2015年湖北省武汉市中考数学模拟试卷

第 1 页（共 29 页） 2015 年湖北省武汉市中考数学模拟试卷 8武汉素有“首义之区” 的美名，2011 年 9 月 9 日，武汉与台湾将共同纪念辛亥革命一百周年某 校为了了解全校学生对辛亥革命的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并根据收集的信 息进行了统计，绘制了下面尚不完整的统计图 根据以上的信息，下列判断：参加问卷调查的学生有 50 名；参加进行问卷调查的学生中， “基本了解” 的有 10 人；扇形图中“基本了解”部分的扇形的圆心角的度数是 108； 在参加进行 问卷调查的学生中，“了解” 的学生占 10% 其中结论正确的序号是（ ） A B C D 9如图，已知直线 l：y= x，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B，过点 B 作直线 l 的 垂线交 y 轴于点 A1；过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2；按此作法继续下去，则点 A4 的坐标为（ ） A（0，64） B（0，128 ） C（0，256） D（0，512） 10如图，在直角坐标系 xOy 中，已知正三角形 ABC 的边长为 2，点 A 从点 O 开始沿着 x 轴的正 方向移动，点 B 在xOy 的平分线上移动则点 C 到原点的最大距离是（ ） A1+ + B + C2+ D1+2 第 2 页（共 29 页） 14一次越野跑中，当小明跑了 1600 米时，小刚跑了 1400 米，小明、小刚所跑的路程 y（米）与 时间 t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米 15如图，已知点 A 是双曲线 y= 在第一象限的分支上的一个动点，连结 AO 并延长交另一分支于 点 B，以 AB 为边作等边 ABC，点 C 在第四象限随着点 A 的运动，点 C 的位置也不断变化，但 点 C 始终在双曲线 y= （k0）上运动，则 k 的值是 16如图，在四边形 ABDC 中，AD=4，CD=3 ，ABC=ACB=ADC=45 ，则 BD 的长是 三、解答题（8 大题，共 72 分） 17在平面直角坐标系中，直线 y=k（x2）刚好经过点（0，4）， （1）求 k 的值； （2）求不等式 2xkx+4 的解集 第 3 页（共 29 页） 18如图，在四边形 ABCD 中，点 O 是 AC 的中点， （1）若 ABCD，求证：OABOCD； （2）在问题（1）中，若 AC=BD，则四边形 ABCD 是 19有四张正面分别标有数字 1，2，3，4 的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们 洗匀后背面朝上 （1）从四张卡片中随机地摸取一张数字为偶数的概率； （2）从四张卡片中随机地摸取两张数字和为 3 的倍数的概率 20在边长为 1 的小正方形网格中，AOB 的顶点均在格点上， （1）B 点关于 y 轴的对称点坐标为 ； （2）将AOB 向左平移 3 个单位长度得到A 1O1B1，请画出A 1O1B1； （3）将AOB 以 O 为旋转中心顺时针旋转 90得到 A2OB2，求旋转过程中 OA 所扫过的面积 21如图，AB 是 O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 作O 的切线 CM （1）求证：ACM= ABC； （2）延长 BC 到 D，使 BC=CD，连接 AD 与 CM 交于点 E，若O 的半径为 3，ED=2，求ACE 的外接圆的半径 第 4 页（共 29 页） 22某商店销售 10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为 4000 元，销售 20 台 A 型和 10 台 B 型电脑 的利润为 3500 元 （1）求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台，其中 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍，设购进 A 型电脑 x 台，这 100 台电脑的销售总利润为 y 元 求 y 关于 x 的函数关系式； 该商店购进 A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 23在ABC 中， A=90，点 D 在线段 BC 上，EDB= C，BE DE，垂足为 E，DE 与 AB 相 交于点 F （1）当 AB=AC 时，（如图 1）， EBF= ； 探究线段 BE 与 FD 的数量关系，并加以证明； （2）当 AB=kAC 时（如图 2），求 的值（用含 k 的式子表示） 24已知抛物线 y=ax22ax4 与 x 轴交于点 A、B （A 左 B 右），与 y 轴交于点 C，ABC 的面积 为 12 （1）求抛物线的表达式； 第 5 页（共 29 页） （2）若点 P 在 x 轴上方的抛物线上，且 tanPAB= ，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，过 C 作射线交线段 AP 于点 