北京市朝阳区2017届高三第一次综合练习数学文试题含答案

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学测试题（文史类） 考试时间 120 分钟 满分 150 分 ） 本试卷分为选择题 （共 40 分） 和非选择题 （共 110 分） 两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题 ： 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . （ 1）已知 集合 | 1 3A x x ， 2 | 4 B x x Z ，则 （ A） 0,1 （ B） 1,0,1,2 （ C） 1,0,1 （ D） 2, 1, 0,1, 2 （ 2） 若 , 0,3,0,则 的 最大值为 （ A） 0 （ B） 3 （ C） 4 （ D） 5 （ 3） 执行如图所示的程序框图，若输入 4m ， 6n ，则输出 a （ A） 4 （ B） 8 （ C） 12 （ D） 16 （ 4）已 知直线 l 过定点 (0,1) , 则“直线 l 与圆 22( 2 ) 4 相切”是“直线 l 的斜率为 34”的 （ A） 充分不必要 条件 （ B） 必要不充分条件 （ C） 充分必要条件 （ D） 既不充分也不必要条件 开始 a m i 输入 m,n 是 10i 结束 输出 a 否 a 能被 n 整除？ （ 5） 已知函数 224 , 2 ,() l o g , 2x x x a x 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 （ A） 1,0 （ B） 1,2 （ C） 1+， （ D） 2+， （ 6）设抛物线 2 8的焦点为 F ,准线为 l ， P 为抛物线上一点， ， A 为垂足 . 如果直线 斜率为 3 ，那么 （ A） 8 （ B） 16 （ C） 34 （ D） 38 （ 7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的底面的面积是 （ A） 12（ B） 32（ C） 14（ D） 34（ 8） 如图， ,个 开关 控制着 1,2,3,4 号四盏灯若 开关 A 控制着 2,3,4 号灯（即按一下开关 A , 2,3,4 号灯亮，再按一下开关 A ,2,3,4 号灯 熄灭 ），同样，开关 B 控制着 1,3,4 号灯，开关 C 控制着 1,2,4 号灯 开始时，四盏灯都亮着，那么下列说法正确的是 （ A） 只需要按 开关 ,（ B） 只需要按 开关 ,（ C） 按 开关 ,以将四盏灯全部熄灭 （ D） 按 开关 ,法将四盏灯全部熄灭 3 421视图 1 正视图 1 第 二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . （ 9） 复数 11在复平面内对应的点的坐标是 _. （ 10） 已知 n 项 和若6 51S ，1926， 则 数列 d ，通项公式 （ 11）已知 函数 x 22)(的一个零点在区间 )2,1( 内，则实数 a 的取值范围是 . （ 12） 在 A ，6则C_， _. （ 13）为了促销某电子产品，商场进行降价，设 0m ， 0n ， ，有三种降价方案： 方案：先降 %m ， 再降 %n ； 方案：先降 + %2再降 + %2 方案：一次性降价 ( + )% 则 降价幅度最小的方案是 _.（填出正确的序号） （ 14） 如图， 11， 1 2 2 ， 2 3 3B B C 是 三个边长为 2 的等边三角形 ，且 有一条边在同一直线上，边 33有 5 个不同的点 1 2 3 4 5, , , ,P P P P P ，设2 C A P（ 1, 2, , 5i ），则 1 2 5m m m _. C 1 C 3 3P 5P 2P 4P 1P 3 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 演算步骤或证明过程 . （ 15） （本小题 满分 13 分） 已知函数 ( ) s i n ( c o s 3 s i n )f x x x x. ( )求函数 () ( )求函数 ()0,x 上的单调递增区间 . （ 16） （本小题满分 13 分） 已知 数列 足11 2 ( 1 )1 , ,a 设 nn ab n， n N . （ ） 证明 （ ）求数列2n 项和 （ 17） （本小题满分 