用高次位构造一点码

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 用高次位构造一点码 摘 要 Xing 和 Chen 给出了： 在埃尔米特函数域上，用上的有理位构 造和改进代数几何码一点埃尔米特码。 在本文中用高次位构造新的一点码。要 研究在高次位的间隙数、极数和魏尔斯 特拉斯间隙数集合。用高次位的次数刻 化高次位一点码的最小距离。 中国论文网 /8/view-12902605.htm 关键词 位 一点码 魏尔斯特拉 斯间隙数集合 最小距离 Abstract Xing and Chen proof that there exist AG codes from the Hermtian function field over constructed using-rational divisors which are improvements over the one-point -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 Hermitian codes.In the paper,we construct ond-point codes by using a place of higher degree.westudy gap numbers ppole numbers and Weierstrass gap set at places of higher drgree.Degree with places of higher degree depict the minimum distance of one-point codes using places of higher degree. Key words place one-point code weierstrass gap set minimum distance .引言 上的一个代数几何（AG）码是 用函数域的两个除子和来定义的。如果， ，其中不属于的支集且互异，像这样的 代数几何码称为一点码。Xing 和 Chen 证明了：在上的埃尔米特函数域上用有 理除子构造的码比9中的一点埃尔米特 码有较好的参数。考虑这样一种情况： 如果，1，像这样的码称为高次位构 造的一点码(或高次位一点码)。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 研究高次位构造的一点码，要研 究高次位的魏尔斯特拉斯间隙数集合和 常域扩张中的有理位-元组的魏尔斯特 拉斯间隙数集合。这种理论在42中 被应用。尤其在同一个函数域，用高次 位构造的一点码比经典一点码有较好的 参数。 注：本文出现的符号采用8中的 符号表示。 设是上的亏格为的代数函数域， 函数的除子（或极除子）用（或）表示。 用表示的有理微分集合。对的除子用表 示和在位的留数用表示。对的除子定义： 用表示上向量空间的维数。由 黎曼-罗赫定理知： ,是的典范除子 如果，则和。如果一个码的长为 n，维数为 k，最小距离为 d（或至少为 d）称此码为（或）码。有时用表示码 的最小距离，用表示正整数，用表示非 负数。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 设和为的除子，满足，其中是中 互异的有理位，不属于的支集，代数几 何码定义为： .高次位的间隙数 设是亏格为的代数函数域。是的 位， 。定义 魏尔斯特拉斯半群： 和魏尔斯特拉斯间隙数集合： 集合中的元素是位的间隙数。可 以验证为的加法子幺半群。对当且仅当. 在魏尔斯特拉斯间隙数定理中： 位是的有理位，在位有个间隙数。在位 的魏尔斯特拉斯间隙数集合中的元素是 中的整数。 设为的常域扩张，扩张的次数为。 位在中完全分裂。个互异的有理位为位 的扩张。定义的余范数：，对。由8， 定理 3.6.3有 类比有理位间隙数的一些结论来 推导高次位间隙数的结论，看下面两个 引理。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 引理 2.17，命题 2.3：设是次数 为的的位，在的扩张次数为的常域扩张 中的扩张为。对,当且仅当。 引理 2.27，命题 2.4：设是次数 为的的位，在的扩张次数为的常域扩张 中的扩张为。如果,则. 注：引理中的符号和证明可以 参阅7的第二部分。 高次位一点码的最小距离 码为上的代数几何码，为的次数 大于 1 的为。下面的引理告诉我们码与 码的关系。 引理 3.17，引理 3.1：设和是除 子，其中是互异的有理位，不属于的支 集， 。取。设为的常域扩张，扩张的次 数为。则码和码有相同的长和维数，码 的最小距离至少为码的最小距离。 证明：由8，3.1 和 3.6知： 设为码和码的维数 由8 ，定理 3.6.3知： 设码的最小距离为 假设，是重量为的码字 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 则为的典范除子 则码有重量为的码。 引理 3.22，定理 3.3：设，是互 异的 设。假设，其中 。 若码是非平凡的，则最小距离为 定理 3.3: 设是次数为的的位， 是互异的有理位。和是的除子，且。若 满足： 则：码的最小距离至少为 证明：设为位在的扩张次数为的 常域扩张中的扩张 由（1）知 ，其中， 由（2）和引理 2.2 知 取 有引理 3.2 知 码的最小距离满足 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 由引理 3.1 知 码的最小距离为 注：定理 3.3 与7，定理 3.4相 比，条件和证明过程有所改变，使定理 和证明过程更加严谨。 3.4 例题7，例题 3.6 埃尔米特 函数域是由：定