E，使得 tanBCE= ，连结 BE，求证： BEBC 第 6 页（共 29 页） 2015 年湖北省武汉市中考数学模拟试卷（5 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题 1在实数 0， ， ，| 2|中，最小的是（ ） A B C0 D|2| 【考点】实数大小比较 【分析】求出| 2|=2，根据正数大于负数和 0，负数都小于 0，得出负数小，即可解答 【解答】解：| 2|=2， ， 最小的数是 ， 故选：B 【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，注意：正数都大于 0，负数都小于 0正数大于一切 负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小 2函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx 2 Cx2 Dx2 【考点】函数自变量的取值范围 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，x2 0， 解得 x2 故选 B 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 第 7 页（共 29 页） 3下列计算中，正确的是（ ） A3 2= B =3 Cm 6m2=m3 D（ab） 2=a2b2 【考点】负整数指数幂；算术平方根；同底数幂的除法；完全平方公式 【分析】分别根据负整数指数幂及同底数幂的除法法则、数的开方法则及完全平方公式对各选项进 行逐一分析即可 【解答】解：A、原式= = ，故本选项正确； B、原式=3，故本选项错误； C、原式=m 62=m4，故本选项错误； D、原式=a 2+b22ab，故本选项错误 故选 A 【点评】本题考查的是负整数指数幂，熟知负整数指数幂的运算法则是解答此题的关键 4为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班 15 名同学积极捐款，他们捐款数额如下表： 捐款的数额（单位：元） 5 10 20 50 100 人数（单位：个） 2 4 5 3 1 关于这 15 名学生所捐款的数额，这组数据中中位数是（ ） A5 B10 C20 D50 【考点】中位数 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位 数 【解答】解：本题数据个数为 15，把数据按由小到大顺序排序，第 8 个数据为 20， 所以中位数为 20 故选 C 【点评】本题考查了中位数，求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小） 的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数 据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数 第 8 页（共 29 页） 5下列计算正确的是（ ） Aa 3a=a2 B（ 2a） 2=4a2 Cx 3x2=x6 Dx 6x2=x3 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂 【分析】利用合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法与同底数幂的乘除法的运算法则求解即可求 得答案，注意排除法在解选择题中的应用 【解答】解：A、a 3aa2，故本选项错误； B、（2a） 2=4a2，故本选项正确； C、x 3x2=x32=x，故本选项错误； D、x 6x2=x4，故本选项错误 故选 B 【点评】此题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法与同底数幂的乘除法的运算法则此 题比较简单，注意掌握指数的变化 6如图，DEF 是由ABC 经过位似变换得到的，点 O 是位似中心，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，则DEF 与 ABC 的面积比是（ ） A1：2 B1：4 C1：5 D1：6 【考点】位似变换；三角形中位线定理；相似三角形的性质 【分析】图形的位似就是特殊的相似，满足相似的性质，且位似图形上任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于相似比因为 D、E、F 分别是 OA、OB 、OC 的中点，根据三角形的中位线定理可 知：DF= AC，即DEF 与ABC 的相似比是 1：2，所以面积的比是 1：4 【解答】解：D、F 分别是 OA、OC 的中点， DF= AC， DEF 与ABC 的相似比是 1：2， 第 9 页（共 29 页） DEF 与ABC 的面积比是 1：4 故选：B 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，位似的定义及性质：面积的比等于相似比的平方 7如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另 一个不同的几何体是（ ） A B C