26.5 特征值与特征向量 矩阵的简单应用

本资料来源于七彩教育网 26.5 特征值与特征向量 矩阵的简单应用 【知识网络】 1、矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义； 2、会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形） ； 3、了解三阶或高阶矩阵； 4、矩阵的应用。 【典型例题】 例 1：（1）、已知 ，且 ，则 n的值是 （ ）5a(4,)a A3 B3 C3 D不存在 答案：C。解析： ，解得 n=3。52n （2） = ( ) 103 A、 B、 C、 D、 9110313123 答案：C。解析： 。 10101 （3）设某校午餐有 A、B 两种便当选择，经统计数据显示，今天订 A便当的人，隔天 再订 A便当的机率是 ；订 B便当的人，隔天再订 B便当的机率为 ，已知星期一有 40%35 45 的同学订了 A便当，60%的同学订了 B便当，则星期四时订 A便当同学的比率为 （ ） A、 B、 C、 D、2086520965210652165 答案：D。解析：设 M= ，则 M3 。 3 24 5479 8341 125625 （4）矩阵 的特征值是 。 1532 答案：-4 或 2。解析：矩阵 M的特征值 满足方程 =( -1) ( +3)-(- )(-2)= 2+2 -8=05- 135 解得，矩阵 M的两个特征值 1=-4， 2=2。 （5）一实验室培养两种菌，令 和 分别代表两种培养菌在时间点 n 的数量，彼nab 此有如下的关系 ，若二阶矩阵 A= 满足 A112(),2(0,1)nnnab bcda+bn3c ， （其中 n=0,1,2） ，则 ， ， ， 。nbaabc 答案：8，24，0，8。解析： ，3231248824nnnnnnbaaabb b 故 得 。n+3 24b08naab8,24,08cd 例 2：根据下列条件试判断 M 是否与 共线 M= ， 非零向量 = M= ， =3yx1-322- 答案： M = = =303 所以 M 与 共线。 M = = 而 与 不共线。 即此时 M 与 不共线。21-3-70-2 例 3：求矩阵 M= 的特征值和特征向量5 2 答案：矩阵 M的特征值 满足方程 =( +1) ( -3)-(- )(-2)= 2-2 -8=02- 13-5 解得，矩阵 M的两个特征值 1=4， 2=-2 设属于特征值 1=4的特征向量为 ，则它满足方程：yx ( 1+1)x+(-2)y=0 即：（4+1）x+(-2)y=0 也就是 5 x-2y=0 则可取 为属于特征值 1=4的一个特征向量52 设属于特征值 1=-2的特征向量为 ，则它满足方程：yx ( 2+1)x+(-2)y=0 即：（-2+1）x+(-2)y=0 也就是 x+2y=0 则可取 为属于特征值 2=-2的一个特征向量1- 综上所述：M= 有两个特征值 1=4， 2=-2，253 七彩教育网 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 ABCD 属于 1=4的一个特征向量为 ，属于 2=-2的一个特征向量为 。512- 例 4：已知：矩阵 M= ，向量 = 求 M32-316 答案：由上题可知 1 = ， 2 = 是矩阵 M分别对应特征值 1=4， 2=-2的两5- 个特征向量，而 1 与 2 不共线。又 = =3 + =3 1+ 2165- M 3 = M3（3 1+ 2）=3 M 3 1+ M3 2 =3 13 1+ 23 2=343 +（-2） 3- = 192 -8 = = 。5-(-8)59908 【课内练习】 1 (3，1)， (1，2)，则3 2 的坐标是 ( )abab A(7，1) B(7，1) C(7，1) D(7，1) 答案：B。 