2017年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）含答案解析

2017 年甘肃省高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题（每小题 5 分） 1已知集合 A=1， 2， 3， B=x Z|（ x+2）（ x 3） 0，则 A B（ ） A 1 B 1， 0， 1， 2， 3 C 1， 2 D 0， 1， 2， 3 2已知 z 是复数，且 =1+i，则 z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A（ 3， 1） B（ 3， 1） C（ 1， 3） D（ 1， 3） 3我国古代数学名著九章算术有 “米谷粒分 ”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1536 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 224 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ） A 169 石 B 192 石 C 1367 石 D 1164 石 4已知直线 l 与平面 相交但不垂直， m 为空间内一条直线，则下列结论一定不成立的是（ ） A m l， m B m l， m C m l， m D m l， m 5在等差数列 ， a1+， ， 数列 前 n 项和，则 ） A 6051 B 4034 C 2017 D 1009 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A 4+2 B 8+2 C 4+ D 8+ 7若圆 x2+x 2y 截直线 x+y+5=0 所得弦的长度为 2，则实数 a=（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 8如果执行如图所示的程序框图，则输出的数 S 不可能是（ ） A 已知实数 x， y+1 a=0，则实数 a 的取值范围是（ ） A ， 1） B 1， C（ 1， D ， 10已知函数 f（ x） =2x ） +2函数 y=f（ x）的图象向右平移个单位，得到函数 y=g（ x）的图象，则函数 y=g（ x）图象的一个对称中心是（ ） A（ ， 1） B（ ， 1） C（ ， 1） D（ ， 0） 11设抛物线 K： p 0），焦点为 F， P 是 K 上一点， K 在点 P 处的切线为 l， d 为 F 到 l 的距离，则（ ） A =p B =p C =2p D = 12已知定义在（ 0， + ）上的函数 f（ x）满足 f（ + f（ x） f（ y） =0，若一族平行线 x=i=1， 2， ， n）分别与 y=f（ x）图象的交点为（ （ ，（ 且 2f（ 1）， i+1 成等比数列，其中 i=1， 2， ，n，则 =（ ） A 2n B 1 C D 二、填空题（每小题 5 分） 13已知向量 =（ 1， 1）， =0， | |=2，则 | |= 14已知（ a + ） 6（ a 0）展开式中的常数项是 5，则 a= 15已知函数 f（ x） = 若方程 f（ x） a=0 有唯一解，则实数 16设数列 足： ， an=（ n N*）， =n，其中符号 表示连乘，如 i=1 2 3 4 5，则 f（ n）的最小值为 三、解答题 17在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，且 b， c 是关于 x 的一元二次方程 x2+a2+b2+ 的两根 （ 1）求角 A 的大小； （ 2）已知 a= ，设 B=， 面积为 y，求 y=f（ ）的最大值 18持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车排放的尾气是造成雾霾天气的重要因素之一为了贯彻落实国务院关于培育战略性新兴产业和加强节能减排工作的部署和要求 ，中央财政安排专项资金支持开展私人购买新能源汽车补贴试点 2017 年国家又出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策，其中新能源乘用车推广应用补贴标准如表： 某课题组从汽车市场上随机选取了 20 辆纯电动乘用车，根据其续驶里程 R（单词充电后能行驶的最大里程， R 100， 300）进行如下分组：第 1 组 100， 150），第 2 组 150， 200），第 3 组 200， 250），第 4 组 250， 300，制成如图所示的频率分布直方图已知第 1 组与第 3 组的频率之比为 1： 4，第 2 组的频数为 7 纯电动续驶里程 R（公里） 100 R 150 150 R 250 R 250 补贴标准（万元 /辆） 2 44 （ 1）请根据频率分布直方图统计这 20 辆纯电动乘用车的平均续驶里程； （ 2）若以频率作为概率，设 为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求 的分布列和数学期望 E（ ） 19如图，四边形 矩形，四边形 梯形，平面 平面 0， D= （ 1）若 M 