江西省五市八校2017届高三第二次联考数学试题（理）含答案

江西省五市 八 校 2017 届高三第二次联考数学（理科）试卷 命题 人 ：九江三中 乐平中学 本试卷分第 择题）和第 （非选择题）两部分 50分，考试时间 120分钟 . 考生注意： 生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上 . 卷每小题选出答案后，用 2需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第 试题卷上作答，答案无效 . 考员将答题卡收回 . 第 卷（选择题 60 分） 一、 选择题 :本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 21 （ ） C. 13i D. 13i | 1， | 1 N y y x ，则 () N （ ） A.(0,2 B.0,2 C. D.1,2 比数列 项 都为 正数 , 且3 5 412a , a , 则3546的值是 （ ） A 512 B. 512 C. 352 D. 352 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是 某几 何体的正视图 （等腰直角三角形） 和侧视图 , 且该几何体的体积为 83, 则该几何体的俯视图可以是 （ ） 2,0 内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间 2,0 内的概率为（ ） 4C. 21D. 8 ） . 6 . 5 三斜求积术 ” ，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 , ，三 角 形 的 面 积 S 可 由 公 式)()( 求得，其中 p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦 有一个三角形的边长满足 8,12 则此三角形面积的最大值为（ ） A. 54 B. 58 C. 154 D. 158 8. 设 x 表示不超过 x 的最大整数，如 011 ，已知函数 )0()( 方程 0)( 且仅有 3 个实根，则实数 k 的取值范围是 （ ） A 3221，（B 4332，（C 5443，（D 6554，（ 个文科班， 3个理科班，现每个班指定 1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（ ） D. 84 直线 l 过抛物线 2 ( 0 )y a x a的焦点 F ，且与抛物线交于点 A 、 B ， l 交抛物线的准线于点 C （ B 在 A 、 C 之间） ，若 83则 a （ ） 是正方体1 1 1 1A B C D A B C D的对角面11边界）内的点，若点 P 到平面平面 1平面 1距离相等，则符合条件的点 P （ ） 开始 结束 0, 1 S S i S S i 1 i 是奇数 10i 否 否 输出 S 是 是 x 不等式 23成立，则实数 a 的取值范围是 （ ） A. ）,e B. ）,0 C. ）,1）,1 第卷 注意事项： 须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效 . 二 大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 . , 2且 a ()向量 a 与向量 b 的夹角是 14. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨， B 原料 2 吨，生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨， B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨， B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是 万元 15 已知数列 11 , ( )2 ( 1 ) ( 1 )a n Nn n a ，若不等式241 0 恒成立，则实数 t 的取值范围是 16 函数 )2)(2s 2)( 单位长度后对应的函数是奇函数 ， 函数 s)32()( 若关于 x 的方程 ) ( ) x g x（ 在 ）,0 内有两个不同的解 ， ， 则 )(c 值为 三、解答题 :本大题共 6 小题 ,共 70分 明过程或演算步骤 . 17.(本小题满分 12分） 在 中， A B C 、 、 所对边 长 分别为 a b c、 、 ， 已知 ( s i n , s i n c o s )m C B A ， ( , 2 )n b c 且 0 . （ 1）求 A 的 大小； （ 2）若 23a ， ，求 的面积 S . 18.