2016年贵州大学研究生应用数理统计考试题

1.线性规划及对偶问题（2 选一） 1、两个引例 引例 1. 环保排污问题 设某条河流上下游有两个化工厂，如图所示 化工厂 1、2 每小时排出污水分别为 2 万 m3、1.4 万 m3，环 保要求河水中污水含量不超过 2，且化工厂 1 排入河流的 污水到化工厂 2 有 20%自然净化，两个化工厂处理污水的费 用分别是 1000 元/万 m3、800 元/万 m3，在满足环保的要求 下，两个化工厂每小时应处理多少万 m3 的污水，可使得总 费用达最省？ 解：（1）首先建立数学模型， 设两个化工厂每小时分别处理污水 万 m3， 称12,x12,x 为决策变量； 目标是使总费用达到最省， 即求最小值 ，称之为目标函数，1208MinZx ： （近似模型）对化工厂 1， ，.st1250x 1x ，化工厂 2，211.40.8()250xx12.6080x ， ，且有： 0， 0(非负约束)12.412 称以上数学模型为线性规划问题，记为 问题。LP （2）图解法求最优解（仅限于两个决策变量情形） 图中阴影部分围成可行区域 D（本例由四条直线围成） ，且标出可行区域 D 顶点的坐标。 目标函数等值线，令： 1208Zxc ，目标函数等值线的斜率 ，过 2、42154xc 540k 象限，并标出目标函数值减少方向，一簇相互平行的目标 函数等值线既要在可行域 D 内，又要目标函数值达到最小， 最优解一定可在某一顶点处取得，（此结论可用于 问题LP 的单纯形算法）， 本例最优处理污水化工厂 1、2 为： =1, =0.8(万 m3)，*1x*2 最省费用 = =1000 1+800 0.8=1640 元。ZMin 2、 生产的最优安排问题（综合题型） 某工厂在一个生产期内生产甲、乙两种产品，需 三种资源，如表所示,ABC 单位甲产 品资源数 单位乙产 品资源数 资源限制 资源A2 1 40 资源B1 2 40 资源C1 1 25 单位利 润 20 30 如何组织生产，可使工厂获利最大？ （1） 建立数学模型 设在该生产时期分别生产甲、乙两种产品为 个12,x 单位，目标是使工厂获利最大，即： 求 =20 +30 MaxZ12x .st240 12x 5 0 01x2x （2） 图解法求最优生产条件 =- 0 （ 为目标函数等值线的斜率），k值3k 最优生产条件 =10, =15，*1x*2 最大利润 Z*=20 10+30 15=650（单位） （3）单纯形法，先化为标准形，求最大值 即求 =20 +30 MaxZ12x34500x .st2 124xx 5 2 0 jx1,j 为松弛变量345, 标准形约束条件 中的 3 行及后 3 列组成 3 阶单位35A 矩阵为基矩阵 ，对应的变量 为基变量，3BE45,x 单纯形表给出单纯形算法 ： 12345345325 321 0001B2031021010250301120jBj jj CXbxxxxxx为 基 矩 阵 初始基本可行解为： ，满足约束条件，123450,0,2xxx 为基变量45 为检验数 ， j=1,2, n1 mjjijica 当 0 时可得最优解。j 取 k()jMax2(20,3)ax 进基2 取 )15,40(ini 出基4x 2为主元素作行初等变换，将其化为 1,且 1 所在的列 其余元素化为 0。15 进基x10)2,3(Minl 出基5x 为主元素，作迭代21 ，40312010 ，5 ， 最优解 ， ，,5j *1x15*2x60*Z 生产最优安排例中 求 =20 +30 MaxZ12x ，（ 资源约束）.st240A ，（ 资源约束）12xB ，（ 资源约束）5C 0 01x2x 最优生产条件 =10, =15，* 最大利润 Z*=20 10+30 15=650。 单纯形法的检验数为： ， 123450,0,1,0 得最优解（第一个考试题与它有关）10 mjjijca 2.玫瑰花问题（和下面销售额问题 2 选一） 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花， 然后以每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩 下作垃圾。 (1) 若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润 y(元)关于 当天需求量 n（枝）的函数解析式。 (2) 花店记录了 100 天的玫瑰花需求量，整理如下表。 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 1）设花店在 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求 100 天的日利润的平均数。 