2017年东北三省四市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

2017 年东北三省四市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知复数 z=1+2i，则 z =（ ） A 3 4i B 5+4i C 3 D 5 2已知集合 A=x|2x 3 0， B=x| 2 x 2，则 A B=（ ） A x| 2 x 2 B x| 2 x 3 C x| 1 x 3 D x| 1 x 2 3祖暅原理： “幂势既同，则积不容异 ”它是中国古代一个设计几何体体 积的问题意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等设 A， B 为两个等高的几何体， p： A， B 的体积不相等， q： A， B 在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知， p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4直线 x 3y+3=0 与圆（ x 1） 2+（ y 3） 2=10 相交所得弦长为（ ） A B C 4 D 3 5下列命题中错误的是（ ） A如果平面 外的直线 a 不平行于平面 内不存在与 a 平 行的直线 B如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么直线 l 平面 C如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 D一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 6已知数列 足 ， 5，则 | +|（ ） A 9 B 15 C 18 D 30 7平面内的动点（ x， y）满足约束条件 ，则 z=2x+y 的取值范围是（ ） A（ ， + ） B（ ， 4 C 4， + ） D 2， 2 8函数 f（ x） = 的图象大致为（ ） A B C D 9某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ） A 4 B C D 10若关于 x 的方程 22x+ ） =m 在 0， 上有两个不等实根，则 m 的取值范围是（ ） A（ 1， ） B 0， 2 C 1， 2） D 1， 11运行如图所示的程序框图，则输出的 a、 b、 c 满足（ ） A c b a B a b c C a c b D b c a 12对 x （ 0， ）， 8x 恒成立，则实数 a 的取值范 围是（ ） A（ 0， ） B（ 0， C ， 1） D ， 1） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） . 13某班级有 50 名同学，一次数学测试平均成绩是 92，其中学号为前 30 名的同学平均成绩为 90，则后 20 名同学的平均成绩为 14若函数 f（ x） =ex f（ 0） = 15等比数列 各项均为正数， 其前 n 项和，且满足 26，则 16 F 为双曲线 （ a b 0）的左焦点，过点 F 且斜率为 1 的直线与两条渐近 线分别交于 A， B 两点，若 = ，则双曲线的离心率为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17已知点 P（ ， 1）， Q（ O 为坐标原点，函数 f（ x） = （ ）求函数 f（ x）的最小正周期； （ ）若 A 为 内角， f（ A） =4， ， 面积为 ，求 周长 18某手机厂商推出一款 6 吋大屏手机，现对 500 名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表： 女性用户： 分值区间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 频数 20 40 80 50 10 男性用户 分值区间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 频数 45 75 90 60 30 （ ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可）； （ ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，再从这 20名用户中满足评分不低于 80 分的用户中任意抽取 2 名用户，求 2 名用户评分都小于 90 分的概率 19 如图，四棱锥 P 底面 矩形， 底面 P=2， ， E 为棱 中点 （ ）证明： 平面 （ ）求三棱锥 C 接球的体积 20已知函数 f（ x） = （ 1）过原点 O 作函数 f（ x）图象的切线，求切点的横坐标； （ 2）对 x 1， + ），不等式 f（ x） a（ 2x 成立，求实数 a 的取值范围 21已知椭圆 C： +（ a 1）， 别是其上、下顶点，椭圆 C 的左焦点 以 直径的圆上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，线段 垂直平分线与 x 轴交于点 N，点 N 的横坐标的取值范围是（ ， 0），求线段 从 22、 23 题中任选一题作答 .