(本小题满分 12分） 如图，在四面体 ，平面 平面 C , 3， 2， 1. (1) 求证： D ； (2)设 E 是 中点，若直线 平面 夹角为 30 ， 求四面体 接球的表面积 . A C B D E 19. (本小题满分 12 分） 春节来临， 有农民工兄弟 A 、 B 、 C 、 D 四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响 、B 、 C 、 D 获得火车票的概率分别是1311, , ,24中13又131, , 22 A 、 C 两人恰好有一人获得火车票的概率是 12. （ 1）求13, （ 2）若 C 、 D 是一家人且两人都获得火车票 才一起回 家，否则 两人 都不回家 表示 A 、B 、 C 、 D 能够回家过年的人数，求 X 的分布列和期望 20. （本小题满分 12 分） 过点 ,2作抛物线 2:4C x y 的两条切线 , 切点分别为 11,A x y, 22,B x y . （ 1） 证明 : 1 2 1 2x x y y为定值 ; （ 2） 记 外接圆的圆心为点 M , 点 F 是抛物线 C 的焦点 , 对 任意实数 a , 试 判断以 直径的圆是否恒过点 F ? 并说明理由 . 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 为常数）(12 2 (1)讨论函数 )(单凋性； (2)若存在 ,1,0(0 ,0,2(a 不等式 202 m ( 1 ) ( ) 2 4ae a f x a a （其中 e 为自然对数的底数）都成立，求实数 m 的取值范围 请考生在第 22 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22 （本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 3,(1, . 在以坐标 原点为极点 , x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 , 曲线 : 2 2 c o s C (1) 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程 ; (2) 求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 . 23.（本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲 已知函 数 12 f x x a x a. (1) 若 13f ，求 实数 a 的取值范围 ; (2) 若 1, 求证： 2 理科数学参考答案 一、 选择题 11B 二、 填空题 13、414、 27 15、 9, ) 16、 255三、 解答 17、 解：（ 1） 0 ， ( s i n , s i n c o s ) ( , 2 ) 0C B A b c s i n 2 s i n c o s 0b C c B A 2分 由正弦定理得 2 c o s 0b c c b A 4分 0, 0 1A 5分 0 A 23A 6分 （ 2）由（ 1）及余弦定理得 2 2 2a b c b c ， 得 2 2 2s i n s i n s i n s i n s i C B C 即 22 3s i n s i n s i n s i B C 8分 又 ，解得 1s i n s i 9 分 23a 2 11 分 的面积 1 1 3s i n 2 2 32 2 2S b c A 12 分 18、 解 :(1)由平面 平面 C ，得 平面 D 2分 又由 3， 2， 1，得 2 2 2B C A B A C，所以 C 4分 故 平面 所以 D 6分 （ 2）取 中点 F ，连接 则 A , 因为 平面 平面 8分 连接 则 30， 23C E E F A B 9分 又 90B A D B C D ，所以四面体 外接球的半径 3R C E 11 分 故四面体 外接球的表面积 = 24 ( 3 ) 1 2 12 分 （向量解法酌情给分） 19、 解：（ 1） A 、 C 两人恰好有一人获得火车票的概率是 121 3 1 3 1( 1 ) ( 1 ) 2p p p p 1分 联立方程131 3 1 31241( 1 ) ( 1 )2p p p 3分 A C B D E F 13解得1311,24 5分 （ 2） 0,1, 2, 3, 4X 21 1 1 1 5( 0 ) ( 1 ) ( 1 )2 4 4 6 4 6分 12 1 1 1 1 3 0 1 5( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 2 4 4 6 4 3 2P X C 7分 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 2 4 4 2 2 4 4 6 4 4 8分 12 1 1 1 1 2 1( 3 ) ( 1 )2 2 4 4 6 4 3 2P X C 9分 1 1 1 1 1( 4 ) 2 2 4 4 6 4 10分 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1564 1532 14 132 164 11分 1 5 1 5 1 1 1 90 1 2 3 46 4 3 2 4 3 2 6 4 8 12分 20、 (1) 法 1:由 2 4,得 214所以 12. 所以直线 斜率为112x. 因为点 11,A x 22,B x 上 , 所以 21114 22214 所以直线 方程为 21 1 11142y x x x x . 1 分 因为点 ,2在直线 , 所以 21 1 1112 42x x a x ,即 2112 8 0x a x . 2 分 同理 , 2222 8 0x a x . 3 分 所以12, 2 8 0x a x 的两个根 . 