2矩阵 的特征值是 （ 421 ） A、0 和 5 B、0 和5 C、1 和 4 D、1 和4 答案：A。解析：由已知 ，解得 。2()(50f120,5 3下图为一个网络，则一级路矩阵为 （ ） A、 B、 C、 D、 0 12 0 12 0 21 0 2 答案：A。 4矩阵 A= 的特征多次式为 。1423 答案： 。解析： 。521 -4()53f 5设 A 是一个二阶矩阵，满足 A ，且 A ，则 A= 。0163 答案： 。解析：设 A= ，3 106 bcda 则 。,318,3,10.6acbcd 6矩阵 M= 的所有特征向量为 。123 答案：k 和 k 。解析：已知,(0) 2()1()6340,f ，对应的特征向量为 和 ，故所有的特征向量为：k 和 k12,4123 。,(0)k 7已知点列 满足 ，且 ，则 P4坐标为 *(,)nPxyN124nnxyy1,2xy 。 答案：（2，6） 。 解析： 2 3()4()3)4 4nnnnnnnxyxxyxyy y 即 ，故 ，又 ，3nnx3 1-4nnxy1,2xy ，即 P4（2，6） 。4 12-6 8求矩阵 A= 的特征值与特征向量。3 0- 答案：矩阵 A 的特征多项式 或1，其相应的特征向量分别()3)(,3f 为 和 。104 9已知ABC 的坐标分别为 A（1，1） 、B（3，2 ） 、C（2，4 ） ，写出直线 AB的向 量方程及其坐标形式。并求出 BC边上的高。 答案：AB 的平行向量为：V 0= = ，设 M为直线 AB上的任意一点，故：- 所求向量方程为：OM = OA + t V0 ( t R ) 其坐标形式分别为： = + t y x1 ( t R ) 由 ，直线 AB的坐标形式方程可化为： 消去 t后得普12t1y2x 通方程为：x-2y+1=0 所以所求高为 C到直线 AB的距离，设为 h,则：h= = 。5 10假设某地只有甲乙两家工厂生产并贩卖某一种产品每一年甲工厂的顾客中有 转34 向乙工厂购买此产品，只有 仍然向甲工厂购买；而乙工厂的顾客中有 转向甲工厂购买，14 13 其余 的顾客仍然向乙工厂购买，请问一年、二年、三年后，甲乙两家工厂的市场占有率23 为何？ 22| 七彩教育网 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 答案：设甲乙两工厂目前市场占有率为 ，其中 年后甲乙两工厂市场占0,xy01,xyn 有率分别为 ,nxy 第一年甲工厂的市场占有率 ，乙工厂的市场占有率 ，1043xy10324yxy 令 A= ，X n= ，则可用 AX0= = =X1表示上述的关系 1 432 y1 2 43nxy 第二年甲工厂的市场占有率 ，乙工厂的市场占有率 ，21x2134yxy 则 AX1= = =X2AXn=Xn+1,根据上述的关系： 432 1xy312 0()()nnnnnXAXAXA 所以 X2= ，X 3= 000515 48364862 xyy 00017173 +42425959 xyy 【作业本】 A组 1对于一个二阶矩阵 A，下列说法正确的是 （ ） A、它的特征向量是唯一的 B、它的特征向量有且只有两个 C、它的特征向量有无穷多个 D、它的特征向量由它的特征值来确定 答案：D。 2设 M= ，则 M50= （ ）1 - A、 B、 C、 D、 250 -25-0 250 -250 - 答案：A。解析：M 2= ，M 4= ，M 50=- 0 - 。 2425412 0() 3假设每市每年有 5%的人口移入市区，而市区每年有 3%的人口移入郊区，且无其 它地方的人口移入或移出，则市区与郊区的人口占比可用矩阵表示 （ ） A、 B、 C、 D、0.95 370.3 9570.5 9370.5 973 答案：A。 ABC4矩阵 A= 的特征值为 。12-3答案： 。解析：由已知 ，解得 。