有形数学 无形素养

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 有形数学 无形素养 课标（2011 年版） 中指出： “几何直观主要指利用图形描述和分析 问题。借助几何直观可以把复杂的数学 问题变得简明、形象，有助于探索解决 问题的思路，预测结果。 ”这段话将几何 直观的两种主要表现做了精炼的概括， 简明概括了几何直观的含义。可以说， 这是目前理解几何直观最重要的依据。 中国论文网 /1/view-13044071.htm 借助几何直观培养数学思维 思维是数学能力之“核” ，也是核 心素养之“魂 ”。无论过去、现在、未来， 数学课堂都应该基于思维“教” ，围绕思 维”学”。笔者就以“三角形的三边关系” 这节课和大家来探讨和交流。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 1.由表及里 教材中的例 4 提供了 4 组固定长 度的纸条，目的是让学生在用纸条围三 角形的过程中发现和归纳三角形三边的 关系。教学时，我改变了操作材料。 给每位学生准备 1 根吸管，三角 形有三条边，就把它剪成三段。无论怎 样剪，三段吸管的长度关系无外乎三种 情况：a+bc 和 a+b=c。研究三角形的三 边关系应该从哪几种情况分别去研究呢？ 其实就是这三种情况。 虽然三角形的“ 边”与“形”之间的 关联具有隐蔽性，但在剪、围、看的活 动中，学生们初步感受到“边的长短” 会 直接影响“三角形 ”的形成，从而引发了 对三边关系的猜测，由直观的表象引向 深入的思维。 2.由浅入深 受材料和操作误差的影响，课堂 往往会“卡”在“两段的长度之和等于第 三段”时能否围成三角形这个问题上。 借助课件把三段吸管抽象成三条线段， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 让 a+b=c。这样的三条线段能围成三角 形吗？ 根据经验，必须将这两根较短的 线段的一个端点重合，形成相应的角才 行。借助动态演示，学生们发现 a 和 b 的两个端点无法重合，一下子就理解了 a+b=c 时三条线段是不能围成三角形的。 那怎样的三条线段能围成三角形呢？继 续借助直观图展开想象，只要将 a 或 b 延长那么一点点就行了。这为后面推理 归纳出“任意两边之和大于第三边” 积累 了丰厚的直观经验。 借助几何直观让学生多了不断逼 近数学本质的思索，多了理性精神的深 度体验，让数学思维走向更远。 借助几何直观渗透数学思想 抽象、推理和模型是三种基本的 数学思想。 1.抽象 抽象是把外部的数量与数量关系、 图形与图形关系引到数学内部。 “集合思 想”的源头就是 “抽象思想 ”。图形语言 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 所特有的简洁性、直观性使学生的思维 以一种更直观、更精确的形式展现出来。 2.推理 我们强调几何直观的重要性，因 为数字与图形相比，图形更容易建立起 直观。但在数学的证明过程中，图形只 能用来帮助论证，而不能代替论证。在 小学阶段归纳推理的应用非常多，但还 有许多尚待发掘的演绎推理。归纳和演 绎切不可绝对化，应尽量地让它们相辅 相成。 3.模型 通俗说，数学模型是用数学的语 言讲述现实世界的故事，它更侧重于描 述现实世界中规律性的东西。 植树问 题研究的是非封闭或封闭路线上的点 与段的关系，透过实际问题的种种变化， 从数学的视角加以分类，点与段的关系 无非是相等或加 1、减 1 三种情况。 数学教学要用数学的眼光超越情 境，提炼出数学模型，以适应广泛应用 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 的需要。以下就是三种植树类型分别对 应的关系模型、式模型和形模型。我们 来看形模型，点和段在一一对应中直观 地解释棵数与段数的关系。 抽象，从现实进入数学，形成数 学研究的对象；推理，让归纳和演绎相 辅相成，促进数学内部的发展；模型， 使数学回归现实，构建起数学与外部世 界的桥梁。借助几何直观让学生浸润于 数学思想之中，从而凸显数学思想所承 载的独特的、鲜明的学科育人价值。 借助几何直观提升数学素养 数学素养是通过数学学习建立起 来的思想、方法，以及用数学的思想方 法处理和解决问题的能力。 1.变生涩抽象为具体直观 在“抽屉原理 ”中，怎样帮助学生 理解模型中词语表达的含义一直是教师 们困惑的地方。可尝试用反证法从结论 入手，结合操作、画图来帮助学生理解 这些词语的数学意义，从而进一步地理 解“抽屉原理 ”的本质。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 先分别出示 4 种放法，逐一分析 后发现零。 六年级上册数学广角数与 形中的例 2 是一个无穷递缩等比数列 的求和问题，对学生来说非常抽象。 结合分数的意义，学生用圆、线 段、正方形等基本几何图形直观地描述 出了算式的内容，但感到困惑的是从图 中还是无法确定算式的结果。 虽然没有看出答案，但借助直观 图已经看出了图形的变化趋势，隐隐约 约地感觉该算式的结果应该与“1”有关。 接下来借助图形展开想象，如果无限地 加下去，空白部分就越来越小，和就越 来越接近于 1，当加数个数无限多时， 颜色将整个图形涂满，和就是 1。 当面对无限的算式感到迷茫时， 可以基于经验自主构图展开研究；当图 形无法直接解决问题时，可以借助图形 展开想象，从变化趋势中推想出无限的 结果。 聚焦“ 几何直观” ，面对图形时应 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 该不只去问：“ 你看到了什么？ ”更重要 的是“你思考了什么？联想到了什么？ 想象到了什么？发