2）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各 需求量的频率作为各需求量的发生概率，求当天利润不少 于 75 元的概率。 解：（1）当日需求量 时，利润 ；17n17(05)8y 当 时， 17n5()yn 则有： 08, 17Nn （2）1) 时，天数为 16+15+13+10=54，利润为17n 8554。 n=16 时，利润为 1675。 n=15 时，利润为 2065。 n=14 时，利润为 1055。 100 天平均利润为： 4.7601)5062751854(10 2）利润不少于 75 元要求日需求量 n7.0)13516(0)75( YP 注：利润 的分布列为y 利润 55 65 75 85 85 85 85 概率 kp0.10 0.20 0.16 0.16 0.15 0.13 0.10()Ey0.548.16750.26.10576.4 。)3PY 销售额问题 (1)解：当 )130,X (305T98 当 150,3X 65013T 所以 15098 （2)解：由 ， 570T 即有 ，解得 ，8397X2X 故利润 不少于 57000 元 ，1502 由直方图知需求量 的频率为 0.7 ， ,10 所以下一个季度内的利润 不少于 57000 元的概率的T 估计值为 0.7 ， （3)解：依题意可得利润 的分布列为： （ ，及 ），801539045T530,61,50T 所以 4.0653.0612.0531.045 ET 。 9 3.复合系统的可靠性最优设计问题 设计一种电子设备，该设备由三个子系统组成，每一个子 系统由相同的相互独立工作的电子元件 并联而成，,12,3kD 其单价分别为 ， ，三种元,12,3kC120, 5 0CC 件正常工作的概率（称为元件使用的可靠度）分别为： ，三个子系统间为串联结123,2,30.95,.,.8kppp 构，要求总费用不超过 105 个单位，如何设计可使系统的 可靠度最大。 解：（1）建立动态规划的数学模型： 1按设备由三个子系统组成分为三个阶段， k=1、2、3， 2决策变量 表第 k 个子系统并联元件 的个数，kx ,D 3状态变量 表示第 k 个子系统到第 3 个子系统的总费用，S 4状态转移方程：由题意有 表示方括1kkxSC， 其 中 号内的取整数部份，且有 ，1211105, , kkSSCxx T45000 53000 61000 65000P 0.1 0.2 0.3 0.4 5最优值函数： 表示第 k 个子系统可用总费用为()kfS 时，从 k 到第 3 个子系统的可靠度最大，逆序算法，kS 6递推关系式，（动态规划的基本方程） 由 个相同的相互独立工作的电子元件并联子系统正常工n 作的概率为： ，1212()()n nPAPA 1)(nni iPA 则有： ，3331()(0.85xxSCfMa ，222 39)()fS ，1111 2053().()xxff f （2）求解过程： 先有： ，111 213(05)(.)(30)xxfMafx ，1112223.97,.954,.9875( xxxafff 其次： ，222 3215()(0.)()xxf f ，22233331.96,.45,0.9(,(15)0xxxMaffff ， 22222 3131(45)(0.)() .9,.5xxxf faff 又有： ，33 33331 12(60)(0.5)0.85,97,0.650.9625xx xxfMaa ，33312(4).,.085xf ， 22(75)(0.9625,0.975,0.9.85) .8,.,.841) 0.96725(4).8. fMaxf 最后将以上结果代入： 111 213(05)(0.5)(30) xxfMafx 1112223.97,.94,.9875(0.56,06,0.91387 xxxafff 由逆推： ，1 21(05).938750.9.67250.9(75) =f fx 又有： ，2 32(7).62.(4) f fx 再有 ，23 3450.971(0.85)10.5 最优设计方案： ，23, , xx 系统可靠度为 ，.97 验证：第 1 个子系统的可靠度为 ，0.95 第 2 个子系统由 2 个电子元件 并联而成，它的2D 可靠度为 ，20.9.0.9 第 3 个子系统由 2 个电子元件 并联而成，它的3 的可靠度为 ，.8585.7 整个系统最大可靠度为 。0.95.0.975.13875 4.正交试验设计 5.*例 3：两个正态总体的假设检验： 假设两个公司生产同类型电子产品，其使用寿命分别 为 ，为检验两个公司的产品质量是否21,XN2,Y 一致。任取 =9 个样本，测得 ， =18n 22153, 43xSn 个样本，测得 ，对显著性水平 ，2241,80yS 0.5 检验两个公司生产的同类电子产品的质量是否有显著性差 异。 