2017年内蒙古赤峰市宁城县高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年内蒙古赤峰市宁城县高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，满分 60 分） 1已知集合 A=x|x 3 或 x 1， B=x|6x+8 0，则（ B=（ ） A（ 1， 3） B（ 1， 4） C（ 2， 3） D（ 2， 4） 2圆 x2+2x=0 和圆 x2+4y=0 的位置关系是（ ） A相离 B相交 C外切 D内切 3函数 f（ x）的定义域为 R， “f（ x）是奇函数 ”是 “存在 x R， f（ x） +f（ x）=0”的（ ） A充分而不 必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4已知 共轭虚数，有 4 个命题 |； z1+R； R，一定正确的是（ ） A B C D 5某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为 次闭合后都出现红灯的概率为 在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（ ） A 在 的展 开式中，含 项的系数是（ ） A 60 B 160 C 180 D 240 7秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 x 的值为 2，则输出 v 的值为（ ） A 210 1 B 210 C 310 1 D 310 8若两个非零向量 ， 满足 | + |=| |=2| |，则向量 + 与 的夹角是（ ） A B C D 9设函数 f（ x） =x+）（ 0）的图象关于直线 x= 1 和 x=2 对称，则 f（ 0）的取值集合是（ ） A 1， 1， B 1， ， C 1， 1， ， D 1， 1， 2， 2 10设 双曲线 C 的两个焦点，若曲线 C 上存在一点 P 与 于曲线 双曲线 C 的离心率是（ ） A B C 2 D 11如图，正方体 其体对角线 转 之后与其自身重合，则 的值可以是（ ） A B C D 12已知 f（ x） = ，若函数 f（ x）有 5 个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ ， e） C（ e， + ） D（ ， + ） 二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，满分 20 分） 13某地区举行高中数学竞赛，全体参赛学生的比赛成绩 近似服从正态分布 N（ 80， 2），（ 0），参赛学生共 500 名若 在（ 70， 90）内的取值概率为 么 90 分以上（含 90 分）的学生人数为 14已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为 15已知实数 x， y 满足 ，且 z= 的最大值为 16已知 a， b， c 分别是 内角 A， B， C 的对边， 上的高为 ，则的最大值为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知数列 首项为 1 的单调递增的等比数列，且满足 等差数列 （ ）求 通项公式； （ ）设数列 的前 n 项和 证： 3 18已知长方体 ， B=2， ， E 为 中点，如图所示 （ 1）在所给图中画出平面 平面 交线（不必说 明理由）； （ 2）证明： 平面 （ 3）求平面 平面 成锐二面角的余弦值 19微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50名，其中每天玩微信超过 6 小时的用户为 “A 组 ”，否则为 “B 组 ”，调查结果如下： A 组 B 组 合计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计 56 44 100 （ ）根据 以上数据，能否有 60%的把握认为 “A 组 ”用户与 “性别 ”有关？ （ ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份，求所抽取 5 人中 “A 组 ”和 “B 组 ”的人数；（ ）从（ ）中抽取的 5 人中再随机抽取3 人赠送 200 元的护肤品套装，记这 3 人中在 “A 组 ”的人数为 X，试求 X 的分布列与数学期望 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d 为样本容量 参考数据： P（ 0已知椭圆 E 的方程是 + =1，左、右焦点分别是 椭圆 E 上有一动点 A，过 A、 一个平行四边形，使顶点 A、 B、 C、 D 都在椭圆 E 上，如图所示 （ ） 判断四边形 否为菱形，并说明理由 （ ） 当四边形 面积取到最大值时，判断四边形 形状，并求出其最大值 21已知函数 f （ x） = a 为常数） （ ）试讨论 f （ x）的单调性； （ ）若 f （ x）有两个极值点分别为 等式 f （ +f （ （ x1+成立，求 的最小值 四、选做题请考生在 22， 23 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑 标系与参数方程 22已知曲线 参数方程为： （ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程为： =4+ ），直线 l 的极坐标方程为 = （ 1）求曲线 普通方程与曲线 直角坐标方程； （ 2）若曲线 曲线 直线 l 分别交于非坐标原点的 A， B 两点，求 |值 选 修 4等式选讲 23已知实数 a， b， c 均大于 0 （ 1）求证： + + a+b+c； （ 2）若 a+b+c=1，求证： 1 2017 年内蒙古赤峰市宁城县高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，满分 