=（ a ） 2+（ b ） 2 ， 作出不等式组对应的平面区域如图： 点 P 到点 C 的距离大于 ， |，则对应的部分为阴影部分， 由 解得 ， 即 E（ ， ）， | = ， 正方形 面积为 ， 则阴影部分的面积为 ， 根据几何概型的概率公式可知所求的概率为 = ， 【点评】 本题主要考查几何概型的概率公式的计算，利用 数量积将不等式进行转化，求出相应区域的面积是解决本题的关键 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17（ 12 分）（ 2017洛阳模拟）已知 f（ x） = +x） x） 0）的最小正周期为 T= （ 1）求 f（ ）的值 （ 2）在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若（ 2a c） 角 B 的大小以及 f（ A）的取值范围 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1） f（ x） = +x） x） = =2x ） 由最小正周期得 （ 2）由（ 2a c） （ 2 B，再求 f（ A）的取值范围 【解答】 解：（ 1） f（ x） = +x） x） =2x ） 最小正周期为 T=， ， =1 f（ x） =2x ） f（ ） =2 ） = （ 2） （ 2a c） （ 2 2B+C） = 0， ， B （ 0， ）， A ， 2A ， 2A ） f（ A）的取值范围：（ 1， 【点评】 本题考查了三角恒等变形，解三角形，属于中档题 18（ 12 分）（ 2017洛阳模拟）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各 5 个城 市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示其中一个数字被污损 （ 1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率 （ 2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅，现从观看节目的观众中随机统计了 4 位观众的周均学习成语知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）； 年龄 x（岁） 20 30 40 50 周均学习成语知识时间 y（小时） 3 4 表中数据，试求线性回归方程 = x+ ，并预测年龄为 50 岁观众周均学习成语知识时间 参考公式： = ， = 【考点】 线性回归方程；茎叶图 【分析】 （ 1）求出基本事件的个数，即可求出概率； （ 2）求出回归系数，可得回归方程，再预测年龄为 50 岁观众周均学习成语知识时间 【解答】 解：（ 1）设被污损的数字为 a，则 a 有 10 种情况 令 88+89+90+91+92 83+83+97+90+a+99，则 a 8， 东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有 8 种情况， 其概率为 = ； （ 2） =35， = = = = ， = = = x+ x=50 时， =时 【点评】 本题考查古典概型概率的计算，考查独立性检验知识的运用，属于中档题 19（ 12 分）（ 2017洛阳模拟）如图，在四棱锥中 P ，底面 0， D， M 为 中点，平面 平面 （ 1）求证： （ 2）若 0， ，求点 A 到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的性质 【分 析】 （ 1）取 点 E，连接 明： 平面 可证明 （ 2）利用等体积方法，求点 A 到平面 距离 【解答】 （ 1）证明：取 点 E，连接 底面 菱形， E， M 分别是 中点， D， 平面 平面 面 平面 D， 平面 ， 平面 面 （ 2）解： D= ， 0， 0， B=， ， = ， B= =2 等边三角形 ， ， S ， S = 设三棱锥 A 高为 h，则由等体积可得 ， h= ， 点 A 到平面 距离为 【点评】 本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查等体积方法的运用，属于中档题 20（ 12 分）（ 2017洛阳模拟）已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右交点分别为 |4 ， A（ ， ）是椭圆上一点 （ 1）求椭圆 C 的标准方程和离心率 e 的值； （ 2）若 T 为椭圆 C 上异于顶点的任意一点， M， N 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线 y 轴交于点 P，直线 x 轴交于点 Q，求证： |定值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由已知得 c=2 ， 2 ， 0）， 2 ），2a=| + =8，即可求方程、离心率 （ 2）写出直线 M 的方程，得 P（ ，得 Q（ 0， ），即|4+ |=| | ，|2+ |=| | = 【解答】 解：（ 1）由已知得 c=2 ， 2 ， 0）， 2 ）， 2a=| + =8 a=4， b2=， e= 椭圆 C 的标准方程： e= （ 2） T（ （ 0， 0），则 M（ 0， 2）， N（ 4， 0）， 直线 方程为： ， 令 y=0，得 P（ ， 直线 方程： ， 令 x=0，得 Q（ 0， ） 则 |4+ |=| | 则 |2+ |=| | | = |定值 16 【点评】 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题 21（ 12 分）（ 2017洛阳模拟）已知函数 f（ x） =， g（ x） =ax+b （ 1）若 a=2， F（ x） =f（ x） g（ x），求 F（ x）的单调区间； （ 2）若函数 g（ x） =ax+b 是函数 f（ x） =图象的切线，求 a+b 的最小值 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出 F（ x）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间 即可； （ 2）设切点（ m， ），求出 f（ x）的导数，由题意可得 a= + ， =ma+b，即可得到 a+b=+ 1，令 =t 0 换元，可得 a+b=（ t） = t 1，利用导数求其最小值即可得到 a+b 的最小值 【解答】 解：（ 1） a=2 时， F（ x） =f（ x） g（ x） = 2x b， F（ x） = + 2，（ x 0）， F（ x） = ， 令 F（ x） 0，解得： 0 x 1， 令 F（ x） 0，解得： x 1， 故 F（ x）在（ 0， 1）递增，在（ 1， + ）递减； （ 2）：设切点（ m， ），函数 f（ x） =的导数为 f（ x） = + ， 即有切线的斜率为 + ， 若直线 g（ x） =ax+b 是函数 f（ x） =图象的切线， 则 a= + ， =ma+b， 即有 b= 1， a+b=+ 1， 令 =t 0，则 a+b= t+1，