2016届高三理科数学试题(36)

2016 届高三理科数学试题（36） 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 设集合 2|1,|0xABx ，则 AB等于 A A | B |2 C |1x D |01x 2. 若复数 Z Rai(213 ， i是虚数单位）是纯虚数，则在复平面内 Z 对应点的坐标为 C A （0，2） B （0，3i ） C （0，3） D （0， i2） 3. 下列命题正确的是 D A已知 1:,1: xpxp则 ; B存在实数 R，使 2cosin成立; C命题 p：对任意的 0,xx，则 p：对任意的 01,2xRx; D若 或 q为假命题,则 p,q均为假命题 4. 把函数 )6sin(y图象上各点的横坐标缩短到原来的 21倍（纵坐标不变） ，再将图 象向右平移 3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 D A 8x B 4x C 4x D x 5. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 C A.10 B.15 C.20 D.30 6. 执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为 C 4 3 5 2 A.3 B. -6 C. 10 D. 12 7. ABCV中，点 D在 AB上， C平方 AB若 Caur，CAbur ， 1a， 2r，则 ur B A 23 B 3b C 345abr D 35abr 8. 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA 1=AB=2，若棱 AB 上存在点 P，使得 ， 则 AD 的取值范围是（ ）C A B C D 9.若点（4，tan）在函数 y=log2x 的图像上，则 2cos2= A A. 25 B. 15 C. 1 D. 35 10. 已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+2 ）=f（x） ，若 f（1）2，f（7） = ，则实数 a 的取值范围为 D A B （2，1） C D 11若曲线 y= 与曲线 y=alnx 在它们的公共点 P（s ，t ）处具有公共切线，则实数 a= C A2 B C 1 D 2 12. 已知椭圆 （ab0）的半焦距为 c（c 0 ） ，左焦点为 F，右顶点为 A，抛 物线 与椭圆交于 B、C 两点，若四边形 ABFC 是菱形，则椭圆的离心率 是 D A B C D 第卷 3 本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都 必须做答，第（22）题第（24）题为选考题，考试根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 在（1+x） 6（1+y ） 4 的展开式中，xy 2 项的系数是 .36 14. 已知函数 (),0)31xff ，则 f（2016）= 0 15. 在平面直角坐标系中，已知点 P（4，0） ，Q（0，4） ，M，N 分别是 x 轴和 y 轴上的动 点，若以 MN 为直径的圆 C 与直线 PQ 相切，当圆 C 的面积最小时，在四边形 MPQN 内 任取一点，则这点落在圆 C 内的概率是 . 16. 在 ABC 中， 若 (sinA+sinB):(sinA+sinC):(sinB+sinC)=4:5:6 , 且该三角形的面积为315 ，则ABC 的最大边长等于 14 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 na满足 )(3)1(11 nnnaa， 2，令 1nab. （）求数列 nb的通项公式； （II）求数列 3的前 项和 nS. 解：() )1()()1(1 nn aa，31nn ，即 31nb， 23n6 分 （II） 13(2)b， 0 15792nnS -（1）1233 -（2） （1）（2）得： 2153nnnS 3.2nnS 18(本小题满分 12 分)某电子广告牌连续播出四个广告，假设每个广告所需的时间互相独 立，且都是整数分钟，经统计，以往播出 100 次所需的时间(t)的情况如下： 类别 1 号广告 2 号广告 3 号广告 4 号广告 广告次数 20 30 40 10 4 时间 t（分钟人） 2 3 4 6 每次随机播出，若将频率视为概率 ()求恰好在第 6 分钟后开始播出第 3 号广告的概率； （II）用 X 表示至第 4 分钟末已完整播出广告的次数，求 x 的分布列及数学期望. 