解：（1） 首先检验正态总体的均值差， 1、 ， 或者 ，0:210H210:H ， 2、 在 条件下，221 取统计量及其分布： ，（称为 检验法）)2(1)()(12ntnSYXTpT 其中， ，2)1()1(2nSSSp 3、 对显著性水平 ，查表 ，0.5/120.25t().095nt 使得 ，)(212/tTP 在 成立下，210:H 拒绝域 ，)2(112/ ntnSYXTp 4、由样本值， ， 0.482591 ， 222 243 394.7918pS ， 05.)()(025.212/ tnt ，9.74.8.7.3945T 5、样本值不在拒绝域内，小概率事件没有发生， 即可认为两家公司产品的寿命没有显著性差异。 （2）检验产品使用寿命的方差比 1、 ， 210:H ，21:H 2、 选取统计量及其分布， ，（称为 检验法）)1,(/ 212121 nFSFF 3、 对显著性水平 查表 ， 0.5, ，63)178()1,(2.212/FnF ，2463.0.1),(, 025.975.021 使： ，12/121/2(0(,),)PFnPFnF 拒绝域 ： ，121/20(,)Fn 或者 ，双侧检验，n),(212/ 4、 当 成立时，代样本值，0:H ，239.180421SF 5、由 ，样本值不在拒绝域内，66. 接受 ，即可认为产品使用寿命方差没有显著性差异。0H 综合（1）（2）可以认为两家公司生产同类产品质量没有 显著性差异。 6.有交互作用的双因素方差分析（有交互的前提下和 例题 10.2.1 选考一个） 例 10.2.1 使 用 4种 燃 料 ， 3种 推 进 器 作 火 箭 射 程试 验 ， 每 一 种 组 合 情 况 做 一 次 试 验 得 火 箭 射 程 （ 单 位 ： 海 里 ） 列 在 表 10.7。 表 10.7 6874=x204823942432x.j 1827487582758A4 1702392709601A3 1548516541491A2 1797653562582A1 Xi.B3B2B1Ai Bj 试 分 析 各 种 燃 料 （ Ai） 与 各 种 推 进 器 （ Bj） 对 火箭 射 程 有 无 显 著 影 响 ？ ( ) 解 ： 这 是 双 因 素 试 验 ， 不 考 虑 交 互 作 用 。 设火 箭 射 程 为 i=1,2,3,4 j=1,2,3 原 假 设 对 立 假 设 这 里 a=4,b=3,ab=12. 0.5ijijijx01234:0AHB1:,Ai i至 少 一 个0Bj j至 少 一 个 2221 687458.413Tiji xSX 火 箭 射 程 方 差 分 析 表 为 表 10.8 2 24 222211 6874(79548170)1593iAixS2 22221(3948)3844 1Bjjx11573579ETABSS, ,26BE的 自 由 度 分 别 为 。 11111342总 和 T 12199.7673198误 差 E 0.9211192.5222385推 进 器 B 0.435253315759燃 料 A F比均 方自 由 度平 方 和方 差 来 源 总 和 误 差 推 进 器 燃 料 比均 方自 由 度平 方 和方 差 来 源 说 明 ： 这 个 例 子 中 所 得 的 结 论 ， 好 像 与 常 理 不 符 。 这 里所 说 的 燃 料 推 进 器 指 的 是 现 有 的 试 验 用 的 几 种 ， 并 不 指 另 外 任 意 的 燃 料 和 推 进 器 。 0.51 2 000.5 (2,6)5.14,.43.76,914, ABFF H 0.5给 出 的 ， 查 出 （ ） =76因 为所 以 接 受 原 假 设 、 ， 故不 同 的 燃 料 、 不 同 的 推 进 器 对 火 箭 射 程 均 无 显 著 影 响 。 例 10.2.2 对例 10.2.1 中燃料（A）和推进器 （B ）的每种组合（ Ai,Bj） 做试验两次得火箭射程如表 10.11 所示，试分析 燃料（A ）,推进 器（B）和他们的交互作用（A B）对火箭射程 有没有显著影响？ （ ）0.5 表 10.11 Ai Bj B1 B2 B3 Xi A1 582 526 562 412 653 608 3343 A2 491 428 541 505 516 484 2965 A3 601 583 709 732 392 407 3424 A4 758 715 582 510 487 414 3466 X.j. 4684 4553 3961 13198=X. 解 这是双因素考虑交互作用的试验。 