为 点，求证： 平面 （ 2）若平面 成的锐二面角的大小 为 ，求线段 长度 20已知椭圆 E： y2=m 0）的左顶点是 A，左焦点为 F，上顶点为 B （ 1）当 面积为 时，求 m 的值； （ 2）若直线 l 交椭圆 E 于 M， N 两点（不同于 A），以线段 直径的圆过 探究直线 l 是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由 21已知函数 f（ x） =（ x 1） （ 1）求函数 f（ x）的单调区间 （ 2）若方程 a（ +1） +ex=（ 0， 1）内有解，求实数 a 的取值范围 选修 4标系与参数方程 22在直角坐标系 ，曲线 参数方程为 （ 为参数， 0），曲线 参数方程为 （ t 为参数），以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）求曲线 极坐标方程和曲线 普通方程； （ 2）射线 = 与曲线 交点为 P，与曲线 交点为 Q，求线段 长 选修 4等式选讲 23设函数 f（ x） =|x+2|+|x 1| （ 1）求 f（ x）的最小值及取得最小值时 x 的取值范围； （ 2）若集合 x|f（ x） +1 0=R，求实数 a 的取值范围 2017 年甘 肃省高考数学一诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 5 分） 1已知集合 A=1， 2， 3， B=x Z|（ x+2）（ x 3） 0，则 A B（ ） A 1 B 1， 0， 1， 2， 3 C 1， 2 D 0， 1， 2， 3 【考点】 并集及其运算 【分析】 先分别求出集合 A， B，由此利用并集定义能求出 A B 【解答】 解： 集合 A=1， 2， 3， B=x Z|（ x+2）（ x 3） 0= 1， 0， 1， 2， ， A B= 1， 01， 1， 2， 3 故选： B 2已知 z 是复数，且 =1+i，则 z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A（ 3， 1） B（ 3， 1） C（ 1， 3） D（ 1， 3） 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、几何意义即可得出 【解答】 解： =1+i， z+2=i 1，化为： z= 3+i， 则 z 在复平面内对应的点的坐标为（ 3， 1） 故选： A 3我国古代数学名著九章算术有 “米谷粒分 ”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1536 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 224 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ） A 169 石 B 192 石 C 1367 石 D 1164 石 【考点】 简单随机抽样 【分析】 根据 224 粒内夹谷 28 粒，可得比例，即可得出结论 【解答】 解：由题意，这批米内夹谷约为 1536 =192 石， 故选： B 4已知直线 l 与平面 相交但不垂直， m 为空间内一条直线，则下列结论一定不成立的是（ ） A m l， m B m l， m C m l， m D m l， m 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 对 4 个选项分别进行判断，即可得出结论 【解答】 解：设过 l 和 l 在平面 内的射影的平面为 ，则当 m 时，有 m l，m 或 m，故 A， B 正确 若 m l，则 m 与平面 所成的夹角与 l 与平面 所成的夹角相等，即 m 与平面斜交，故 C 正确 若 m ，设 l 与 m 所成的角为 ，则 0 即 m 与 l 不可能垂直，故 故选： D 5在等差数列 ， a1+， ， 数列 前 n 项和，则 ） A 6051 B 4034 C 2017 D 1009 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 根据题意和等差数列的性质 求出 a1+值，由等差数列的前 n 项和公式求出 值 【解答】 解：在等差数列 ， 因为 a1+， ， 所以 a1+a2+， 所以 =2017， 故选 C 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 4+2 B 8+2 C 4+ D 8+ 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体 【解答】 解：该几何体由上下两部分组成 的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体 该几何体的体积 V= =8+ 故选： D 7若圆 x2+x 2y 截直线 x+y+5=0 所得弦的长度为 2，则实数 a=（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 求出圆心和半径，根据弦长公式进行求解即可 【解答】 解：圆的标准方程为（ x+2） 2+（ y 1） 2=5+ 则圆心（ 2， 1）到直线 x+y+5=0 的距离为 =2 ， 由 12+（ 2 ） 2=5+ a= 2， 故选： A 8 如果执行如图所示的程序框图，则输出的数 S 不可能是（ ） A 考点】 程序框图 【分析】 模 拟 执 行 程 序 ， 可 得 此 程 序 框 图 的 功 能 是 计 算 并 输 出S= + 的值，结合选项，只有当 S 的值为 ， n 不是正整数，由此得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数 n， 求 + 的值 S，并输出 S， 由于 S= + =1 + + =1 = ， 令 S=得 n= ，不是正整数，而 n 分别输入 2， 3， 8 时，可分别输出 故 选： A 9已知实数 x， y+1 a=0，则实数 a 的取值范围是（ ） A ， 1） B 1， C（ 1， D ， 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出约束条件的可行域，化简目标函数，推出 a 的表达式，利用不等式的几何意义，求解范围即可 【解答】 解：实数 x， y 满足 的可行域如图：可知 x 1， 由 y+1 a=0，可得： a= ，它的几何意义是可行域内的点与 D（ 1， 1）连线的斜率，由图形可知连线的斜率的最大值为 = 最小值大于与直线x+y=0 平行时 的斜率 可得 a （ 1， 故选： C 10已知函数 f（ x） =2x ） +2函数 y=f（ x）的图象向右平移个单位，得到函数 y=g（ x）的图象，则函数 y=g（ x）图象的一个对称中心是（ ） A（ ， 1） B（ ， 1） C（ ， 1） D（ ， 0） 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件利用三角函数恒等变换的应用，函数 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心 【解答】 解： f（ x） =2x ） +2= 2x+ ）+1， 将函数 y=f（ x）的图象向右平移 个单位，得到函数 y=g（ x）的图象，可得：g（ x） = （ x ） + +1= ， 令 2x=k z，可得 x= ， k z， 当 k= 1 时，可得函数的图象的对称中心为（ ， 1）， 故选： A 11设抛物线 K： p 0），焦点为 F， P 是 K 上一点， K 在点 P 处的切线为 l， d 为 F 到 l 的距离，则（ ） A =p B =p C =2p D = 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设 P（ 则 K 在点 P 处的切线方程为 l： y （ x 再根据点到直线的距离公式，化简计算即可得到 【解答】 解：设 P（ 则 K 在点 P 处的切线方程为 l： y （ x 则 l： ， 又 F（ 0， ）， 所以 d= = = = = ， 故选： D 12已知定义在（ 0， + ）上的函数 f（ x）满足 f（ + f（ x） f（ y） =0，若一族平行线 x=i=1， 2， ， n）分别与 y=f（ x）图象的交点为（ （ ，（ 且 2f（ 1）， i+1 成等比数列，其中 i=1， 2， ，n，则 =（ ） A 2n B 1 C D 【考点】 抽象函数及其应用 【分析】 利用 2f（ 1）， i+1 成等比数列，得 i+1=1， f（ +f（ i+1）=f（ i+1） + =1，求出 2 =1+1+ +1=n，即可得出结论 【解答】 解：由题意， f（ 1） = ， 2f（ 1）， i+1 成等比数列， i+1=1， f（ +f（ i+1） =f（ i+1） + =1， 2 =1+1+ +1=n， = 故选： C 二、填空题（每小题 5 分） 13已知向量 =（ 1， 1）， =0， | |=2，则 | |= 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量的数量积公式计算即可 【解答】 解： 向量 =（ 1， 1） = ， =0， | |2=| |2 2 +| |2=4， | |2=2， | |= ， 故答案为： 14已知（ a + ） 6（ a 0）展开式中的常数项是 5，则 a= 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用二项式展开式的通项公式求出展开式的常数项的表达式，列方程求出 a 的值 【解答】 解：（ a + ） 6（ a 0）展开式中， 通项公式为： = =r ， 令 3 =0，解得 r=2； 展开式的常数项是 =5， 解得 a= ； 又 a 0， a= 故答案为： 15已知函数 f（ x） = 若方程 f（ x） a=0 有唯一解，则实数 （ 1， + ） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 由题知 f（ x）为分段函数，当 x 大于 0 时，由 f（ x） =f（ x 1）可知当x 大于 1 时， f（ x） =0，小于 1 大于 0 时函数为减函数；当 x 小于等于 0 时函数为减函数，在同一坐标系中画出函数 f（ x）的图象与函数 