浅谈高中数学空间想象能力的培养和提高

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 浅谈高中数学空间想象能力的培养 和提高 摘要：空间想象能力主要是指学 生对客观事物的空间形式进行观察、分 析、抽象思考和创新的能力培养和发 展学生的空间想象能力是立体几何教学 中的重点，也是教学中的难点本文结 合空间想象能力的一些具体要求，结合 具体题目从四合方面谈谈空间想象能力 的培养。 中国论文网 /2/view-12897639.htm 关键词：空间想象；能力；培养； 高考 Abstract: the space imagination ability is mainly refers to the students of objective things to the form of the space -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 for observation, analysis, abstract thinking and innovative ability. The training and development of the students ability is solid geometry space imagine the focus of teaching, also is the difficulty in the teaching. This paper space imagination ability of some of the specific requirements, with a specific topic from the sweeping talk about space imagination ability of the students. Keywords: space imagination; Ability; Training; The university entrance exam 中图分类号：G623.5 文献标识码： A 文章编号： 空间想象能力是对空间形式的观 察、分析、抽象的能力，主要表现为识 图，画图和对图形的想象能力。识图是 指观察、研究所给图形中几何元素之间 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 的相互关系；画图是指将文字语言和符 号语言转化为图形语言，以及对图形添 加辅助图形或对图形进行各种变换；对 图形的想象主要包括有图想图和无图想 图两种，是空间想象能力高层次的标志。 考试大纲具体要求如下：能 根据条件作出正确的图形，根据图形想 象出直观形象；能正确的分析出图形中 的基本元素及相互关系；能对图形进行 分解，组合与变换；会运用图形与图表 等手段形象的揭示问题的本质。回顾高 考试卷中有关立体几何的题目，不难发 现命题紧扣要求，从各层面、各角度进 行考查，既有基础知识的落实，更有能 力的体现。在教学中，特别是高考复习 中应抓住方向，选好题目，有效的帮助 学生提高空间想象能力，特别是图形的 想象能力。空间想象能力的培养应包含 如下四个方面： 1 熟悉几何中直线、平面、空间 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 图形的形状结构、性质及关系，准确画 图 例 1.（2011 年高考文科学全国卷 8 题） 已知直二面角 ，点 为垂足， 为垂足，若 则 到平面 的距离等于 （） （A） （B） （C ） （D） 【解析】如图 1，作 于 ，由 为 直二面角， ， 得 平面 ，进而 ,又 , , 于是 平面 ，故 为 到平面 的 距离. 在 中，利用等面积法得，故选 . 【点评】立体几何的小题通常都 不给出图形，因此根据题目的条件快速 准确的作出相应的图形是解题的关键。 本例中，直二面角的作图以及其中点、 线与面之间的关系须非常熟悉，才能顺 利作图分析并解题。因此，在平时的教 学中一定要重视和加强作图训练，特别 是二面角、异面直线、空间四边形等基 本图形。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 2 借助图形反映客观事物或用语 言、式子来表示空间形状及位置关系 例 2、 （2008 年高考文科全国 卷 16 题） 平面内的一个四边形为平行四边 形的充要条件有多个，如两组对边分别 平行，类似地，写出空间中的一个四棱 柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件； 充要条件 （写出你认为正确 的两个充要条件） 【解析】此题的关键是平行六面 体的定义，即底面是平行四边形的四棱 柱，在四棱柱的基础上寻找使得底面是 平行四边形的充要条件即可，因此定义 （“底面是平行四边形 ”）是首选答案， 另外“两组相对侧面分别平行” ；“一组 相对侧面平行且全等” ；“对角线交于一 点”等都可推出底面为平行四边形，且 为充要条件。 