60 分） 1已知集合 A=x|x 3 或 x 1， B=x|6x+8 0，则（ B=（ ） A（ 1， 3） B（ 1， 4） C（ 2， 3） D（ 2， 4） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 解不等式求出集合 B，根据补集与交 集的定义写出（ B 【解答】 解：集合 A=x|x 3 或 x 1， B=x|6x+8 0=x|2 x 4， 则 x|1 x 3， 所以（ B=x|2 x 3=（ 2， 3） 故选： C 2圆 x2+2x=0 和圆 x2+4y=0 的位置关系是（ ） A相离 B相交 C外切 D内切 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 【分析】 求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可 【解答】 解：圆 x2+2x=0，即（ x 1） 2+，圆心是 1， 0），半径是 圆 x2+4y=0，即 y 2） 2=4，圆心是 0， 2），半径是 | ，故 | | |r1+ 两圆的位置关系是相交 故选 B 3函数 f（ x）的定义域为 R， “f（ x）是奇函数 ”是 “存在 x R， f（ x） +f（ x）=0”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 “f（ x）是 奇函数 ”“存在 x R， f（ x） +f（ x） =0”，反之不成立即可判断出结论 【解答】 解：由 “f（ x）是奇函数 ”“存在 x R， f（ x） +f（ x） =0”，反之不成立 “f（ x）是奇函数 ”是 “存在 x R， f（ x） +f（ x） =0”的充分不必要条件 故选： A 4已知 共轭虚数，有 4 个命题 |； z1+R； R，一定正确的是（ ） A B C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 共 轭虚数，设 z1=a+a， b R）， z2=a 用复数的运算性质及其有关概念即可得出 【解答】 解： 共轭虚数，设 z1=a+z2=a a， b R） 命题 |； =数不能比较大小，因此不正确； a2+确； z1+a R，正确； = = = + i 不一定是实数，因此不一定正确 故选： B 5某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为 次闭合 后都出现红灯的概率为 在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（ ） A 考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 设 A 表示 “开关第一次闭合后出现红灯 ”， B 表示 “开关第二次闭合后出现红灯 ”，则 P（ A） =P（ =此利用条件概率计算公式能求出在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率 【解答】 解：设 A 表示 “开关第一次闭合后出现红灯 ”， B 表示 “开关第二次闭合后出现红灯 ”， 开关第一次闭合后出现红灯的概 率为 P（ A） =P（ = 在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率： P（ B|A） = = = 故选： C 6在 的展开式中，含 项的系数是（ ） A 60 B 160 C 180 D 240 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用 展开式的通项公式，令展开式中 x 的指数为 7，求出 可计算对应项的系数 【解答】 解：在 的展开式中， 通项公式为 = （ 26 r = 26 r（ 1） r ， 令 12 =7，解得 r=2， 所以含 的系数是 24（ 1） 2=240 故选： D 7秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 x 的值为 2，则输出 v 的值为（ ） A 210 1 B 210 C 310 1 D 310 【考点】 程序框图 【分析】 根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 v 的值 ，模拟程序的运行过程，可得答案 【解答】 解：输入的 x=2， v=1， k=1，满足进行循环的条件， v=2+ k=2，满足进行循环的条件， v=22+2102， v=210+29+10， 故输出的 v 值为： 310， 故选 D 8若两个非零向量 ， 满足 | + |=| |=2| |，则向量 + 与 的夹角是（ ） A B C D 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 【分析】 利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系，利用向量的 数量积公式求出两向量的夹角 【解答】 解：依题意， | + |=| |=2| | = ， =3 ， ， = = ， 所以向量 与 的夹角是 ， 故选 C 9设函数 f（ x） =x+）（ 0）的图象关于直线 x= 1 和 x=2 对称，则 f（ 0）的取值集合是（ ） A 1， 1， B 1， ， C 1， 1， ， D 1， 1， 2， 2 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由题意图象关于直线 x= 1 和 x=2 对称，可得周期 T=6 或 T=3 对其讨论可得答案 【解答】 解：函数 f（ x） =x+）（ 0）的图象关于直线 x= 1 和 x=2 对称， x+= ，（ k Z） 当 x=0 时， = ， 那么： f（ 0） = 1 当直线 x= 1 和 x=2 是相邻对称轴，那么：周期 T=6函数 f（ x） =x+） 若 x= 1 过图象最低点时，则 x=2 