13 分） 某校高三年级 共 有 学生 195 人，其中 女生 105 人，男生 90 人 层抽样的方法 ， 从中抽取 13 人进行问卷调查 设其中某项问题的选择分别为“同意”、“不同意”两种，且每人都做了一种选择 下面表格中提供了被调查人 答卷情况的部分信息 同意 不同意 合计 女学生 4 男学生 2 （ ） 完成 上述 统计表 ； （ ） 根据上表的数据 估计高三年级学生 该项问题选择 “同意”的人数； （） 从被抽取的女 生中 随机 选取 2 人进行访谈，求选取的 2 名女生 中 至少 有一人 选择“同意” 的概率 （ 18） （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P 中，平面 平面 C ，B ， D ， 12B C C D A D， E 为 中点 . （ ） 求证： D ； （ ） 求证：平面 面 （） 在 平面 是否存在 M ，使得直 线 面 请 说明理由 . （ 19） （本小题 满分 14 分） 过点 (1,0)A 的直线 l 与椭圆 2 2:13相交于 ,自 ,直线3x 作垂线，垂足分别为 11, （）当 直线 l 的斜率为 1 时， 求 线段 中点坐标 ； （）记11面积分别为1S， 求 的取值范围 . （ 20） （本小题 满分 13 分） 已知函数 3( ) 3 e , ( ) 1 l nf x x a x g x x ，其中 e 为自然对数的底数 . ( )若 曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处 的切线 与直线 : 2 0l x y垂直，求实数 a 的值 ； （） 设函数 1( ) ( ) 2 2F x x g x x ，若 () , 1 ) ( )m m m Z+?内存在唯一的极值点， 求 m 的值 ； （） 用 表示 m,n 中的较大者，记 函数 ( ) m a x ( ) , ( ) ( 0 )h x f x g x x D E 数 ()0, ) 上恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围 . 北京市朝阳区高三年级第一 次综合练习 数学测试题答案（文史类） 、 选择题 ： 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） （ 7） （ 8） 答案 C B C B C A D D 二、 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 题号 （ 9） （ 10） （ 11） （ 12） （ 13） （ 14） 答案 (1, 1) 3, 32n )3,0( ,46 3 22 90 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 算步骤或证明过程 . （ 15） （本小题 满分 13 分） 解： ( )因为 ( ) s i n ( c o s 3 s i n )f x x x x 2s i n c o s 3 s i nx x x 1 3 3s i n 2 c o s 22 2 2 3s i n ( 2 )32x ， 所以 函数 () 2T . 6 分 ( )令 2 22 ,2 3 2k x k k 5 2 22 ,66k x k k Z， 所以 5 ,1 2 1 2k x k k Z. 又因为 0,x ， 所以 函数 ()0,x 上的单调递增区间是 0, 12和 7,12. 13 分 （ 16） （本小题满分 13 分） 解：（ ）由1 2 ( 1)，得1 21 所以1 2，即1 又因为11 11， 所以数列 为首项，公比为 2 的等比数列 7 分 （ ）由（ ）可知 111 2 2 所以 122l o g l o g 2 1 则数列2n 项和 ( 1 )1 2 3 ( 1 ) 2 13 分 （ 17）（本小题满分 13 分） 解： （ ） 统计表 如下： 3 分 （ ） 高三年级学生 该项问题选择 “同意”的人数 估计有 （ 人 ） 7 分 （） 设“同意”的 4 名 女 生 分别 为1 2 3 4, , ,A A A A， “不同意”的 3 名 女 生分别为1 2 3,B B B 从 7 人中随机选出 2 人的情况 有 1 2 1 3 1 4 1 1 1 2 1 3 2 3 2 4 2 1 2 2 2 3 3 4 3 1 3 2 3 