D 【考点】简单几何体的三视图 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，分别得 到每个几何体的三视图，进而得到答案 【解答】解：正方体主视图、左视图、俯视图都是正方形； 圆柱主视图和左视图是长方形，俯视图是圆； 圆锥主视图和左视图是三角形、俯视图是带圆心的圆； 球主视图、左视图、俯视图都是圆， 故选：B 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握三视图所看的位置 8武汉素有“首义之区” 的美名，2011 年 9 月 9 日，武汉与台湾将共同纪念辛亥革命一百周年某 校为了了解全校学生对辛亥革命的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并根据收集的信 息进行了统计，绘制了下面尚不完整的统计图 第 10 页（共 29 页） 根据以上的信息，下列判断：参加问卷调查的学生有 50 名；参加进行问卷调查的学生中， “基本了解” 的有 10 人；扇形图中“基本了解”部分的扇形的圆心角的度数是 108； 在参加进行 问卷调查的学生中，“了解” 的学生占 10% 其中结论正确的序号是（ ） A B C D 【考点】条形统计图；扇形统计图 【专题】图表型 【分析】用了解很少的学生数除以该组所占比例即可得到总人数； 用学生总数乘以该组所占的比例得到基本了解的学生数； 扇形所对圆心角的度数等于圆周角乘以该组所占比例； 【解答】解：了解很少的学生有 25 人，占学生总数的 50%， 参加问卷调查的学生有 2550%=50 人，故正确； 5030%=15 人， 参加进行问卷调查的学生中，“基本了解” 的有 15 人， 故错误； 36030%=108， “基本了解 ”部分的扇形的圆心角的度数是 108，故正确； 故选 C 【点评】本题考查了两种统计图的认识，解题的关键是正确的利用这两种统计图的关系 9如图，已知直线 l：y= x，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B，过点 B 作直线 l 的 垂线交 y 轴于点 A1；过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2；按此作法继续下去，则点 A4 的坐标为（ ） A（0，64） B（0，128 ） C（0，256） D（0，512） 【考点】一次函数综合题 【专题】压轴题；规律型 第 11 页（共 29 页） 【分析】本题需先求出 OA1 和 OA2 的长，再根据题意得出 OAn=4n，求出 OA4 的长等于 44，即可 求出 A4 的坐标 【解答】解：点 A 的坐标是（ 0，1）， OA=1， 点 B 在直线 y= x 上， OB=2， OA1=4， OA2=16， 得出 OA3=64， OA4=256， A4 的坐标是（0，256） 故选 C 【点评】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段 的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用 10如图，在直角坐标系 xOy 中，已知正三角形 ABC 的边长为 2，点 A 从点 O 开始沿着 x 轴的正 方向移动，点 B 在xOy 的平分线上移动则点 C 到原点的最大距离是（ ） A1+ + B + C2+ D1+2 【考点】勾股定理；坐标与图形性质；等边三角形的性质 【分析】当 OC 垂直平分线段 AB 时，线段 OC 最长，设 OC 与 AB 的交点为 F，在 OF 上取一点 E，使得 OE=EA，分别求出 CF、EF、OE 即可 【解答】解：如图，当 OC 垂直平分线段 AB 时，线段 OC 最长 设 OC 与 AB 的交点为 F，在 OF 上取一点 E，使得 OE=EA， ABC 为等边三角形，边长为 2，OCAB CF= AC= ，AF=BF=1， 第 12 页（共 29 页） BOC=AOC=22.5， EOA=EAO=22.5， FEA=FAE=45， AF=EF=1，AE= ， OC=OE+EF+CF=1+ + 故选 A 【点评】本题考查坐标与图形的性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，解题的关键是确定直 线 OC 是 AB 的垂直平分线，学会添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 二填空题 11分解因式：ax 2ay2= a（x+y）（xy） 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】应先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：ax 2ay2， =a（x 2y2）， =a（x+y）（xy） 故答案为：a（x+y）（xy） 【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻 底 第 13 页（共 29 页） 12现有 32000 升水，这一数据用科学记数法表示为 3.210 4 【考点】科学记数法表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看 