2017届朝阳区高三第一学期数学(文)期末试题及答案

1 朝阳区 2017年 1月期末统考高三数学（文）试卷 2017.1 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分 1. 已知全集 ，集合 ， ，则URAx20Bx()UAB A. B. C. D. |2x|121|2x 2.复数 A. 2 i B. 2 2i C. 1+i D. 1 i i1 3已知非零实数 ， 满足 ，则下列不等式中一定成立的是ab A. B. C. D.01ab2ab30ab 4.已知平面向量 ， ，则 与 的夹角为(,)3(,)2 A. B C. D.636 5.已知 ，且 ，则“ 函数 在 上是减函数”是“函数 在0a1xyaR3(2)yax 上是增函数”的（）条件R A. 充分而不必要 B必要而不充分 C. 充分且必要 D. 既不充分也不必要 6.已知双曲线 ， 的左、右焦点分别是 ， ，M 是双曲线上的12byax0()b1F2 一点，且| | ，| |=1， ，则该双曲线的离心率是1MF323021FM A B C D 或132 7某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形， 则该四棱锥的体积为 A. B. C. D.23432 1 2 俯视图 正视图 侧视图 1 2 8某校高三（1）班 32 名学生参加跳远和掷实心球两项测试。跳远和掷实心球两项测试成 绩合格的人数分别为 26 人和 23 人，这两项成绩均不合格的有 3 人，则这两项成绩均合格 的人数是 A. B. C. D.230219 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分. 9已知等差数列 前 n 项和为 .若 ， ，则 =_， .anS1a32aS210S 10圆 C： 的圆心到直线 的距离是220xy41xy 11执行如图所示的程序框图，则输出 的结果为_. 12在 中，已知 ，则 .ABC45,2ACB 13设 D 为不等式组 表示的平面区域，对于区域 D 内除原点外的任一点 ， 0,+3xy (,)Axy 则 的最大值是_， 的取值范围是_.2xy2xy 14.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖。有人走访了四位歌手，甲说： “乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖 ”；丙说： “丁获奖”；丁说：“丙说的不对”。若四 位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15. （13 分）已知函数 .2()23sincos1fxxx （）求 的最小正周期；f （）求 在区间 上的最大值和最小值.()x,64 开始 0,1Si 是 否6? 输出 S 结束 2iSi 3 16. （13 分）已知等比数列 的各项均为正数，且 ， na24a342a （）求数列 的通项公式；n （）若数列 满足 ， ，且 是等差数列，b1326bn 求数列 的前 项和.n 17.（13 分）甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训。在培训期间，他们参加的 5 次测 试成绩记录如下： 甲： 82 82 79 95 87 乙： 95 75 80 90 85 （）用茎叶图表示这两组数据； （）从甲、乙两人的这 5 次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率； （）现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为 选派哪位同学参加合适？并说明理由 18. （14 分）如图，四边形 是边长为 的正方形，平面 平面 ，ABCD2ABCDEF , /,AFBE,E1F （）求证： 平面 ； （）求证： 平面 ；/ （）求三棱锥 的体积CD F A D C B E 4 19. （13 分）在平面直角坐标系 中，动点 与两定点 , 连线的斜率乘xOyP(20)A(B 积为 ，记点 的轨迹为曲线 .12PC （）求曲线 的方程； （）若曲线 上的两点 满足 , ，求证： 的面积为定值.,MN/PA/NBOMN 20.（14 分）设函数 .2()1e,xfaR （）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1a()yf(1)f （）若函数 有两个零点，试求 的取值范围;()fx (III)设函数 当 时，证明 .lne,xg0a()0fxg 5 北京市朝阳区 2016-2017 学年度高三年级第一学期统一考试 数学答案（文史类）2017.1 一、选择题：（满分 40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D B A D C B 二、填空题：（满分 30分） 题号 9 10 11 12 13 14 答案 ，4103015，942,0甲 （注：两空的填空，第一空 3分，第二空 2分） 三、解答题：（满分 80分） 15. （13 分）解：（）因为 2()sincos1fxxx .x2cossin3in6 所以 的最小正周期为 . 