所以12 8. 4 分 又 2221 2 1 2 1 21 1 1 44 4 1 6y y x x x x , 5 分 所以1 2 1 2 4x x y y 为定值 . 6 分 法 2:设过点 ,2且与抛物线 C 相切的切线方程为 2y k x a , 1 分 由 22,4,y k x 消去 y 得 2 4 4 8 0x k x k a , 由 21 6 4 4 8 0k a k , 化简得 2 20k a k . 2 分 所以12 2. 3 分 由 2 4,得 214所以 12. 所以直线 斜率为1112直线 斜率为2212 所以121 24 , 即12 8. 4 分 又 2221 2 1 2 1 21 1 1 44 4 1 6y y x x x x , 5 分 所以1 2 1 2 4x x y y 为定值 . 6 分 (2) 直线 垂直平分线方程为1112 222y x , 7 分 由于 21114 21182x , 所以直线 垂直平分线方程为 111242a x x . 8 分 同理直线 垂直平分线方程为 222242a x x . 9 分 由 解得 32, 21 2 , 所以点 23 ,122. 10 分 抛物线 C 的焦点为 0,1 ,F 则 23 , , , 3 a P F a 由于 2233 022 P F ， 11 分 所以 F 所以以 直径的圆恒过点 12 分 另法 : 以 直径的圆 的方程 为 23 2 1 0 a x a y y 11 分 把点 0,1F 代入上方程 ,知点 F 的坐标是方程的解 . 所以以 直径的圆恒过点 12 分 21、 解：（ I） 21 2 2 1( ) 2 2 x a xf x x ( 0)x，记 2( ) 2 2 1g x x a x （ i）当 0a 时，因为 0x ，所以 ( ) 1 0 ，函数 ()0, ) 上单调递增； （ 02a 时，因为 24 ( 2 ) 0a ， 所以 ( ) 0，函数 ()0, ) 上单调递增； （ 2a 时，由 0( ) 0，解得 2222(,)a a a ， 所以函数 ()222(,)a a a a 上单调递减， 在区间 2222( 0 , ) , ( , )a a a a 上单调递增 6 分） （ （ I）知当 ( 2,0a 时，函数 ()0,1 上单调递增， 所以当 (0,1x 时，函数 ()1) 2 2 ，对任意的 ( 2,0a ， 都存在0 (0,1x ，使得不等式 202 ( 1 ) ( ) 2 4am e a f x a a 成立， 等价于对任意的 ( 2,0a ，不等式 20 m a 1 ) ( ) 2 4am e a f x a a 都成立， 即对任意的 ( 2,0a ，不等式 22 ( 1 ) 4 2 0am e a a a 都成 立， 记 2( ) 2 ( 1 ) 4 2ah a m e a a a ，由 ( 0 ) 0 2 2 1h m m ， 2 ( ) 2 ( 1 ) 2 2 4 2 ( 2 ) ( 1 )a a ah a m e a m e a a a m e ， 由 ( ) 0得 2a 或 ,因为 ( 2,0a ，所以 2( 2) 0a ， 当 21 时， 2 , 0 )m ，且 ( 2 , 时， ( ) 0， ( 0) 时， ( ) 0，所以 m i n( ) ( l n ) l n ( 2 l n ) 0h a h m m m ， 所以 ( 2,0a 时， ( ) 0恒成立； 当 2时， 2( ) 2 ( 2 ) ( 1 )ah a a e ，因为 ( 2,0a ，所以 ( ) 0， 此时 ()调递增，且 22( 2 ) 2 ( 1 ) 4 8 2 0h e e ， 所以 ( 2,0a 时， ( ) ( 2 ) 0h a h 成立； 当 2时，2( 2 ) 2 2 0mh e ， ( 0 ) 2 2 0 ， 所以存在0 ( 2, 0)a 使得0( ) 0因此 ( ) 0不恒成立 综上， m 的取值范围是 2(1, e 12 分） 另解（ （）知，当 ( 2,0a 时，函数 ()0,1 上单调递增， 所以 (0,1x 时，函数 ()1) 2 2 ， 对任意的 ( 2,0a ，都存在0 (0,1x ， 使得不等式 202 ( 1 ) ( ) 2 4am e a f x a a 成立， 等价于对任意的 ( 2,0a ，不等式 20 m a 1 ) ( ) 2 4am e a f x a a 都成立， 即对任意的 ( 2,0a ，不等式 22 ( 1 ) 4 2 0am e a a a 都成立， 记 2( ) 2 ( 1 ) 4 2ah a m e a a a ， 由 ( 0 ) 0 2 2 1h m m ，且 222( 2 ) 0 4 8 2 0mh m 对任意的 ( 2,0a ，不等式 22 ( 1 ) 4 2 0am e a a a 都成立的必要条件为2(1, 又 2 ( ) 2 ( 1 ) 2 2 4 2 ( 2 ) ( 1 )a a ah a m e a m e a a a m e ， 由 ( ) 0得 2a 或 因为 ( 2,0a ，所以 2( 2) 0a ， 当 21 时， 2 , 0 )m ，且 ( 2 , 时， ( ) 0， ( 0) 时， ( ) 0，所以 m i n( ) ( l n ) l n ( 2 l n ) 0h a h m m m ， 所以 ( 2,0a 时， ( ) 0恒成立； 当 2时， 2( ) 2 ( 2 ) ( 1 )ah a a e ，因为