选修 4标系与参数方程选讲 22已知在平面直角坐标系 ，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 =4线 l 的参数方程为（ t 为参数） （ 1）求曲线 直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （ 2）若曲线 参数方程为 （ 为参数） ，曲线 点 P 的极角为 ，Q 为曲线 的动点，求 中点 M 到直线 l 距离的最大值 选修 4等式选讲 23已知 a 0， b 0，函数 f（ x） =|x+a|+|2x b|的最小值为 1 （ 1）求证： 2a+b=2； （ 2）若 a+2b 成立，求实数 t 的最大值 2017 年东北三省四市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知复数 z=1+2i，则 z =（ ） A 3 4i B 5+4i C 3 D 5 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则即可得出 【解答】 解： z =（ 1+2i）（ 1 2i） =12+22=5 故选： D 2已知集合 A=x|2x 3 0， B=x| 2 x 2，则 A B=（ ） A x| 2 x 2 B x| 2 x 3 C x| 1 x 3 D x| 1 x 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 中不等式的解集，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式变形得：（ x 3）（ x+1） 0， 解得： 1 x 3，即 A=x| 1 x 3， B=x| 2 x 2， 则 A B=x| 1 x 2 故选： D 3祖暅原理： “幂势既同，则积不容异 ”它是中国古代一个设计几何体体积的问题意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等设 A， B 为两个等高的几何体， p： A， B 的体积不相等， q： A， B 在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知， p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不 必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 pq，反之不成立即可得出 【解答】 解：由 pq，反之不成立 p 是 q 的充分不必要条件 故选： A 4直线 x 3y+3=0 与圆（ x 1） 2+（ y 3） 2=10 相交所得弦长为（ ） A B C 4 D 3 【考点】 直线与圆相交的性质 【分析】 根据已知中圆的标准方程和直线的一般方程，代入圆的弦长公式，可得答案 【解答】 解：圆（ x 1） 2+（ y 3） 2=10 的圆心坐标为（ 1， 3），半径 r= ， 圆心到直线 x 3y+3=0 的距离 d= = ， 故弦 = ， 故选 A 5下列命题中错误的是（ ） A如果平面 外的直线 a 不平行于平面 内不存在与 a 平行的直线 B如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么直线 l 平面 C如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 D一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 由空间中直线与平面的位置关系逐一核对四个选项得答案 【解答】 解：如果平面 外的直线 a 不平行于平面 ，则 a 与 相交，则 内不存在与 a 平行的直线，故 A 正确； 如图： ， =a， ， =b， =l， 在 内取一点 P，过 P 作 a 于 A，作 b 于 B，由面面垂直的性质可得l， l， 则 l ，故 B 正确； 如果平面 平面 ，那么平面 内的直线与平面 有三种位置关系：平行、相交、异面，故 C 错误； 一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交，故 D 正确 故选： C 6已知数列 足 ， 5，则 | +|（ ） A 9 B 15 C 18 D 30 【考点】 数列的求和 【分析】 利用等差数列的通项公式可得 其数列 前 n 项和 0，解得 n，分类讨论即可得出 【解答】 解： ， 5， 数列 公差为 2 的等差数列 5+2（ n 1） =2n 7 数列 前 n 项和 =6n 令 n 7 0，解得 n 3 时， | n 4 时， | 则 | +| a3+a4+a5+6 22 6 6 2（ 32 6 3）=18 故选： C 7平面内的动点（ x， y）满足约束条件 ，则 z=2x+y 的取值范围是（ ） A（ ， + ） B（ ， 4 C 4， + ） D 2， 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足约束条件 的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到目标函数的取值范围 【解答】 解：满足约束条件 的平面区域如下图所示：由图可知解得 A（ 1， 2） 当 x=1， y=2 时，目标函数 z=2x+y 有最大值 4 故目标函数 z=2x+y 的值域为（ ， 4 故选： B 8函数 f（ x） = 的图象大致为（ ） A B C D 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数的图象 【分析】 利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可 【解答】 解：函数 f（ x） = 的定义域为： x 0， x R，当 x 0 时，函数 f（ x）= ，可得函数的极值点为： x=1，当 x （ 0， 1）时，函数是减函数， x 1 时，函数是增函数，并且 f（ x） 0，选项 B、 D 满足题意 当 x 0 时，函数 f（ x） = 0，选项 D 不正确， 选项 B 正确 故选： B 9某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ） A 4 B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积 【解答】 解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥， 底面边长为 2 的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为 2， 所以四棱锥的体积 故选 D 10若关于 x 的方程 22x+ ） =m 在 0， 上有两个不等实根，则 m 的取值范围是（ ） A（ 1， ） B 0， 2 C 1， 2） D 1， 