过图象最高点，那么 = 若 x= 1 过图象最高点时，则 x=2 过图象最低点，那么 = f（ 0） =或 则 f（ 0）的取值集合为 1， 故选： C 10设 双曲线 C 的两个焦点，若曲线 C 上存在一点 P 与 于曲线 双曲线 C 的离心率是（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 F（ c， 0），渐近线方程为 y= x，对称点为 F（ m， n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为 1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：设 F（ c， 0），渐近线方程为 y= x， 对称点为 F（ m， n）， 即有 = ， 且 n= ， 解得： m= ， n= ， 将 F（ ， ），即（ ， ）， 代入双曲线的方程可得 =1， 化简可得 4=1，即有 ， 解得 e= 故选 D 11如图，正方体 其体对角线 转 之后与其自身重合，则 的值可以是（ ） A B C D 【考点】 棱柱的结构特征 【分析】 由正方体的特点，对角线 直于平面 三角形 等边三角形得答案 【解答】 解：如图， 正方体 ，对角线 直于平面 三角形 等边三角形 ， 正方体绕对角线旋转 120能与原正方体重合 故选： C 12已知 f（ x） = ，若函数 f（ x）有 5 个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ ， e） C（ e， + ） D（ ， + ） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 先判断函数为偶函数，则要求函数 f（ x）有 5 个零点，只要求出当 x0 时， f（ x）有 2 个零点即可，分别 y= y= 图象，利用导数的几何意义即可求出 【解答】 解： f（ x） =f（ x）， 函数 f（ x）为偶函数， 当 x=0， f（ x） =0 时， 要求函数 f（ x）有 5 个零点， 只要求出当 x 0 时， f（ x）有 2 个零点即可， 分别 y= y= 图象，如图所示， 设直线 y= y=切， 切点为（ y= k= = ， a=e， 当 x 0 时， f（ x）有 2 个零点即可 a e， a e， 故选： B 二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，满分 20 分） 13某地区举行高中数学竞赛，全体参赛学生的比赛成绩 近似服从正态分布 N（ 80， 2），（ 0），参赛学生共 500 名若 在（ 70， 90）内 的取值概率为 么 90 分以上（含 90 分）的学生人数为 50 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 根据比赛成绩 近似服从正态分布 N（ 80， 2），（ 0），得到成绩 关于 =80 对称，根据 在（ 70， 90）内的取值概率为 到 90 分以上（含90 分）的概率为 据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数 【解答】 解： 比赛成绩 近似服从正态分布 N（ 80， 2），（ 0）， 比赛成绩 关于 =80 对称， 在（ 70， 90）内的取值概率为 90 分以上 （含 90 分）的概率为 90 分以上（含 90 分）的人数为 500=50 故答案为： 50 14已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 判断三视图复原的几何体的形状，底面为等边三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，结合数据求出外接球的半径，然后求其体积 【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 底面为等边三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点， 故底面外接圆半径 r=2， 球心到底面的距离 d=2， 故球半径 R= =2 ， 故球的体积 V= = ， 故答案为： 15已知实数 x， y 满足 ，且 z= 的最大值为 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，再由 z= 的几何意义，即向量 与向量夹角的余弦值的 倍求解 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 设 A（ 2， 1），可行域内的动点 P（ x， y）， 则 = z= = 其几何意义为向量 与向量 夹角的余弦值的 倍， 当 P 与 A 重合时， z= 有最大值为 故答案为： 16已知 a， b， c 分别是 内角 A， B， C 的对边， 上的高为 ，则的最大值为 【考点】 正弦定理 【分析】 由已知及余弦定理可求：（ ） 2=（ ） 2+1 ，进而可求当 时， 取最大值，求得 C 为直角，利用勾股定理即可计算得解 【解答】 解：由题意知 c2=a2+2 两边同时除以 得：（ ） 2=（ ） 2+1 ， 由于 a， b， c 都为正数， 可得：当 时， 取最大值 由于 C （ 0， ），可得： C= ， 即当 上的高与 b 重合时取得最大值，此时三角形为直角三角形， c2= ）2， 解得： = 故答案为： 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知数列 首项为 1 的单调递增的等比数列，且满足 等差数列 （ ）求 通项公式； （ ）设数列 的前 n 项和 证： 3 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和 【分析】 （ 1）由已知列关于公比 q 的方程组，求解得到 q 值，则等比数列的通项公式可求； （ 2）把 通项公式代入数列 ，利用错位相减法求其和，可得 