2017年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

2017 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1 i 为虚数单位，若复数（ 1+ i+2）是纯虚数，则实数 m=（ ） A 1 B 1 C D 2 2已知 A=1， + ）， ，若 A B ，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1， + ） B C D（ 1， + ） 3已知变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x 2y 的最小值为（ ） A 1 B 1 C 3 D 7 4若 输入 n=4，执行如图所示的程序框图，输出的 s=（ ） A 10 B 16 C 20 D 35 5若中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线离心率为 ，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A y= x B C D 6等差数列 前 n 项和为 ， ，则 ） A B 0 C 10 D 15 7一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C 28 D 8对函数 f（ x），如果存在 0 使得 f（ = f（ 则称（ f（ 与（ f（ 为函数图象的一组奇对称点若 f（ x） =a（ e 为自然数的底数）存在奇对称点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ 1， + ） C（ e， + ） D 1， + ） 9若平面 截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面 平行的棱有（ ） A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 1 条或 2 条 10已知 5 件产品中有 2 件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为 ，则 ） A 3 B C D 4 11锐角 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足（ a b）（ （ c b） ，则 b2+取值范围是（ ） A（ 5， 6 B（ 3， 5） C（ 3， 6 D 5， 6 12已知函数 f（ x） =e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数 ） A B（ 0， e） C D（ ， e） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13等比数列 足 0，且 ，则 + 14不共线向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为 15在 的展开式中，常数项为 16已知关于 x 的方程（ t+1） t+2 在（ 0， ）上有实根则实数 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知 ， ，函数 f（ x） = （ ）求函数 y=f（ x）图象的对称轴方程； （ ）若方程 f（ x） = 在（ 0， ）上的解为 值 18某校计划面 向高一年级 1200 名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了 180 名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有 105 人在这 180 名学生中选择社会科学类的男生、女生均为 45 人 （ ）分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生数； （ ）根据抽取的 180 名学生的调查结果，完成下列列联表并判断能否在犯错误的概率不超过 前提下认为科类的选择与性别有关？ 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 女生 合计 附： ，其中 n=a+b+c+d P（ 0 9如图 1，矩形 ， ， ，点 E 为 点，沿 图 2 所示，点 P 在 面 射影 O 落在 （ ）求证： （ ）求二面角 B D 的余弦值 20如图，抛物线 E： p 0）与圆 O： x2+ 相交于 A， B 两点，且点A 的横坐标为 2过劣弧 动点 P（ 圆 O 的切线交抛物线 E 于 C，D 两点，分别以 C， D 为切点作抛物线 E 的切线 交于点 M （ ）求 p 的值； （ ）求动点 M 的轨迹方程 21已知 f（ x） =x+m） （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）设 m 1， 函数 f（ x）的两个 零点，求证： x1+0 选修 4标系与参数方程 22在直角坐标系 ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 =4 （ 1）求出圆 C 的直角坐标方程； （ 2）已知圆 C 与 x 轴相交于 A， B 两点，直线 l： y=2x 关于点 M（ 0， m）（ m 0）对称的直线为 l若直线 l上存在点 P 使得 0，求实数 m 的最大值 选修 4等式选讲 23已知函数 （ 1）求函数 f（ x）的定义域； （ 2）若当 x 0， 1时，不等式 f（ x） 1 恒成 立，求实数 a 的取值范围 2017 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1 