设火箭射程为： .2,1.3,.4,321kjiaxijkijjiijk 原假设 ,0:43210 aaHA ，B ,:0ijA,i1,23j 备择假设 至少一个 ,1Hiai 至少一个 ，jB： j 至少一对 .0:1ijA,i 这里 ， ， ， ，利用4a3b2n24abn （10.2.35）计算公式有： ,26380419487526822TS ，3)34(1222 A ，3709841)96568( 2222BS ，176893026184139)487()5268(12 BAS .23695178309261830ES 火箭射程方差分析表如表 10.12 表 10.12 方差来源 平方和 自由度 均方 F 比 因素 A 26168 3 8723 F1=4.42 因素 B 3708 2 18549 F2=9.29 交互作用 AB 176869 6 29478 F3=15.93 误差 E 23695 12 1975 总和 T 263830 23 对已给的显著性水平 ，查表得：0.5 0.5(3,12).49,F0.5(2,1)3.89,F.6,., 因 1,29,35.930,F 所以应拒绝 ，说明燃料、推进器和00,ABAH 它们的交互作用对火箭射程都有显著影响，尤其是以 交互作用的影响更为显著。 7.一元线性回归分析（下面 2 和 3 检验选考一个） 为研究建材产量 （万吨）与基建投资额 （亿元）之间y x 的相关关系以及建立他们的线性关系，统计了某市一年 12 个月，数据如下： ：13.55，14.38，15.52，15.17，17.48，17.63，20.05，2ix 3.14，25.25，25.88，24.83，27.40. （亿元） ：7.65， 8.09， 8.31， 7.88， 8.90， 8.41， 9.53， iy 11.01，11.19，11.13，10.77，11.35. （万吨） (1)建立 与 的回归方程；Yx ， ， 1240.8iix: 124.2iiy: 125089.4iix ， ， 12.0ii 12367.1iiy n=12， ，12 122 40.8., 4.9.527.635, 80.149xi xyii iLxLxy : : ， 122.80yiiy: 则 ，.149 .27562763xy Lb ，.50.80.23.76a 一元回归方程为 ，7635yx 回代原始数据作初步验证， ， ， 13.5x 17.65y ，760.28613.57.694y 又对 ， ， ，12.4x12.y12.30.28756.401.62y 有一定误差但在可控范围内，一元回归方程的系数 0.28756 大于零，表明基建投资额 按月增加 1 亿元，建材x 产量 按月增加 0.28756 万吨。y （2）给出 的样本相关系数并检验；,XY 的相关系数 ，,Ycov(,)()()XYEXYEYDD 样本相关系数为 ，则 R ， 2280.1490.9677635.xyLR ， （一般有： ）1R 表明建材产量与基建投资额以 98.34%存在着相关关系， 1.66%是由随机误差影响所致。 0H01H0 可以证明 2()nTRt: 拒绝域 2()t 对 ， ，0.5值0.5(1)2.81t 样本值： ，120.98347.12.80.96T: 表明 有显著相关性，或由相关关系表， ,XY ，也可得出该结论。0.5.9834.7Rr （3）回归方程的显著性试验（线性显著性）； （不显著 ） （显著）0:Hb1:0Hb 1 称 为回归平方和，21() niUy ， 221 1)()n ni i xi ixyxyabbxbLL 2 由 ，1 11 () ()()niinnxyi iiii ixxxybLLL ，11() nniiiixcy 其中 ， ，iixcL11()0 nni iiixxL ，2211() nni iixx ，11 1 nniii xixcLL 3 由 ， ， ， iiiyab2(,)i iyNab:()iiEyabx ，及正态分布的线性组合 仍然服从正态分布，2()iD1nic ，1111()()() nnnniiiiiiEbcycabxcbx ，222211 1 ()() (,) nniiixxDbcycbNLL: 标准化则有： ，(0,1)xb 4 当 成立时， 即 ，0H22()xL:2(1)U: 由 2 211()()() nniiiii iQyyy22111()()()nnni i iii i i ，1 ()(2(nyiiyxyiLUbyxLUb离 差 平 方 和 的 分 解 又 ，221)(1)nyiiyn: 及 -分布的可加性， ，2222(1)()yLUQnn: ，2 (2)()2xxbbTLtQn: 当 成立时， 对 ，0H0.5 拒绝域 ，2 | ()xbTLtnQn 5 由样本值， ，0.87560.12493.01xyUb ，23.6yL = ，0.28756.351xbTLQn0.2517.(1).281t 拒绝 ，表明 与 是有显著的线性相关关系。0Hy （4）整个回归方程