y=a 的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数 a 的取值范围 【解答】 解：函数 f（ x） = 的图象如图所示，当 a 1 时，函数y=f（ x）的图象与函数 y=a 的图象有唯一个交点， 即方程 f（ x） a=0 有唯一解， 故答案为（ 1， + ） 16设数列 足： ， an=（ n N*）， =n，其中符号 表示连乘，如 i=1 2 3 4 5，则 f（ n）的最小值为 【考点】 数列递推式 【分析】 ， an=（ n N*），可得 an=e 2（ n 1） . =n，化为： f（ n）= = 考查函数 f（ x） = 的单调性，利用导数研究其单调性即可得出 【解答】 解： ， an=（ n N*）， an=e 2（ n 1） =n，化为： f（ n） = = 考查函数 f（ x） = ， f（ x） = （ 412x+3） ，令 f（ x）=0，解得 ， ， 0 1， 2 3 当 x ， f（ x） 0；当 x ， f（ x） 0； 当 x ， f（ x） 0即 f（ x）在（ ， （ + ）单调递增，在（ x1，单调递减， h（ x） h（ 即 f（ n） f（ 2）， f（ 3） ， f（ 2） = f（ 3） = f（ n） f（ 3） = 故答案为： 三、解答题 17在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，且 b， c 是关于 x 的一元二次方程 x2+a2+b2+ 的两根 （ 1）求角 A 的大小； （ 2）已知 a= ，设 B=， 面积为 y，求 y=f（ ）的最大值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由已知化简可得： b2+c2=a2+用余弦定理可求 ，结合范围 A （ 0， ），可求 A 的值 （ 2）由已知及正弦定理可得 b=2c=2 ），利用，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用化简可求 y= 2 ） + ，由 0 ，可得范围 2 ，利用正弦函数的图 象可求最大值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1）在 ，由题意可得： a2+b2+得： b2+c2=a2+ = ， 又 A （ 0， ）， A= 6 分 （ 2）由 a= ， A= 及正弦定理可得： ， b=2c=2 B） =2 ）， y= ） = = = 2 ） + ， 由于 0 ，可得： 2 ， 当 2 = ，即 = 时， 12 分 18持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车排放的尾气是造成雾霾天气的重要因素之一为了贯彻落实国务院关于培育战略性新兴产业和加强节能减排工作的部署和要求，中央财政安排专项资金支持开展私人购买新能源汽车补贴试点 2017 年国家又出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策，其中新能源乘用车推广应用补贴标准如表： 某课题组从汽车市场上随机选取了 20 辆纯电动乘用车，根据其续驶里程 R（单词充电后能行驶的最大里程， R 100， 300）进行如下分组：第 1 组 100， 150），第 2 组 150， 200），第 3 组 200， 250），第 4 组 250， 300，制成如图所示的频率分布直方图已知第 1 组与第 3 组的频率之比为 1： 4，第 2 组的频数为 7 纯电动续驶里程 R（公里） 100 R 150 150 R 250 R 250 补贴标准（万元 /辆） 2 44 （ 1）请根据频率分布直方图统计这 20 辆纯电动乘用车的平均续驶里程； （ 2）若以频率作为概率，设 为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求 的分布列和数学期望 E（ ） 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）由表格分别求出第一组、第二组、第三组、第四组的频率，由此利用频率分布直方图能估计这 20 辆纯电动乘用车的平均续驶里程 （ 2）由题意知 的可能取值为 2， 别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ 1）由表格知第一组的频率为 二组的频率为 ， 第三组的频率为 四组的频率为 频率分布直方图估计这 20 辆纯电动乘用车的平均续驶里程为： 125 75 25 75 05（公里） （ 2）由题意知 的可能取值为 2， P（ =2） = P（ = P（ = 的分布列为： 2 =2 19如图，四边形 矩形，四边形 梯形，平面 平面 0， D= （ 1）若 M 为 点，求证 ： 平面 （ 2）若平面 成的锐二面角的大小为 ，求线段 长度 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）设 点 N，连结 此能证明 平面 （ 2）设 PD=a，（ a 0），推导出 平面 D 