3 【解答】 （ 1）解：由 ，得 ， 而 q 0，得 310q+3=0，解得 q= 或 q=3 数列 首项为 1 的单调递增的等比数列， q=3，则 ； （ 2）证明：由 ， ， ， 得： = ， 得 3 3 18已知长方体 ， B=2， ， E 为 中点，如图所示 （ 1）在所给图中画出平面 平面 交线（不必说明理由）； （ 2）证明： 平面 （ 3）求平面 平面 成锐二面角的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法 ；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）连结 M，直线 为平面 平面 交线 （ 2）推导出 此能证明 平面 （ 3）平面 点 垂线，交 F，过点 F 作直线 垂线，交 N，连结 三垂线定理知 是平面 平面 成锐二面角的平面角，由此能求出平面 平面 成锐二面角的余弦值 【解答】 解：（ 1）连结 M 则直线 为平面 平面 交线， 如图所示 证明：（ 2）由（ 1） 在长方体 ， M 为 中点， 又 E 为 中点， 在 中位线， 又 面 面 平面 解：（ 3） 在长方体 ， 平面 是平面 过平面 点 垂线，交 F，如图 ， 在长方体 ， 平面 ， 平面 F， 过点 F 作直线 垂线，交 N，如图 ， 连结 三垂线定理知 由二面角的平面角定义知，在 ， 是平面 平面 长方体 ， B=2， ， 在平面图 中， = ， ， ， ， 在平面图 中， 由 = = ， =2， 平面 平面 成锐二面角的余弦值为 19微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全 国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50名，其中每天玩微信超过 6 小时的用户为 “A 组 ”，否则为 “B 组 ”，调查结果如下： A 组 B 组 合计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计 56 44 100 （ ）根据以上数据，能否有 60%的把握认为 “A 组 ”用户与 “性别 ”有关？ （ ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份，求所抽取 5 人中 “A 组 ”和 “B 组 ”的人数； （ ）从（ ）中抽取的 5 人中再随机抽取3 人赠送 200 元的护肤品套装，记这 3 人中在 “A 组 ”的人数为 X，试求 X 的分布列与数学期望 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d 为样本容量 参考数据： P（ 考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ 1）由 2 2 列联表，计算 照临界值表得出结论； （ 2）根据分层抽样比例求出所抽取的 5 位女性中， A 组、 B 组应抽 取的人数； （ 3） X 的所有可能取值为 1， 2， 3，计算对应的概率，写出分布列和数学期望 【解答】 解：（ 1）由 2 2 列联表可得 = 没有 60%的把握认为 “A 组 ”用户与 “性别 ”有关； （ 2）由题意得，所抽取的 5 位女性中， “A 组 ”有 5 =3 人， “B 组 ”有 5 =2 人； （ 3） X 的所有可能取值为 1， 2， 3， 则 P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， 所有 X 的分布列为： X 1 2 3 P 其数学期望为 +2 +3 = 20已知椭圆 E 的方程是 + =1，左、右焦点分别是 椭圆 E 上有一动点 A，过 A、 一个平行四边形，使顶点 A、 B、 C、 D 都在椭圆 E 上，如图所示 （ ） 判断四边形 否为菱形，并说明理由 （ ） 当四边形 面积取到最大值时，判断四边形 形状，并求出其最大值 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ） 设直线方程，代入椭圆方程，若四边形 否为菱形，则向量数量积的坐标运算，整理可知 =0，方程无实数解，故四边形 能是 菱形； （ ）由三角形的面积公式 丨 丨 =2 ，利用韦达定理，及向量数量积的坐标运算，函数的单调性即可求得 面积取到最大值及 m 的值 【解答】 解：（ ）由椭圆方程： + =1， 1， 0）， 如图，直线 斜率存在且不为 0， 设直线 方程为 x=1，点 A（ B（ 联立方程， ， 得（ 3） 69=0， y1+ ， 若四边形 否为菱形，则 即 =0， ， 又 1）（ 1） =m（ y1+1， （ ） m（ y1+1=0，得到 =0，显然这个方程没有实数解， 故四边形 能是菱形 （ ）由题 S S 丨 丨 ，又丨 =1， 即 丨 丨 =2 ， 由（ ）知 y1+ ， = =24 ， 函数 ， t 1， + ），在 t=1 时， f（ t） 0， 最大值为 6，此时 =1，即 m=0 时， 此时直线 x 轴，即 矩形 21已知函数 f （ x） = a 为常数） （ ）试讨论 f （ x）的单调性； （ ）若 f （ x）有两个极值点分别为 等式 f （ +f （ （ x1+成立，求 的最小值 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数 f（ x）的导数，通过讨论 a 的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （ ）根据 f（ +f（ =a（ a 1），得到 =a 1，a （ 4， + ），令 （ a） =a 1，根据函数的单调性求出 的最小值即可 【解答】 解：（ ） f（ x） = +x a= （ x 0）， 当 a 0 时，解 f（ x） =0 得， x= ， f（ x）的单调减区间为（ 0， ），单调增区间为（ ， + ）； 当 0 a 4 时， ax+a=0 的 =4a 0， 所以 f（ x） 0， f（ x）的增