解：() 由条件知 241,100ABCDPP 312295 . （II） 0,12 0 1 2P1 790410179290.00E 19 （本小题满分 12 分） 在四棱锥 PABCD中，底面 AB为直角梯形， /ADBC， 侧面 底面 ， 2， 4， 06P （I）若 中点为求证： /EP平 面 ； （II）若，求直线 B与平面 C所成角的正弦值 （I）证明：取 P的中点，连结 DF，/ADEF ，且 ，所以 A为平行四边形 ，且 不在平面 内， 在平面 PCD内， 所以 /C平 面 （II）直线 B与平面 P所成角 的正弦值 10sin5 20 （本小题满分 12 分） 定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的 如图，椭圆 C1 与椭圆 C2 是 相似的两个椭圆， 并且相交于上下两个顶点椭圆 C1： 的长轴长是 4，椭圆 C2： 短轴长是 1，点 F1， F2 分别是椭圆 C1 的左焦点与右焦点， PBCD 5 （）求椭圆 C1，C 2 的方程； （）过 F1 的直线交椭圆 C2 于点 M，N，求F 2MN 面积的最大值 解：（）设椭圆 C1 的半焦距为 c，椭圆 C2 的半焦距为 c由已知 a=2，b=m ， 椭圆 C1 与椭圆 C2 的离心率相等，即 ， ，即 ，即 bm=b2=an=1，b=m=1， 椭圆 C1 的方程是 ，椭圆 C2 的方程是 ；5 分 （）显然直线的斜率不为 0，故可设直线的方程为： 联立： ，得 ，即 ， =192m 2 44（1+4m 2）=16m 2440，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ， 则 ， ， ， F 2MN 的高即为点 F2 到直线 的距离 F 2MN 的面积 ，10 分 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立 6 ，即F 2MN 的面积的最大值为 12 分 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2ln1fxax ()求曲线 y在点 ,f处的切线方程； ()若关于 x的不等式 xb在 ,e上恒成立，其中 ,ab为实数，求a 的取值范围. 解：（）求导 2afx， 12fa又 10f， 所以曲线 yfx在 点 1,f处的切线方程为 yx即 2xya4 分 () 设 1gxfbx即 0g在 ,e上恒成立， 又 10有 恒成立 即 处取得极小值，得 120gab6 分 所以 2ba, 从而 21axg （）当 1e时， x在 ,e上单调递减，在 ,上单调递增，所以gx 即 2a8 分 （） 1e时， gx在 1,ae上单调递增，在 ,12a单调递减，在 1,上单调 递增， 则只需 210agee ， 解得 ae10 分 （）当 1时， ， gx在 ,上单调递增， 1,2单调递减，在 1,上单调递 增， 由 02ag知不符合题意， .综上， 的取值范围是 12ae12 分 7 22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，已知 AB 为O 的直径，CEAB 于点 H，与O 交于点 C、D，且 AB=10，CD=8，DE=4， EF 与O 切于点 F，BF 与 HD 交于点 G （）证明：EF=EG； （）求 GH 的长 （）证明：连接 AF、OE、OF，则 A，F ，G ，H 四点共圆 由 EF 是切线知 OFEF， BAF=EFG CEAB 于点 H，AF BF， FGE=BAF FGE=EFG， EF=EG5 分 （）解：OE 2=OH2+HE2=OF2+EF2， EF 2=OH2+HE2OF 2=48， EF=EG=4 ， GH=EHEG=84 10 分 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy中，以 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中， 直线 l的极坐标方程为 ()4R，曲线 C的参数方程为 2cosinxy. （）写出直线 l及曲线 C的直角坐标方程； （）过点 M 平行于直线 l的直线与曲线 交于 ,AB两点，若 83MB，求点 M 轨迹的直角坐标方程. 解：（）直线 :lyx， 曲线 2:1xCy 4 分 8 （）设点 0,Mxy及过点 M 的直线为 012:txly 由直线 1l与曲线 C相交可得： 220003txtxy 20883xyMAB ，即： 206 26xy表示一椭圆8 分 取 m代入 21xy 得： 22340xm 由 0得 3 故点 M 的轨迹是椭圆 26xy夹在平行直线 3yx之间的两段椭圆弧10 分 24 （本小题满分 10 分）选修 45： 不等式选讲已知函数 ()2,()1