2017年山西省临汾市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

2017 年山西省临汾市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A=0， 1， 2， 3， B=x|0，则 A B=（ ） A 0， 1， 2， 3 B 1， 2， 3 C 2， 3 D 3 2设复数 z= ，则 z =（ ） A 1+i B 1 i C 1 D 2 3曲线 y= x= 处切线倾斜角的大小是（ ） A 0 B C D 4已知函数 f（ x） = ，则 y=f（ x）的大致图象为 （ ） A B C D 5已知方程 =1 表示椭圆，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ 2， + ） C（ ， ） （ 1， + ） D（ 2， ） （ ， 1） 6已知函数 f（ x） = ，则 f（ f（ 2） =（ ） A 2 B 2 C D 7设 D、 E、 F 分别为 边 中点，则 + + =（ ） A B C D 8如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中曲线部分 是圆弧，则此几何体的表面积为（ ） A 2+4 +3 B 2+4 +5 C 10+ D 20+2 9已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 x 上，则这个等边三角形的边长为（ ） A 6 B C 6 D 12 10已知点 A、 B 在半径为 的球 O 表面上运动，且 ，过 相互垂直的平面 、 ，若平面 、 截球 O 所得的截面分别为圆 M、 N，则（ ） A 度的最小值是 2 B 长度是定值 C圆 M 面积的最小值是 2 D圆 M、 N 的面积和是定值 8 11已知函数 f（ x） = x= 时函数 y=f（ x）取得最小值，则=（ ） A 3 B 3 C D 12已知函数 f（ x） =3，若 f（ a）、 f（ a）、 f（ 3a）成公差不为 0 的等差数列，则过坐标原点作曲线 y=f（ x）的切线可以作（ ） A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 3 条 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设 x、 y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是 14近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为 a 元 /斤、 斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买 3 斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买 10 元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为实惠） （在横线上填甲或乙即可） 15图 1 是随机抽取的 15 户居民月均用水量（单位： t）的茎叶图，月均用水量依次记为 2 是统计茎叶图中月均用水量在一定范围内的频数的一个程序框图，那么输出的结果 n= 16在 ， 0， ， ，若点 D、 E 都在边 ，且 5，则 = 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知数列 前 n 项和为 对任意正整数 n，都有 3 成立 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 bn=数列 前 n 项和 18空气质量问题，全民关注，有需求就有研究，某科研团队根据工地常用高压水枪除尘原理，制造了雾霾神器雾炮，虽然雾炮不能彻底解决问题，但是能在一定程度上起到防霾、降尘的作用，经过 100 次测试得到雾炮降尘率的频数分布表： 降尘率（ %）分组 0， 5） 5， 10） 10， 15） 15， 20） 20， 25） 25， 30） 30， 35 频数 10 15 10 25 20 15 5 （ 1）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图； （ 2）估计雾炮降尘率的平均数； （ 3）若降尘率达到 18%以上，则认定雾炮除尘有效，根据以上数据估计雾炮除尘有效的概率 19如图，在正四棱锥 P ， ， ， E 是棱 的点，过 B、 于 M、 N 两点，且 = = （ 1）若 =，试猜想 的值，并证明猜想结果； （ 2）求四棱锥 P 体积 20在平面直角坐标系 ，双曲线 E： （ a 0）的左右焦点分别为心率为 ，且经过右焦点 直线 l 与双曲线的右支交于 A、 B 两点 （ 1）求双曲线 E 的方程； （ 2）求 面积的取值范围 21已知函数 f（ x） =， a R （ 1）若 f（ x）的最小值为 0，求实数 a 的值； （ 2）证明：当 a=2 时， f（ x） f（ x）在 x 1， 2上恒成立，其中 f（ x）表示f（ x）的导函数 请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答【选修 4标系与参数方程】 22在直角坐标系 ，过点 P（ 2， 1）的直线 l 的参数方程为 （ 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 知直线 l 与曲线 C 交于 A、 B 两点 （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）求 |值 【选修 4等式选讲】 23已知函数 f（ x） =|x+2a|+|x 1|， a R （ 1）当 a=1 时，解不等式 f（ x） 5； （ 2）若 f（ x） 2 对于 x R 恒成立，求实数 a 的取值范围 2017 年山西省临汾市高考数学 二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A=0， 1， 2， 3， B=x|0，则 A B=（ ） A 0， 1， 2， 3 B 1， 2， 3 C 2， 3 D 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 求定义域得集合 B，根据交集的定义写出 A B 【解答】 解：集合 A=0， 1， 2， 3， B=x|0=x|x 1， 则 A B=2， 3 故选： C 2设复数 z= ，则 z =（ ） A 1+i B 1 i C 1 D 2 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由 求解 【解答】 解： z= = ， z =|z|2=1 故选： C 3曲线 y= x= 处切线倾斜角的大小是（ ） A 0 B C D 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出函数的导数，求出导数值，然后求解切线的倾斜角 【解答】 解：曲线 y=得 y= 曲线 y= x= 处切线的斜率为： 0 曲线 y= x= 处切线倾斜角的大小是： 0 故选： A 4已知函数 f（ x） = ，则 y=f（ x）的大致图象为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 化简解析式，利用函数的单调性，判断函数的图象即可 【解答】 解：函数 f（ x） = =1 ，因为函数 y=增函数，所以函数 f（ x） = ，是增函数， 可知函数的图象只有 B 满足题意 故选： B 5已知方程 =1 表示椭圆，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ 2， + ） C（ ， ） （ 1， + ） D（ 2， ） （ ， 1） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 求得椭圆的标准方程，分别讨论焦点的位置即可求得实数 m 的取值范围 【解答】 解：由 =1 转化成标准方程： ， 假设焦点在 x 轴上，则 2+m （ m+1） 0， 解得： m 1， 当焦点在 y 轴上，则（ m+1） 2+m 0， 解得： 2 m ， 综上可知： m 的取值范围（ 2， ） （ ， 1）， 故选： D 6已知函数 f（ x） = ，则 f（ f（ 2） =（ ） A 2 B 2 C D 【考点 】 函数的值 【分析】 先求出 f（ 2） =（ ） 2=4，从而 f（ f（ 2） =f（ 4），由此能求出结果 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， f（ 2） =（ ） 2=4， f（ f（ 2） =f（ 4） = 故选： A 7设 D、 E、 F 分别为 边 中点，则 + + =（ ） A B C D 【考点】 向量的加法及其几何意义 【分析】 根据向量的三角形法则即可求出答案 【解答】 解：因为 D、 E、 F 分别为 三边 中点， 所 以 + + = （ + ） + （ + ） + （ + ） = （ + ） + （ + ） + （ + ） = ， 故选： D 8如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中曲线部分是圆弧，则此几何体的表面积为（ ） A 2+4 +3 B 2+4 +5 C 10+ D 20+2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由题意，几何体的直观图是半圆柱与三棱柱的组合体，即可求出几何体的表面积 【解答】 解：由题意，几何体的直观图是半圆柱与三棱柱的组合体，几何体的表面积为 + +2 =2+4 +3， 故选 A 9已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 x 上，则这个等边三角形的边长为（ ） A 6 B C 6 D 12 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设另外两个顶点的坐标分别为 （ ， m），（ ， m），由图形的对称性可以得到方程 ，解此方程得到 m 的值然后求解三角形的边长 【解答】 解：由题意，依据抛物线的对称性，及正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 x 上，可设另外两个顶点的坐标分别为（ ， m），（ ， m）， 由图形的对称性可以得到方程 = ， 解得 m=6，故这个正三角形的边长为 2m=12， 故选： D 10已知点 A、 B 在半径为 的球 O 表面上运动，且 ，过 相互垂直的平面 、 ，若平面 、 截球 O 所得的截面分别为圆 M、 N，则（ ） A 度的最小值是 2 B 长度是定值 C圆 M 面积的最小值是 2 D圆 M、 N 的面积和是定值 8 【考点】 平面的基本性质及推论 【分析】 作出图象，求出 可得出结论 【解答】 解：如图所示，过 相互垂直的平面 、 ，则 =12， ， M， N 分别是 中点， 长度是定值 ， 