3, , , , , , , , , , , , , , ,A A A A A A A B A B A B A A A A A B A B A B A A A B A B A 4 2 4 3 1 2 1 3 2 3, , , , ,A B A B A B B B B B B B， 共 21 种结果 其中 2 人都选择 “不同意” 的情况 有1 2 1 3 2 3,B B B B B B， 共 3 种结果 设 2 名女 生中 至少 有一人 选择“同意”为事件 M ， 所求 概率 6( ) 1 7 13 分 （ 18） （本小题满分 14 分） 同意 不同意 合计 女学生 4 3 7 男学生 4 2 6 证明： （ ） 因为平面 平面 平面 面 B ， 又因为 B ， 所以 平面 则 D . 5 分 （ ） 由已知， D，且 所以四边形 平行四边形 ， 又 D ， D ，所以 四边形 正方形， 连接 所以 E ， 又因为 , B C A E B C A E， 所以 四边形 平行四边形 ， 所 以 B ，则 B . 由 （ ） 知 平面 所以 D ， 又因为 B A ， 则 面 且 面 所以平面 面 10 分 （） 在梯形 ， 平行 B， 交于点 M(M 平面 点 M 即为所求的一个点 . 理由如下：由已知， D，且 所以四边形 平行四边形 ， 所以 B ， 即 B ， 又 平面 平面 所以 面 14 分 （ 19） （本小题 满分 14 分） 解：（）依题 意， 直线 l 的方程为 1，由221, 3 3 0 ，得 22 3 0. 设1 1 2 2( , ) ( , )E x y F x y、， 线段 中点为00( , )M x y， 则1232，0 34x ， 00 11 4 1( , )44M . 6 分 C A（） 设直线 l 的方程为 1x ， 由221, 3 3 0x m 得 223 ) 2 2 0m y m y （ ， 显然 mR . 设1 1 2 2( , ) , ( , )E x y F x y,则12 22 3m ,12 2 2 3yy m . 1 1 1 2( 3 , ) , ( 3 , )E y F y. 因为1 2 1 1 2 211( 3 ) ( 3 )22S S x y x y 1 2 1 21 ( 2 ) ( 2 )4 m y m y y y 21 2 1 2 1 21 4 2 ( ) 4 m y y m y y y y 2 2 2222 6 2 22 ( 3 ) 3m m 22236( 3)2 2 233( 3 ) 3 . 因为211(0 , 33m ， 所以 实数 的取值范围 是 2(0, 3. 14 分 20 （本小题 满分 13 分） 解： ( ) 易得， 2( ) 3 3f x x a ，所以 (1) 3 3 ， 依题意， 1( 3 3 ) ( ) 12a ，解得 13a； 3 分 （） 因为 1( ) ( ) 2 2F x x g x x 1(1 l n ) 22x x x 21x x x x ， 则 ( ) l n 1 1F x x x ) t x x x ， 则 1( ) 1 1 . 令 ( ) 0 ，得 1x . 则由 ( ) 0 ，得 01x， ()为增函数； F 1E 1 ) 0 ，得 1x ， ()为减函数； 而2211( ) 2 2 21 0e ， (1) 1 0F . 则 ()在 (0,1) 上有且只有一个零点1x， 且在1(0, ) ) 0 ， () 在1( ,1) ) 0 ， () 所以1时 0m . 又 ( 3 ) 1 0F ， ( 4 ) 2 l n 2 2 0F ， 则 ()在 (3,4) 上有且只有一个零点2x， 且在2(3, ) ) 0 ， ()函数； 在2( ,4) ) 0 ， () 所以2时 3m . 综上 0m 或 3m . 9 分 （） （ 1）当 (0,e)x 时， ( ) 0，依题意， ( ) ( ) 0h x g x，不满足条件； （ 2）当 时， (e) 0g ， 3( e ) e 3 e ， 若 3( e ) e 3 e e 0 ，即 2，则 e 是 ()一个零点； 若 3( e ) e 3 e e 0 ，即 2，则 e 不是 ()零点； （ 3）当 (e, )x 时， ( ) 0，所以此时只需考虑函数 ()e, ) 上零点的情况 2( ) 3 3 3 e 3f x x a a ，所以 当 2时， ( ) 0 ， ()e, ) 上单调递增 . 又 3( e ) e 3 e ，所以 （ i）当 2时， (e) 0f ， ()e, ) 上无零