i 为虚数单位，若复数（ 1+ i+2）是纯虚数，则实数 m=（ ） A 1 B 1 C D 2 【考点】 复数的基本概念 【分析】 先求出（ 1+ i+2） =2 m+（ 2m+1） i，再由复数（ 1+ i+2）是纯虚数，能求出实数 m 【解答】 解： i 为虚数单位， （ 1+ i+2） =2 m+（ 2m+1） i， 复数（ 1+ i+2）是纯虚数， ， 实数 m=2 故选： D 2已知 A=1， + ）， ，若 A B ，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1， + ） B C D（ 1， + ） 【考点】 交集及其运算 【分析】 根据 A 与 B 的交集不为空集，求出 a 的范围即可 【解答】 解： A=1， + ）， ，且 A B ， 2a 1 1， a 1， 故选： A 3已知变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x 2y 的最小值为（ ） A 1 B 1 C 3 D 7 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：画出不等式组件 ，表示的可行域，由图可知， 当直线 y= x ，过 A 点（ 3， 1）时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值为 3 2 1=1 故选： B 4若输入 n=4，执行如图所示的程序框图，输出的 s=（ ） A 10 B 16 C 20 D 35 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S， i 的值，当 i=5 时不满足条件 i n，退出循环，输出 S 的值 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 S=4， i=2， 满足条件 i=2 4， S=10， i=3， 满足条件 i=3 4， S=16， i=4， 满足条件 i=4 4， S=20， i=5 不满足条件 i=5 5，输出 S=20， 故选： C 5若中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线离心率为 ，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A y= x B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据题意，由双曲线的离心率可得 c= a，进而结合双曲线的几何性质可 得 b= a，再结合焦点在 y 轴上的双曲线的渐近线方程可得答案 【解答】 解：根据题意，该双曲线的离心率为 ，即 e= = ， 则有 c= a， 进而 b= = a， 又由该双曲线的焦点在 y 轴上，则其渐近线方程为 y= x； 故选： B 6等差数列 前 n 项和为 ， ，则 ） A B 0 C 10 D 15 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列前 n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出值 【解答】 解： 等差数列 前 n 项和为 ， ， ， 解得 ， d= 1， 0 3+ = 15 故选： D 7一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C 28 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由题意，几何体为棱台，上底面为直角边长为 2 的等腰直角三角形，下底面为直角边长为 4 的等腰直角三角形，高为 2，即可求出体积 【解答】 解：由题意，几何体为棱台，上底面为直角边长为 2 的等腰直角三角形，下 底 面 为 直 角 边 长 为 4 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 高 为 2 ， 体 积 为= ， 故选 A 8对函数 f（ x），如果存在 0 使得 f（ = f（ 则称（ f（ 与（ f（ 为函数图象的一组奇对称点若 f（ x） =a（ e 为自然数的底数）存在奇对称点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ 1， + ） C（ e， + ） D 1， + ） 【考点】 函数与方程的综合运用 【分析】 由方程 f（ x） = f（ x）有非零解可得 2=0 有非零解，令 ex=t，则关于 t 的方程 2=0 有不等于 1 的正数解，利用二次函数的性质 列出不等式组解出 a 的范围 【解答】 解： f（ x） =a 存在奇对称点， f（ x） = f（ x）有非零解， 即 a=a e x 有非零解， 2=0 有非零解 设 ex=t，则关于 t 的方程 2=0 在（ 0， 1） （ 1， + ）上有解； ，解得 a 1 若 t=1 为方程 2=0 的解，则 2 2a=0，即 a=1，此时方程只有一解 t=1，不符合题意； a 1 综上， a 1 故选 B 9若平面 截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面 平行的棱有（ ） A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 1 条或 2 条 【考点】 直线与平面平行的判定 【分析】 利用已知条件，通过直线与平面平行的性质、判定定理，证明 平面 平面 到结果 【解答】 解：如图所示，四边形 平行四边形，则 面 面 平面 面 面 平面 D， 平面 同理 平面 故选 C 10已知 5 件产品中有 2 件次品，现逐一检测，直至能确定所有次 品为止，记检测的次数为 ，则 ） A 