把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：32000=3.210 4 故答案为：3.2 104 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 13在一个不透明的布袋中装有 2 个白球和 n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同若从中随 机摸出一个球，它是黄球的概率是 ，则 n= 8 【考点】概率公式 【分析】根据黄球的概率公式列出方程求解即可 【解答】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有 n+2 个球，其中黄球 n 个， 根据古典型概率公式知：P（黄球）= = 解得 n=8 故答案为：8 【点评】用到的知识点为：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= 14一次越野跑中，当小明跑了 1600 米时，小刚跑了 1400 米，小明、小刚所跑的路程 y（米）与 时间 t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 2200 米 【考点】一次函数的应用 第 14 页（共 29 页） 【专题】数形结合 【分析】设小明的速度为 a 米/ 秒，小刚的速度为 b 米/秒，由行程问题的数量关系建立方程组求出 其解即可 【解答】解：设小明的速度为 a 米/ 秒，小刚的速度为 b 米/秒，由题意，得 ， 解得： ， 这次越野跑的全程为：1600+3002=2200 米 故答案为：2200 【点评】本题考查了行程问题的数量关系的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时由函数图 象的数量关系建立方程组是关键 15如图，已知点 A 是双曲线 y= 在第一象限的分支上的一个动点，连结 AO 并延长交另一分支于 点 B，以 AB 为边作等边 ABC，点 C 在第四象限随着点 A 的运动，点 C 的位置也不断变化，但 点 C 始终在双曲线 y= （k0）上运动，则 k 的值是 6 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角 的三角函数值 【专题】动点型 【分析】连接 OC，易证 AOOC，OC= OA由AOC=90 想到构造 K 型相似，过点 A 作 AEy 轴，垂足为 E，过点 C 作 CFy 轴，垂足为 F，可证AEOOFC从而得到 OF= AE，FC= EO设点 A 坐标为（a ，b）则 ab=2，可得 FCOF=6设点 C 坐标为（x，y）， 从而有 FCOF=xy=6，即 k=xy=6 【解答】解：双曲线 y= 关于原点对称， 第 15 页（共 29 页） 点 A 与点 B 关于原点对称 OA=OB 连接 OC，如图所示 ABC 是等边三角形，OA=OB， OCABBAC=60 tanOAC= = OC= OA 过点 A 作 AEy 轴，垂足为 E， 过点 C 作 CFy 轴，垂足为 F， AEOE，CFOF ，OCOA， AEO=OFC，AOE=90 FOC=OCF AEOOFC = = OC= OA， OF= AE，FC= EO 设点 A 坐标为（a，b）， 点 A 在第一象限， AE=a，OE=b OF= AE= a，FC= EO= b 点 A 在双曲线 y= 上， ab=2 FCOF= b a=3ab=6 设点 C 坐标为（x，y）， 点 C 在第四象限， FC=x，OF=y FCOF=x（y）= xy =6 第 16 页（共 29 页） xy=6 点 C 在双曲线 y= 上， k=xy=6 故答案为：6 【点评】本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、点与坐标 之间的关系、特殊角的三角函数值等知识，有一定的难度由AOC=90 联想到构造 K 型相似是解 答本题的关键 16如图，在四边形 ABDC 中，AD=4，CD=3 ，ABC=ACB=ADC=45 ，则 BD 的长是 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理 【分析】过 A 作 AEAD 交 DC 的延长线于 E，由 ABC=ACB=ADC=45，推出 A，B，D，C 四点共圆，AC=BC，求得ADC=ABC=45，得到ADE 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形 的性质得到 AE=AD=4，E=45，DE= AD=4 ，求得 CE=DECD= ，通过ACE ABD， 于是得到 BD=CE= 【解答】解：过 A 作 AEAD 交 DC 的延长线于 E， ABC=ACB=ADC=45， A， B，D，C 四点共圆，AC=BC， ADC=ABC=45， 第 17 页（共 29 页） ADE 是等腰直角三角形， AE=AD=4，E=45 ，DE= AD=4 ， CE=DECD= ， DAE=CAB=90， BAD=CAE， 在ACE 与ABD 中， ， ACEABD， BD=CE= 故答案为： 