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 把方程 22x+ ） =m 化为 2x+ ） = ，画出函数 f（ x） =2x+ ）在 x 0， 上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时 m 的取值范围 【解答】 解：方程 22x+ ） =m 可化为 2x+ ） = ， 当 x 0， 时， 2x+ ， ， 画出函数 y=f（ x） =2x+ ）在 x 0， 上的图象如图所示； 根据方程 22x+ ） =m 在 0， 上有两个不等实根， 得 1 1 m 2 m 的取值范围是 1， 2） 故选： C 11运行如图所示的程序框图，则输出的 a、 b、 c 满足（ ） A c b a B a b c C a c b D b c a 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序运行的功能是比较 a、 b、 c 的大小并按大小顺序输出， 写出运行结果即可 【解答】 解：由程序框图知，程序运行的功能是 比较 a、 b、 c 的大小并按大小顺序输出， 程序运行后输出的是 c b a 故选： A 12对 x （ 0， ）， 8x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A （ 0， ） B（ 0， C ， 1） D ， 1） 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 对任意的 x （ 0， ），总有 8x 恒成立，则在 0 x 时， y=y=8x 1 的图象的上方，在同一坐标系中，分别画出指数和对数函数的图象，由此能求出实数 a 的取值范围 【解答】 解： a （ 0， 1） （ 1， + ）， 当 0 x 时，函数 y=8x 1 的图象如下图所示： 对任意 x （ 0， ），总有 8x 恒成立， 则 y=图象恒在 y=8x 1 的图象的上方（如图中虚 线所示） y=图象与 y=8x 1 的图象交于（ ， 1）点时， a= ， 故虚线所示的 y=图象对应的底数 a 应满足 a 1 故选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） . 13某班级有 50 名同学，一次数学测试平均成绩是 92，其中学号为前 30 名的同学平均成绩为 90，则后 20 名同学的平均成绩为 95 【考点】 众数、中位数、平均数 【分析】 设学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 x，得到关于 x 的方程，解出即可 【解答】 解：设学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 x， 则 92 50=90 30+20x，解得： x=95， 故答案为： 95 14若函数 f（ x） =ex f（ 0） = 1 【考点】 导数的运算 【分析】 先求 f（ x）的导数，再求导数值 【解答】 解： f（ x） =exf（ x） =（ =exex f（ 0） =0+1=1 故答案为： 1 15等比数列 各项均为正数， 其前 n 项和，且满足 26，则 30 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q 0， 26， 21+q+=8+3q）， =16， 解得 a1=q=2 则 =30 故答案为： 30 16 F 为双曲线 （ a b 0）的左焦点，过点 F 且斜率为 1 的直线与两条渐近线分别交于 A， B 两点，若 = ，则双曲线的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐 近线方程联立把 A， B 表示出来，再由条件可得 A 为 中点，运用中点坐标公式，可得 a， b， c 的关系，然后求双曲线的离心率 【解答】 解：设 F（ c， 0），则过 F 作斜率为 1 的直线为： y=x+c， 而渐近线的方程是： y= x， 由 得： A（ ， ）， 由 得， B（ ， ）， 若 = ，可得 A 为 中点， 可得 c = 2 ， 化为 b=3a， c= = a， e= = 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17已知点 P（ ， 1）， Q（ O 为坐标原点，函数 f（ x） = （ ）求函数 f（ x）的最小正周期； （ ）若 A 为 内角， f（ A） =4， ， 面积为 ，求 周长 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 （ ）根据平面向量的坐标表示与数量积运算求出 f（ x），即可得出 f（ x）的最小正周期； （ ）根据 f（ A） =4 求出 A 的值，再根据 面积和余弦定理求出 b+可求出周长 【解答】 解：（ ）点 P（ ， 1）， Q（ =（ ， 1）， =（ 1 函数 f（ x） = = （ +（ 1 =3 （ +4 = 2x+ ） +4； 函数 f（ x）的最小正周期为 T=2； （ ） A 为 内角， f（ A） =4， 2A+ ） +4=4， A+ ） =0， A+ =，解得 A= ； 又 BC=a=3， 面积为： S= ， 解得 ； 由余弦定理得： a2=b2+2b2+2=b2+c2+32=9， b2+； （ b+c） 2=b2+6=12， b+c=2 ， 周长为 a+b+c=3+2 18某手机厂商推出一款 6 吋大屏手机，现对 500 名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表： 女性用户： 分值区间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 频数 20 40 80 50 10 男性用户 分值区间 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100 频数 45 75 90 60 30 （ ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可）； （ ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，再从这 20名用户中满足评分不低于 80 分的用户中任意抽取 2 名用户，求 2 名用户评分都小于 90 分的概率 【考点】 频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ ）求出各组的频率，划痕处频率分布直方图，再比较即可， （ ）先求出评分是 80 分以上的人数，再分别求得评分落在区间 80， 90）、 90，100上的人数，即可求得 2 名用户评分都小于 90 分的概率 【解答】 解：（ ）对于女性用户，各小组的频率分别为： 相对应的小长方形的高为 对于男性用户，各小组的频率分别为： 相对应的小长方形的高为 直方图如图所示： ， 由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大 （ ）运用分层抽样 从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人，其中评分小于 90 分的人数为 4，从 6 人人任取 2 人， 则 80， 90）分数段抽取 4 人，分别记为 A， B， C， D， 90， 100分数段抽取 1人，记为 E， M 则基本事件空间包含的基本事件有：（ A， B），（ A， C），（ A， D），（ A， E），（ B，C），（ B， D），（ B， E），（ C， D），（ C， E），（ D， E），（ A， M），（ B， M），（ C，M），（ D， M），（ E， M）共 15 种 2 名用户评分都小于 90 分的基本事件有：（ A， B），（ A， C），（ A， D），（ B， C），（ B， D），（ C， D）共 6 种 故 2 名用户评分都小于 90 分的概率 P= = 19 如图，四棱锥 P 底面 矩形， 底面 P=2， ， E 为棱 中点 （ ）证明： 平面 （ ）求三棱锥 C 接球的体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 平面 （ ）三棱锥 C 接球即以 棱的长方体的外接球，由此能求出三棱锥 C 接球的体积 【解答】 证明：（ ）以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， P（ 0， 0， 2）， D（ 0， 2， 0）， A（ 0， 0， 0）， B（ 2 ， 0， 0）， E（ 0， 1， 1）， =（ 0， 2， 2）， =（ 2 ， 0， 0）， =（ 0， 1， 1）， =0， =0， ， 平面 解：（ ） 垂直，底面 矩形， 三棱锥 C 接球即以 棱的长方体的外接球， 三棱锥 C 接球的半径 R= =3， 三棱锥 C 接球的体积 V= = =36 20已知函数 f（ x） = （ 1）过原点 O 作函数 f（ x）图象的切线，求切点的横坐标； （ 2）对 x 1， + ），不等式 f（ x） a（ 2x 成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）通过设切点坐标，进而可写出切线方程，代入原点计算即得结论； （ 2）通过转化可知 a（ x） x 1， + ）恒成立，分别设 y1=a（ x）， y2=用 x 1， + ）可知 a 0再记 g（ x） =过举反例可知当 0 a 1 时不满足题意进而转化为函数的最值问题，利用当 x1 时 x 1 恒成立放缩即得结论 【解答】 解：（ 1）设切点为 M（ f（ ，直线的切线方程为 y f（ =k（ x f（ x） =a ， k=f（ =a ， 即直线的切线方程为 y a ）（ x 又切线过原点 O，所以 ， 由 ，解得 x0=e，所以切点的横坐标为 e （ 2） 不等式 a（ 2x 成立， 等价于 a（ x） x 1， + ）恒成立 设 y1=a（ x）， y2=于 x 1， + ），且当 a 0 时 a 0 记 g（ x） = 则当 0 a 1 时， g（ 3） =6a 0 不恒成立，同理 x 取其他值不恒成立 当 x=1 时， g（ x） 0 恒成立； 当 x 1 时，则 a 恒成立，等价于问题转化为求 h（ x） = 当 x 1 时的最大值 又当 x 1 时， x 1 x（ x 1），即 h（ x） = 1（ x 1）， 综上所述： a 1 21已知椭圆 C： +（ a 1）， 别是其上、下顶点，椭圆 C 的左焦点 以 直径的圆上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，线段 垂直平分线与 x 轴交于点 N，点 N 的横坐标的取值范围是（ ， 0），求线段 【考点】 直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ ）由椭圆中 别是其上、下顶点，椭圆 C 的左焦点 以直径的圆上得到 b=c=1，由此能求出椭圆方程 （ ）设直线 l： y=k（ x+1），联立 ，得：（ 2） 2=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式，能求出线段 的取值范围 【解答】 解：（ ） 椭圆 C： +（ a 1）， 别是其上、下焦点， 椭圆 C 的左焦点 以 直径的圆上 b=c=1， a= ， 椭圆方程为 =1 （ ）设直线 l： y=k（ x+1）， 联立直线与椭圆方程： ，得：（ 2） 2=0， 设 A（ B（ 则 ， ， 解得 y1+y2=k（ x1+） = ， 点 Q（ ， ）， 线方程为： = （ x+ ） = ， N（ ， 0），由已知得 ， 0 21， | = = ， ， | （ ， 2 ） 从 22、 23 题中任选一题作答 .选修 4标系与参数方程选讲 22已知在平面直角坐标系 ，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 =4线 l 的参数方程为（ t 为参数） （ 1）求曲线 直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （ 2）若曲线 参数方程为 （ 为参数），曲线 点 P 的极角为 ，Q 为曲线 的动点，求 中点 M 到直线 l 距离的最大值 【