【点评】高考题中涉及的几何体 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 通常为正棱柱、正棱锥以及平行六面体， 长方体等，熟悉相关定义及性质是解决 问题的关键点，也是突破点。另外数学 中，符号语言、文字语言以及图形语言 之间的相互转化也是一个重要的考查点， 立体几何可作为一个很好载体，因此在 重视定义、性质教学的同时，也要注意 符号、文字以及图形的教学，特别是相 互之间的联系和转化。 例 3.（北京 2010 年高考理科 8） 如图 2，正方体 的棱长为 ，动点 在棱 上，动点 分别在 上，若 ， ， ， ， 则四面体 的体积（） （A）与 都有关 （B）与 有关， 与 无关 （C ）与 有关，与 无关（D） 与 有关，与 无关 【解析】 , , 而点 到面 的距离为 到面 的距 离，即 所以， ，故选 【点评】本题是我们再熟悉不过 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 的正方体，但渗透了一些“动态” 的点、 线和面，从运动的角度进行考查。新考 纲对空间想象能力的考查提出了“能够 想象几何图形的运动和变化情况”这一 更高的要求，在运动变化中考查学生对 图形中线线、线面、面面位置关系以及 各种数量关系作出准确的分析，判断， 此类考题成为热点，解题的关键点在于 运动过程中的“ 变” 与“不变”量的分析。 因此在教学中在常见几何体基本性质的 基础上，要注重适当的拓展和挖掘，多 从运动变化的角度去分析，设计问题。 3 从复杂图形中区别出基本图形， 分析其基本图形与基本元素之间的相互 关系 题目中出现的几何体并非都是特 殊的棱柱、棱锥，经常是较为复杂，或 不规则的几何体，如何从较复杂的图形 中区别出基本、核心的图形，往往是解 决难度较大的立体几何题的突破口。 例 4.（2011 年高考全国卷文科 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 12)已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与 成 ，二面角的平面 截该球面 得圆 N，若该球的半径为 4，圆 M 的面 积为 4 ，则圆 N 的面积为（） (A) (B)(c)(D) 【解析】如图 3，由圆 的面积为 得 ， ， 在 故选 D 【点评】较复杂的几何体常常与 “球”联系，其图比较难作，难想象，根 据“球”是旋转体，截面（圆）常常是考 虑球问题的突破口，这样立体几何的问 题往往可以转化为平面图形“圆” 的 问题。 例 5.如图 4，四棱锥 中，底面 为梯形， ， ， ， ， ，点 在棱 上， 且 ，求证： ； 【解析】(1), （三垂线定理） 连接 交 于点 ，连接 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 如图 5， 和 都是等腰直角三 角形 设 ，则 （线面平行的性质定理） 如图 2， ， 相似于 ，则 又 ， ，故 【点评】 “立体几何平面化 ”，将 三维的空间图形根据题目的需要抽出二 维的平面图形是解决立体几何问题的重 要方法之一，将基本的平面图形分离出 来后，既可以利用平面几何的定理、性 质解决相关的平行、垂直问题以及一些 量的计算，也可以在向量法中解决某些 点的坐标问题。因此在立体几何的教学 中，应注重基本图形的分析，并对平面 几何的相关知识进行适当的复习。 4 根据集合图形性质，思考构造 （创造）出合乎一定条件，性质的几何 图形 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 例 6.三棱锥 中， ， ， ， ， 则三棱锥 的外接球的表面积为（ ） （A） （B） （C ） （D） 【解析】根据题目的条件，可补 成如图所示的长方体 ， 即三棱锥 可视为长方体 的一部 分，则长方体 的外接球即为三棱锥 的外接球 由长方体的性质易知， ，从而， ，故选 【点评】此解法用补形的思想构 造了一个长方体，将球中三棱锥的问题 转化为球中长方体的问题，使得问题解 决简单化。我们解决问题一般是由复杂 到简单，但有时根据题目的需要也会将 图形“复杂化 ”，在原有图形的基础上补 成更便于考虑的图形，这对空间想象能 力有着更高的要求，再来看一个关于球 的问题。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 例 7.已知在 的球内，两条异面 垂直的直线分别被球面解得线段 ，若 ，且 ，当 得公垂线段取得最大值时， 则 （） （A） （B） （C ） （D） 【解析】如图 7， 可看做圆柱的 母线（可动） ， 为底面圆中长度为 1 的弦，过 作 于 ， 可知 为 得公垂线段，要使 取 得最大值， 将底面圆分离出来分析， 由平面几何知识可知，当 为 中 点， 且 三点共线时， 最大 此时， ，故选 【点评】此题对空间想象能力要 求就更高了，线段 和 可在保证长度为 1 的前提条件下“ 动” ，其位置不确定， 但根据