故选 B 11已知函数 f（ x） = x= 时函数 y=f（ x）取得最小值，则=（ ） A 3 B 3 C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 将函数 f（ x） =解求最小值时 的值，带入化解可得答案 【解答】 解：函数 f（ x） = 2x ） ， 当 x= 时函数 y=f（ x）取得最小值，即 2 = ， 那么： 2=2 则 = = = 故选 C 12已知函数 f（ x） =3，若 f（ a）、 f（ a）、 f（ 3a）成公差不为 0 的等差数列，则过坐标原点作曲线 y=f（ x）的切线可以作（ ） A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 3 条 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 先求出 a，再分类讨论，求出切线的条数 【解答】 解： f（ a）、 f（ a）、 f（ 3a）成公差不为 0 的等差数列， 2f（ a） =f（ a） +f（ 3a）， 代入化 简可得 ， a 0， a= 1， a= 1，函数 f（ x） = 3， 设切点 A（ f（ x） = 36x， 切线斜率为 36切线过原点， 又 切点 A（ f（ x） = 3 的图象上， 3 由 得： 2=0，方程有唯一解； a=1，函数 f（ x） =3， 设切点 A（ f（ x） =36x， 切线斜率为 36切线过原点， 3 又 切点 A（ f（ x） =3 的图象上， y0=3 由 得： 231=0，方程有唯一解； 故选 C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设 x、 y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值是 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，令 t=x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入求得 t 的最小值，则 z=2x+y 的最小值可求 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 令 t=x+y，化为 y= x+t，由图可知，当直线 y= x+t 过 A（ 0， 2）时，直线在y 轴上的截距最小， t 有最小值为 2 z=2x+y 的最小值是 故答案为： 14近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为 a 元 /斤、 斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买 3 斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买 10 元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为实惠） 乙 （在横线上填甲或乙即可） 【考点】 函数模型的选择与应用 【分析】 甲 2 次购 买的数量相同，平均单价为两次单价和的一半；乙购买产品的平均单价 =2 次总价 2 次的总数量 【解答】 解：甲购买产品的平均单价为： = ， 乙购买产品的平均单价为： = ， = 0， 又 两次购买的单价不同， a b， 0， 乙的购买方式的平均单价较小 故答案为乙 15图 1 是随机抽取的 15 户居民月均用水量（单位： t）的茎叶图，月均用水量依次记为 2 是统计茎叶图中月均用水量在一定范围内的频数的一个程序框图，那么输出的结果 n= 8 【考点】 程序框图 【分析】 算法的功能是计算 15 户居民在月均用水量中，大于 户数，根据茎叶图可得月均用水量的户数，求出 n 的值 【解答】 解：由程序框图知：算法的功能是计算 15 户居民在月均用水量中，大于 户数， 由茎叶图得，在 15 户居民用水中中，大于 户数有 8 户， 输出 n 的值为 8 故答案为： 8 16在 ， 0， ， ，若点 D、 E 都在边 ，且 5，则 = 【考点】 三角形中的几何计算 【分析】 根 据 条 件 便 可 由 正 弦 定 理 分 别 得 到 = = = = ，而 DA=而 得： 的值 【解答】 解：如图，由正弦定理得， = = = = 得： = 故答案为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知数列 前 n 项和为 对任意正整数 n，都有 3 成立 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 bn=数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）根据数列的递推公式即 可求出数列 等比数列， （ 2）根据对数的运算性质可得 bn=n， 【解答】 解：（ 1）在 3 中令 n=1 得 ， 当 n 2 时， 3 ， 31=21+3 ， 得 1， 数列 以 3 为首项，公比为 3 的等比数列， n， （ 2） bn=n， 数列 前 n 项和 +2+3+n= 18空气质量问题，全民关注，有需求就有研究，某科研团队根据工地常用高压水枪除尘原理，制造了雾霾神器雾炮，虽然雾炮不能 彻底解决问题，但是能在一定程度上起到防霾、降尘的作用，经过 100 次测试得到雾炮降尘率的频数分布表： 降尘率 0， 5） 5， 10） 10， 15） 15， 20） 20， 25） 25， 30） 30， 35 （ %）分组 频数 10 