3 B C D 4 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 【分析】 由题意知 的可能取值为 2， 3， 4，分别求出相应的概率，由此能求出 【解答】 解：由题意知 的可能取值为 2， 3， 4， P（ =2） = = ， P（ =3） =（ ） = ， P（ =4） =1 P（ =2） P（ =3） =1 = ， = 故选： C 11锐角 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足（ a b）（ （ c b） 若 ，则 b2+取值范围是（ ） A（ 5， 6 B（ 3， 5） C（ 3， 6 D 5， 6 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 由已知利用正弦定理可得 b2+a2=利用余弦定理可得 而可求 A，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得 b2+22B ），利用 B 的范围，可求 2B 的范围，利用正弦函数的图象和性质可求其范围 【解答】 解： （ a b）（ =（ c b） 正弦定理可得：（ a b）（ a+b） =（ c b） c，化为 b2+a2= 由余弦定理可得： = = ， A 为锐角，可得 A= ， ， 由正弦定理可得： ， 可得： b2+ 22+2 B） 2=3+2+22B ）， B （ ， ），可得： 2B （ ， ）， 2B ） （ ， 1，可得： b2+22B ） （ 5， 6 故选： A 12已知函数 f（ x） =e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数 ） A B（ 0， e） C D（ ， e） 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 求出函数的导数，问题转化为 y=a 和 g（ x） = 在（ 0， + ） 2 个交点，根据函数的单调性求出 g（ x）的范围，从而求出 a 的范围即可 【解答】 解： f（ x） =， 若函数 f（ x） =两个极值点， 则 y=a 和 g（ x） = 在（ 0， + ）有 2 个交点， g（ x） = ，（ x 0）， 令 h（ x） = 1，则 h（ x） = 0， h（ x）在（ 0， + ）递减，而 h（ 1） =0， 故 x （ 0， 1）时， h（ x） 0，即 g（ x） 0， g（ x）递增， x （ 1， + ）时， h（ x） 0，即 g（ x） 0， g（ x）递减， 故 g（ x） g（ 1） = ， 而 x0 时， g（ x） ， x + 时， g（ x） 0 ， 若 y=a 和 g（ x）在（ 0， + ）有 2 个交点， 只需 0 a ， 故选： A 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13等比数列 足 0，且 ，则 +9 【考点】 数列的求和 【分析】 根 据题意，由等比数列 性质可得 a1a9=a2a8=a3a7=a4a6=，同时可得 ，再利用对数的运算法则有 +a1a 9）=29），计算即可得答案 【解答】 解 ： 根 据 题 意 ， 等 比 数 列 的 各 项 都 是 正 数 ，a1a9=a2a8=a3a7=a4a6=， 则 ， 则 +a1a 9） =29） =9， 故答案为： 9 14不共线向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 【分析】 设 与 的夹角为 ，利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，求得 得 的值 【解答】 解：设 与 的夹角为 ， 不共线向量 ， 满足 ，且 ，则 （ 0， ）， （ 2 ） = 2 = 2| | | 2 ， ， = ， 故答案为： 15在 的展开式中，常数项为 5 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 的展开式中的通项公式 ： = （ 1） 4 r （ r=0， 1，2， 3， 4） 的通项公式： = =（ 1） k 2k，令 r 2k=0，即 r=2k进而得出 【解答】 解： 的展开式中的通项公式： = （ 1） 4 r （ r=0，1， 2， 3， 4） 的通项公式： = =（ 1） k 2k， 令 r 2k=0，即 r=2k r=0， k=0； r=2， k=1； r=4， k=2 常数项 =1 + 1= 5 故答案为： 5 16已知关于 x 的方程（ t+1） t+2 在（ 0， ）上有实根则实数 1 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 分离参数可得 t= ，利用导数判断右侧函数的单调性求出最大值即可 【解答】 解： （ t+1） t+2， t= ， 令 f（ x） = ， 则 f（ x） = = ， 令 g（ x） =1，则 g（ x） =2 当 x=， g（ x） =0，当 0 x ， g（ x） 0，当 x 时， g（ x） 0， g（ x）在（ 0， 上单调 递增，在（ ）上单调递减， 又 g（ 0） =1， g（ ） = 3， g（ x）在（ 0， ）上只有一个零点，又 g（ ） =0， 当 0 x 时， g（ x） 0，当 x 时， g（ x） 0， 当 0 x 时， f（ x） 0，当 x 时， f（ x） 0 f（ x）在（ 0， ）上单调递增，在（ ， 0）上单调递减， 当 x= 时， f（ x）取得最大值 f（ ） = 1 t 的最大值为 1 故答案为 1 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知 ， ，函数 f（ x） = （ ）求函数 y=f（ x）图象的对称轴方程； （ ）若方程 f（ x） = 在（ 0， ）上的解为 值 【考点】 两角和与差的余弦函数；平面向量数量积的运算 【分析】 （ ）由已知利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式为 f（ x） =2x ），利用正弦函数的对称性即可得解 （ ）由条件知 ，且，可求 ，利用诱导公式即可化简求值得解 【解答】 解：（ ） = ， 令 ，得 ， 即 y=f（ x）的对称轴方程为 ，（ k Z） （ ）由条件知 ，且， 易知（ f（ 与（ f（ 关于 对称，则 ， 18某校计划面向高一年级 1200 名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了 180 名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有 105 人在这 180 名学生中选择社会科学类的男生、女生均为 45 人 （ ）分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生数； （ ）根据抽取的 180 名学 生的调查结果，完成下列列联表并判断能否在犯错误的概率不超过 前提下认为科类的选择与性别有关？ 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合计 90 90 180 附： ，其中 n=a+b+c+d P（ 0 考点】 独立性检验 【分析】 （ ）计算抽取的男生与女生人数，根据分层抽样原理求出对应男生、女生人数； （ ）根据统计数据，填写列联表，计算观测值，比较临界值得出结论 【解答】 解：（ ）由条件知，抽取的男生为 105 人，女生为 180 105=75 人； 男生选择社会科学类的频率为 ，女生选择社会科学类的频率为 ； 由题意，男生总数为 人， 女生总数为 人， 所以，估计选择社会科学的人数为 人； （ ）根据统计数据，可得列联表如下： 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合计 90 90 180 计算观测值 ， 所以，在犯错误的概率不超过 前提下认为科类的选择与性别有关 19如图 1，矩形 ， ， ，点 E 为 点，沿 图 2 所示，点 P 在面 射影 O 落在 （ ）求证： （ ）求二面角 B D 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ ）点 P 在平面 射影 O 落在 ，证明 平面 出 （ ）以 O 为坐标原点，以过点 O 且平行于 直线为 x 轴，过点 O 且平行于 直线为 y 轴，直线 z 轴，建立如图所示直角坐标系求出平面 面 法向量利用空间向量的数量积求解二面角 B D 的余弦值即可 【解答】 解：（ ）由条件，点 P 在平面 射影 O 落在 ， 平面 平面 知 平面 面 （ ）以 O 为坐标原点，以过点 O 且平行于 直线为 x 轴，过点 O 且平行于 直线 为 y 轴，直线 z 轴，建立如图所示直角坐标系 则 ， ， ， 设平面 法向量为 则 ，即 ，令 ，可得 设平面 法向量为 则 ，即 ，令 ，可得 考虑到二面角 B D 为钝二面角，则二面角 B D 的余弦值为 20如图，抛物线 E： p 0）与圆 O： x2+ 相交于 A， B 两点，且点A 的横坐标为 2过劣弧 动点 P（ 圆 O 的切线交抛物线 E 于 C，D 两点，分别以 C， D 为切点作抛物线 E 的切线 交于点 M （ ）求 p 的值 ； （ ）求动点 M 的轨迹方程 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程 【分析】 （ ）由点 A 的横坐标为 2，可得点 A 的坐标为（ 2， 2），代入 p （ ）设 ， ， 0， 0切线 ，代入 x，求出 ，得到 程为 ，同理 程为 ，联立直线方程组，求出 M，利用 程为 ，联立方程 利用韦达定理，代入 可知 M（ x， y）满足 ，求出动点 M 的轨迹方程 【解答】 解：（ ）由点 A 的横坐标为 2，可得点 A 的坐标为（ 2， 2）， 代入 得 p=1， （ ）设 ， ， 0， 0 切线 ， 代入 x 得 ，由 =0 解得 ， 程为 ，同理 程为 ， 联立 ，解得 ， 程为 ，其中 足 ， ， 联立方程 得 ，则 ， 代入 可知 M（ x， y）满足 ， 代入 得 ， 考虑到 ，知 动点 M 的轨迹方程为 ， 21已知 f（ x） =x+m） （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）设 m 1， 函数 f（ x）的两个零点，求证： x1+0 【考点】 利用导数研究函数的单调 性；函数零点的判定定理 【分析】 （ ）求出函数的导数，通过讨论 m 的范围，求出函数的单调区间即可； （ ）构造函数 g（ x） =x， g（ x） =x 与 y=m 图象两交点的横坐标为 问 题 转 化 为 证 明 令，根据函数的单调性证明即可 【解答】 解：（ ） f（ x） =x+m） ， 当 m 0 时， ， 即 f（ x）的单调递增区间为（ m， + ），无减区间； 当 m 0 时， ， 由 f（ x） =0，得 ， 时， f（ x） 0， 时， f（ x） 0， m 0 时，易知 f（ x）的单调递增区间 为 ，单调递减区间为， （ ）由（ ）知 f（ x）的单调递增区间为 ，单调递减区间为 不妨设 m 条件知 ，即 ， 构造函数 g（ x） =x， g（ x） =x 与 y=m 图象两交点的横坐标为 由 g（ x） =1=0 可得 ， 而 m 1）， 知 g（ x） =x 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 可知 欲证 x1+0，