6 2()1(3)50f165如图所示的是 A，B，C 三个城市间的交通情况，则二级路矩阵为 。 答案： 。解析：由题意知，一级路矩阵 M= ， 248 5 0 21 则二级路矩阵 N=M2= 。 48 5 6已知 M= ，试计算1 -3,220M 答案：矩阵 M 的特征多次式为 ，对应的特征向量分212()4,3f 别为 和 ，而 ，所以112 202020()3 7为了保密，军中经常针对不同的军事行动而更改密码，今若约定以 阶矩阵中4 每一列的数字和之个位数字代表更改后的密码，例如 所代表的密码为 7682。而3 85467 且为了确保密码在传送过程中，不被敌方所窃取，因而作了加密动作，即将所要传送的密 码之 阶矩阵乘以固定矩阵 X= ，然后将所得出的 阶矩阵传送给对方，当对方242 132 收到传送过来的 阶矩阵后再进行解密的动作（例如：原始的矩阵为 A，先经过 XA=B之 运算后，再将 B传送出去） 。今若对方收到的 阶矩阵为 ，问原始密码为何？2415 4 72308 答案：由题意知：A= ，原始密码为 8446。 1- 15 7 3243081465XB 8有一个心理学家做了如下的老鼠实验：于前次的实验中，走向右边的老鼠中，有 80%在下次实验中仍走向右边；走向右边的老鼠中，有 60%在下次实验中走向右边。 （1） 试求其转移矩阵；（2）如果在第一次实验中有 50%的老鼠走向右边，试求在第三次实验， 有多少老鼠走向右边？ 答案：（1）M= ；0.8 624 （2）M 2 ，在第三次实验中，有 74%的老鼠走向右边。.5.7 .50.7426 B组 1假设有一家租车公司有三个门市，顾客可以从其中任一门市租车而在任一门市还车， 七彩教育网 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 如果 P= ，其中 表示从 j 门市租的车在 i 门市还的概率，则 P12=0.2 表示的是 0.8 2.173. .5ijP （ ） A、在第一门市租出去的车子中有 0.2 是在第二门市还的 B、在第二门市租出去的车子中有 0.2 是在第二门市还的 C、在第二门市租出去的车子中有 0.2 是在第一门市还的 D、在第一门市租出去的车子中有 0.2 是在第一门市还的 答案：C。解析：由矩阵 P 的意义知。 2两个数列 满足 ，其中 ，则 （ ）,nab14nnab12,0ab10a A、 B、 C、 D、103102939 答案：C。解析：由已知 ， 。 9993(1)4 229103a 3设甲箱内有 2 个白球，乙箱内有 3 个红球，现在每次各自箱中随机取一个球互换， 在交换二次后，有 2 个红球在甲箱内的概率为 （ ） A、 B、 C、 D、1613122 答案：B。 4某高中一学生，他的读书习惯是：如果他在今晚读书，则他在明晚有 70%的机率 不读书；如果他在今晚不读书，则他在明晚有 60%的机率不读书，若已知他在星期（今天） 晚上读书，求他在星期四（大后天）晚上读书的机率为 _. 答案：0.363。 5使用球和一球袋作机率实验，球只有黑白两色，袋中装有两颗球，因此只有三种 可能情况：把双白球称为状态 1，一白球一黑球称为状态 2，双黑球称为状态 3，对这袋球 做如下操作：自袋中随机移走一球后，再随机移入一颗白球或黑球（移入白球或黑球的机 率相等） 。每次操作可能会改变袋中球的状态，把从状态 j 经过一次操作后会变成状态 i 的 机率记为 ，由此构成一 矩阵 P。若实验一开始袋中有双白球，则操作三次后袋中仍ijP3 有双白球的机率 。 答案： 。516 6求投影变换矩阵 M= 的特征值和特征向量，请计算 M10 的值，解释它的几1 0 23 何意义。 答案：M 的特征多项式 或 0，故它的特征值为 0 和 1，对应的特()1,f 征向量为 和 。而 ，它的几何意义是：01 0202123,3M 对于向量 而言，无论对它作用多少次投影变换，它总变为向量 。23 0 7