15 10 25 20 15 5 （ 1）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图； （ 2）估计雾炮降尘率的平均数； （ 3）若降尘率达到 18%以上，则认定雾炮除尘有效，根据以上数据估计雾炮除尘有效的概率 【考点】 频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ 1）绘制频率分步直方图即可， （ 2）利用平均值的意义即可得出； （ 3）利用频率来估计概率即可 【解答】 解：（ 1）其频率依次为 对应的小长方形的高分别为为 则频率分布直方图如图所示： （ 2）雾炮降尘率的平均数： （ 3）因为第 4 组为 15， 20），且频数为 25，故大于等于 18 小于 20 的频率大约为 故降尘率达到 18%以上的频率为 故可以用频率来估计概率，雾炮除尘有效的概率： 19如图，在正四棱锥 P ， ， ， E 是棱 的点，过 B、 于 M、 N 两点，且 = = （ 1）若 =，试猜想 的值，并证明猜想结果； （ 2）求四棱锥 P 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 （ 1）由题意建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，利用平面向量基本定理证明 的值为 ； （ 2）由已知求出三角形 面积，再由等积法求得四棱锥 P 体积 【解答】 解：（ 1）猜想 的值为 证明如下： 连结 于点 O，连结 在正四棱锥 P ， ， ， E 是棱 的点， 平面 B=D= ， =2， 以 O 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（ ， 0， 0）， B（ 0， ， 0）， C（ ， 0， 0）， D（ 0， ， 0）， P（ 0，0， 2）， 过 平面分别与棱 于 M、 N 两点，且 = = ， M（ 0， ， ）， N（ 0， ， ），设 E（ a， b， c）， ， 则（ a， b， c 2） =（ ， 0， 2）， ， b=0， c=2 2， E（ ， 0， 2 2）， =（ ， 0， 2 2）， ， ， 由 ，得（ ， 0， 2 2） =（ ， ，）， 解得 （ 2）在 ， C= ， ， ，则 S ， ， 20在平面直角坐标系 ，双曲线 E： （ a 0）的左右焦点分别为心率为 ，且经过右焦点 直线 l 与双曲线的右支交于 A、 B 两点 （ 1）求双曲线 E 的方程； （ 2）求 面积的取值范围 【考点】 直线与双曲线的位置关系 【分析】 （ 1）利用双曲线 E： （ a 0）的离心率为 ，求双曲线 E 的方程； （ 2）设直线方程为 x=（ m 0），代入 ，整理可得（ 3）=0，利用韦达定理，表示出 = |即可求得 范围 【解答】 解：（ 1） 双曲线 E： （ a 0）的离心率为 ， = ， a= ， 双曲线 E 的方程为 ； （ 2）设直线方程为 x=（ m 0），代入 ，整理可得（ 3）=0， 设 A（ B（ 则 y1+， ， | = | 设 3=t，则 t 3 且 t 0， = 21已知函数 f（ x） =， a R （ 1）若 f（ x）的最小值为 0，求实数 a 的值； （ 2）证明：当 a=2 时， f（ x） f（ x）在 x 1， 2上恒成立，其中 f（ x）表示f（ x）的导函数 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ 1）求出原函数的导函数，对 a 分类分析，可知当 a 0 时， f（ x） 0，f（ x）在（ 0， + ）上是减函数， f（ x）的最小值不为 0；当 a 0 时，求出导函数的零点，可得原函数的单调性，求其最小值，由最小值为 0 进一步利用导数求得 a 值； （ 2）当 a=2 时， f（ x） =2， f（ x） = 构造函数 h（ x）= ，问题转化为 h（ x） = 0 在 x 1， 2上恒成立利用导数可得存在 （ 1， 2），使 h（ x）在 1， 为减函数，在（ 2上为增函数，再由 h（ 1） =0， h（ 2） =2 0，可知 h（ x）= 0 在 x 1， 2上恒成立即当 a=2 时， f（ x） f（ x）在 x 1， 2上恒成立 【解答】 （ 1）解： f（ x） =， f（ x） = （ x 0） 当 a 0 时， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， + ）上是减函数， f（ x）的最小值不为0； 当 a 0 时， f（ x） = = 当 x （ 0， ）时， f（ x） 0；当 x （ ， + ）时， f（ x） 0 f（ x）在（ 0， ）上为减函数，在（ ， + ）上为增函数， = ， 令 g（ a） = ，则 g（ a） = （ a 0） 当 a （ 0， 2）时， g（ a） 0；当 a （ 2， + ）时， g（ a） 0， g（ a）在（ 0， 2）上为增函数，在（ 2， + ）上为减函数，则 g（ a） g（ 2）=0 f（ x）的最小值为 0，实数 a 的值为 2； （ 2）证明：当 a=2 时， f（ x） =2， f（ x） = 令 h（ x） = ， 若 f（ x） f（ x）在 x 1， 2上恒成立， 则 h（ x） = 0 在 x 1， 2上恒成立 h（ x） = ， 令 t（ x） =x3+x 3， t（ x） =3x 1 0 在 1， 2上恒成立， t（ x）在 1， 2上为增函数，又 t（ 1） t（ 2） 0， 存在 （ 1， 2），使 t（ =0， 即存在 （ 1，