为原点， x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段 长度 【解答】 证明：（ 1）设 点 N，连结 在 ， M， N 分别是 中点， 又 面 面 平面 解：（ 2）设 PD=a，（ a 0）， 四边形 矩形，四边形 梯形， 平面 平面 平面 又 0， 以 D 为原点， 在直线分为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 P（ 0， 0， a）， B（ 1， 1， 0）， C（ 0， 2， 0）， ， 平面 法向量 =（ 0， 1， 0）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x=a，得 =（ a， a， 2）， 平面 成的锐二面角的大小为 ， = = ， 解得 a= 线段 长度为 20已知椭圆 E： y2=m 0）的左顶点是 A，左焦点为 F，上顶点为 B （ 1）当 面积为 时，求 m 的值； （ 2）若直线 l 交椭圆 E 于 M， N 两点（不同于 A），以线段 直径的圆过 探究直线 l 是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）将椭圆方程转化成标准方程，则三角形 面积 S= b （ b c），代入即 可求得 m 的值； （ 2）设直线 方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求得 M 和 N 的方程，当 l 的斜率不存在时，显然可得 k=1，求得圆心为 P（ ， 0），当 l 的斜率存在时，由利用两点的斜率公式求得 线 l 是否过定点 【解答】 解：（ 1）由椭圆方程： ，则 a=m， b= ， c= ， 由三角形 面积 S， S= b （ b c） = ， 则 （ m ） ，解得： m= ， m 的值为 ； （ 2）由线段 直径的圆过 A 点，则 设直线 斜率为 k（ k 0），则直线 斜率为 ， y=k（ x+m）， 设 A（ B（ 则 ， 整理得：（ 3） 31） ， 则 m） = ，则 ，故 y1=k（ x1+m） = ， 则 M（ ， ）， 直线 方程为 y= （ x+m），同理可得： N（ ， ）， 当 l 的斜率不存在时，显然可得 k=1，此时 M（ ， ）， N（ ， ）， 则圆心为 P（ ， 0）， 由直线 l 总穿过 x 轴，证明当 l 的斜率存在时，也过点 P（ ， 0）， 当 l 的斜率存在时， = =k 0， k 1）， 综上可知： l 过 定点（ ， 0） 21已知函数 f（ x） =（ x 1） （ 1）求函数 f（ x）的单调区间 （ 2）若方程 a（ +1） +ex=（ 0， 1）内有解，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （ 2）问题可化为 a e） x=0，令 g（ x） = a e） x，则 g（ x）在（ 0， 1）内有零点，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而确定 a 的范围即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） =（ x2+x 2） x 1）（ x+2） 令 f（ x） 0，解得： x 1 或 x 2， 令 f（ x） 0，解得： 2 x 1， 故 f（ x）在（ ， 2）递增，在（ 2， 1）递减，在（ 1， + ）递增； （ 2）方程 a（ +1） +ex=化为 a e） x=0， 令 g（ x） = a e） x，则 g（ x）在（ 0， 1）内有零点，易知 g（ 0） =1，g（ 1） =0， g（ x） =2ax+a e，设 g（ x） =h（ x），则 h（ x） =2a， a 0 时， h（ x） 0，即 h（ x）在区间（ 0， 1）递增， h（ 0） =1+a e 0， h（ 1） = a 0，即 h（ x）在区间（ 0， 1）只有 1 个零点 故 g（ x）在（ 0， 减，在（ 1）递增， 而 g（ 0） =1 0， g（ 1） =0，得 g（ g（ 1） =0，故 g（ x）在（ 0， 存在唯一零点； 当 0 a 时， h（ x） 0，即 h（ x）在区间（ 0， 1）递增， h（ x） h（ 1） = a 0，得 g（ x）在（ 0， 1）递减，得 g（ x）在（ 0， 1）无零点； 当 a 时，令 h（ x） =0，得 x=2a） （ 0， 1）， h（ x）在区间（ 0， 2a）上递减，在（ 2a）， 1）递增， h（ x）在区间（ 0， 1）上存在最小值 h（ 2a）， 故 h（ 2a） h（ 1） = a 0， h（ 0） =1+a e a 0， 故 a 时， x （ 0， 1），都有 g（ x） 0， g（ x）在（ 0， 1）递减， 又 g（ 0） =1， g（ 1） =0，故 g（ x）在（ 0， 1）内无零点； a 时， h（ x） 0， h（ x）在区间（ 0， 1）递减， h（ 1） = a 0， h（ 0）=1+a e， 若 h（ 0） =1+a e 0，得 a e 1 ， 则 h（ x）在区间（ 0， 1）只有 1 个零点 故 g（ x）在（ 0， 增，在（ 1）递减，