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，正确的作出辅 助线是解题的关键 三、解答题（8 大题，共 72 分） 17在平面直角坐标系中，直线 y=k（x2）刚好经过点（0，4）， （1）求 k 的值； （2）求不等式 2xkx+4 的解集 【考点】一次函数与一元一次不等式 【分析】（1）将已知点的坐标代入直线的解析式即可求得 k 值； （2）将 k 的值代入不等式解之即可 【解答】解：（1）直线 y=k（x2）刚好经过点（0，4）， 2k=4， 解得：k= 2； 第 18 页（共 29 页） （2）k= 2， 不等式为 2x 2x+4， 解得：x1 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：先画出函数图象，然后观察函数图象，比较函数 图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围也考查了数形结合的思想 18如图，在四边形 ABCD 中，点 O 是 AC 的中点， （1）若 ABCD，求证：OABOCD； （2）在问题（1）中，若 AC=BD，则四边形 ABCD 是 矩形 【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定 【分析】（1）由 ASA 证得这两个三角形全等； （2）利用（1）中全等三角形的性质判定 AB=CD，则四边形 ABCD 是平行四边形，则根据”对角 线相等的平行四边形为矩形“推知四边形 ABCD 是矩形 【解答】（1）证明：如图，在四边形 ABCD 中，点 O 是 AC 的中点， OA=OC 又 ABCD， OAB=OCD， 在OAB 与 OCD 中， ， OABOCD（ASA）； （2）由（1）知，OABOCD，则 AB=CD 又 ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， 第 19 页（共 29 页） 又 AC=BD， 平行四边形 ABCD 是矩形 故答案是：矩形 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定在应用全等三角形的判定时，要注意 三角形间的公共边、公共角以及对顶角，必要时添加适当辅助线构造三角形 19有四张正面分别标有数字 1，2，3，4 的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们 洗匀后背面朝上 （1）从四张卡片中随机地摸取一张数字为偶数的概率； （2）从四张卡片中随机地摸取两张数字和为 3 的倍数的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】（1）根据概率公式直接解答； （2）列出树状图，然后利用概率公式解答 【解答】解：（1）四张卡片中，偶数为 2，4；P（偶数）= = ； （2）列树状图为： P（和为 3）= = 【点评】本题考查了列表法与树状图法，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同， 其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A ）= 20在边长为 1 的小正方形网格中，AOB 的顶点均在格点上， （1）B 点关于 y 轴的对称点坐标为 （ 3，2） ； （2）将AOB 向左平移 3 个单位长度得到A 1O1B1，请画出A 1O1B1； （3）将AOB 以 O 为旋转中心顺时针旋转 90得到 A2OB2，求旋转过程中 OA 所扫过的面积 第 20 页（共 29 页） 【考点】作图-旋转变换；作图 -平移变换 【分析】（1）直接根据关于 y 轴对称轴坐标点的特征进行填空即可； （2）根据题意画出图形； （3）根据扇形的面积计算公式计算即可 【解答】解：（1）根据图可知：点 B 坐标为（3，2）， 由于 B 点关于 y 轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数， 可知 B 点关于 y 轴的对称点坐标为（ 3，2）， 故答案为（3， 2）； （2）作图如图 1： （3）作图如图 2， 第 21 页（共 29 页） OA= = ， 旋转过程中 OA 所扫过的面积 S= = 【点评】本题主要考查了作图平移变换和旋转变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形， 熟练地掌握扇形面积公式，此题难度不大 21如图，AB 是 O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 作O 的切线 CM （1）求证：ACM= ABC； （2）延长 BC 到 D，使 BC=CD，连接 AD 与 CM 交于点 E，若O 的半径为 3，ED=2，求ACE 的外接圆的半径 【考点】切线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质 【专题】几何综合题 【分析】（1）连接 OC，由ABC+ BAC=90及 CM 是O 的切线得出ACM+ACO=90 ，再利 用BAC= ACO，得出结论， （2）连接 OC，得出AEC 