7 分)(f （）因为 2, .643xx所 以 - 当 时， 取得最大值 ；2,x即 )(f 当 取得最小值 . 13 分,xx即 时 1 16. （13 分）解：(）解：设等比数列 的公比为 ，依题意 naq0 因为 两式相除得： ，1234,aq260 解得 ， (舍去) 所以 21aq 所以数列 的通项公式为 6 分na1nna （）解:由已知可得 ， ，132b242ba 因为 为等差数列，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列nbn11d 6 所以 . 则 .1()nban2nnb 因此数列 的前 项和：23nT 23(13)()n . 13 分 21n 17. （13 分）解：（）作出茎叶图如下； 4 分 （）记甲被抽到的成绩为 ，乙被抽到成绩为 ，用数对 表示基本事件：xy,xy82,95,782,0,982,5,7,587,95,8,0,98,5 基本事件总数 2n 设“甲的成绩比乙高” 为事件 A,事件 A 包含的基本事件：2,75,7,9,958098805 事件 A 包含的基本事件数 所以， 9 分12m12mPn （）派甲参赛比较合适，理由如下： 甲 （ ）(20)乙 2 2222)(5)(8(95)31.6S甲 21(7580)8)0乙 因为 ，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适13 分,xs 甲 乙 甲 乙 18. （14 分）证明：（）因为平面 平面 ，ABCDEF 甲 乙972508 7 平面 平面 ，且 ，所以 平面 .ABCDEFABEBACD 因为 平面 ，所以 C 又因为四边形 为正方形，所以 D 因为 ，所以 平面 4 分 （）设 ，ACBDO 因为四边形 为正方形， 所以 为 中点 设 为 的中点，连结 ，GE,GF 则 ，且 /OB12BE 由已知 ，且 ，AF 则 且/,G. 所以四边形 为平行四边形. 所以 ，即 O/AOFG/C 因为 平面 ， 平面 ，ACDEFE 所以 平面 9 分/ （）由（）可知 平面 ，BACD 因为 ，所以 平面 ，/ 所以 ,AF 又因为四边形 为正方形，所以 ，B 所以 平面 DBE 由（）可知， 平面 ，/CDF 所以，点 到平面 的距离等于 点到平面 的距离，ADEF 所以 CDEFAV 因为 2B 所以 11332EFADAEFAEFVSABD 13 故三棱锥 的体积为 14 分C2 F A D C B E O G 8 19.（13 分）解：（）设 ，则 ，(,)Pxy12yx 整理得 . 5 分 214xy2 （）依题直线 的斜率乘积为 .,OMN12 当直线 的斜率不存在时，直线 的斜率为 ，设直线 的方程,ON2OM 是 ，由 得 ， .取 ，则 .2yx24,yx21y(,)(2,1)N 所以 的面积为 .OMN2 当直线 的斜率存在时，设方程为 .ykxm 由 得， .2,40ykxm22(1)440k 因为 ， 在椭圆 上，NC 所以 ，解得 .22216()0k2km 设 , ,则 ， ；1()Mxy212241x241x 所以 2222211()()kNk k . 224()m 设点 到直线 的距离为 ，则 .OMNd21mk 所以 的面积为 . 221(4)ONkSM 因为 , ，直线 , 的斜率乘积为 ，所以 ./PA/B1212yx 所以 21212112()()ykxmkxmx24=.km 9 由 ，得 . 241mk22km 由，得 . 13 分 22()OMNSd 20.（14 分）解：（）当 时，函数 ，1a2()exf 因为 ，所以 .又()e2xf()e+2f1, 则所求的切线方程为 .yx 化简得： . 3 分(e)1x （）因为 2)fa 当 时，函数 只有一个零点；0a(exf 当 ，函数当 时， ；,0)x()0f 函数当 时， .(,)x(f 所以 在 上单调递减，在 上单调递增.f(,) 又 ， ，(0)1()fa 因为 ，所以 ，所以 ，所以x0,1xe(1)xe1)(2xaf 取 ，显然 且042a00f 所以 ， .()1f0()fx 由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点. 当 时，由 ，得 ，或 .0a()e2)xfa0xln(2)a 若 ，则 .12ln0 故当 时， ，所以函数 在 在单调递增，所以函数 在(,)x()fx()fx,)()fx 至多有一个零点.0, 又当 时， ，所以函数 在 上没有零点.(,)x()0fx()fx,0) 10 所以函数 不存在两个零点.()fx 若 ，则 .12aln0a 当 时， ，所以函数 在 上单调递增，所以函数(l),()fx ()fxln2),a 在 至多有一个零点.fx 当 时， ；当 时， ；(,0)()0fx(,l)()0fx 所以函数 在 上单增， 上单调递减，所以函数 在f,n2a()fx 上的最大值为 ，所以函数 在 上没有零点.(,ln2)a()1f()fx,ln2a 所以 不存在两个零点.fx 综上， 的