是直角三角形， AEC 的外接圆的直径是 AC，利用ABCCDE，求 出 AC， 【解答】（1）证明：如图，连接 OC， 第 22 页（共 29 页） AB 为O 的直径， ACB=90， ABC+BAC=90， 又 CM 是 O 的切线， OCCM， ACM+ACO=90， CO=AO， BAC=ACO， ACM=ABC； （2）解：BC=CD，ACB=90 ， OAC=CAD， OA=OC， OAC=OCA， OCA=CAD， OCAD， 又 OCCE， ADCE， AEC 是直角三角形， AEC 的外接圆的直径是 AC， 又ABC+BAC=90 ，ACM+ ECD=90， ABCCDE， = ， O 的半径为 3， AB=6， 第 23 页（共 29 页） = ， BC2=12， BC=2 ， AC= =2 ， AEC 的外接圆的半径为 AC 的一半，故 ACE 的外接圆的半径为： 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定理、圆周角定 理和相似三角形的判定与性质解题的关键是找准角的关系 22某商店销售 10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为 4000 元，销售 20 台 A 型和 10 台 B 型电脑 的利润为 3500 元 （1）求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台，其中 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍，设购进 A 型电脑 x 台，这 100 台电脑的销售总利润为 y 元 求 y 关于 x 的函数关系式； 该商店购进 A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用 【分析】（1）设每台 A 型电脑销售利润为 x 元，每台 B 型电脑的销售利润为 y 元，然后根据利润 4000 元和 3500 元列出方程组，然后求解即可； （2）根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解； 根据 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍列不等式求出 x 的取值范围，然后根据一次函数 的增减性求出利润的最大值即可 【解答】解：（1）设每台 A 型电脑销售利润为 x 元，每台 B 型电脑的销售利润为 y 元， 根据题意得 ， 解得 答：每台 A 型电脑销售利润为 100 元，每台 B 型电脑的销售利润为 150 元； （2）据题意得，y=100x+150（100x）， 第 24 页（共 29 页） 即 y=50x+15000， 据题意得，100x2x， 解得 x33 ， y=50x+15000， y 随 x 的增大而减小， x 为正整数， 当 x=34 时，y 取最大值，则 100x=66， 即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑的销售利润最大 【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式，读懂题目信息， 准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练 掌握 23在ABC 中， A=90，点 D 在线段 BC 上，EDB= C，BE DE，垂足为 E，DE 与 AB 相 交于点 F （1）当 AB=AC 时，（如图 1）， EBF= 22.5 ； 探究线段 BE 与 FD 的数量关系，并加以证明； （2）当 AB=kAC 时（如图 2），求 的值（用含 k 的式子表示） 【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形 【专题】计算题；压轴题 【分析】（1）根据题意可判断 ABC 为等腰直角三角形，据此即可推断C=45，进而可知 EDB=22.5然后求出EBF 的度数 根据题意证明BEFDEB，然后利用相似三角形的性质，得到 BE 与 FD 的数量关系 第 25 页（共 29 页） （2）首先证明GBN FDN，利用三角形相似的性质得到 BE 与 FD 的数量关系 【解答】解：（1）AB=ACA=90 ABC=C=45 EDB= C EDB=22.5 BEDE EBD=67.5 EBF=67.545=22.5 在BEF 和DEB 中 BED=FEB=90，EBF=EDB=22.5 BEFDEB 如图：作 BG 平分ABC ，交 DE 于 G 点， BG=GD，BEG 是等腰直角三角形 设 EF=x，BE=y， 则：BG=GD= y FD= y+yx BEFDEB = 即： = 得：x=（ 1）y FD= y+y（ 1）y=2y FD=2BE （2）过点 D 作 DGAC，交 BE 的延长线于点 G，与 BA 交于点 N， DGAC， GDB=C， 第 26 页（共 29 页） EDB= C， EDB=GDE， BEDE， BED=DEG， DE=DE， DEGDEB， BE= GB，BND=GNB=90， EBF=NDF， GBNFDN， = ，即 = ， 又 DGAC， BNDBAC， = ，即 = =k