2017年湖南省益阳市中考数学模拟试卷（四）含答案解析

2017 年湖南省益阳市中考数学模拟试卷（ 4） 2017 年 4 月 22 日 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1在 0， 1， 1， 2 这四个数中，最小的数是（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 2函数 y= 的自变量 x 的取值范围是（ ） A x 3 B x 1 且 x 3 C x 1 D x 1 或 x 3 3不等式组 的解集是（ ） A x 2 B x 5 C 2 x 5 D无 解 4小明家上个月支出共计 800 元，各项支出如图所示，其中用于教育上的支出是（ ） A 232 元 B 200 元 C 160 元 D 80 元 5如图所示， “数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点 P 所表示的数是 ”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ） A代入法 B换元法 C数形结合 D分类讨论 6如图，把矩形 折后使两部分重合，若 1=50，则 ） A 110 B 115 C 120 D 130 7如图，在 ，点 E， D， F 分别在边 ，且 F 列四个判断中，不正确的是（ ） A四边形 平行四边形 B如果 0，那么四边形 矩形 C如果 分 么四边形 菱形 D如果 C，那么四边形 正方形 8如图， O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点若 O 于点 B，则 最小值是（ ） A B C 3 D 2 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9若 4 3 a+b= 10已知 A=65，则 A 的补角等于 11关于 x 的方程 的解是正数，则 a 的取值范围是 12某市在旧城改造过程中， 需要整修一段 全长 2400m 的道路为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 8小时完成任务求原计划每小时修路的长度若设原计划每小时修路 根据题意可得方程 13从 1， 1， 2 这三个数中 ，任取两个不 同的数作为一次函数 y=kx+b 的系数 k，b，则一次函数 y=kx+b 的图象不经过第四象限的概率是 14如图，点 A、 B 是反比例函 数 （ x 0）图象上的两个点，在 ，B， 直于 x 轴，垂足为 D，且 面积为 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 15先化简再计算： ，其中 x 是一元二次方程 2x 2=0 的正数根 16已知两直 线 y=y= 有 k1 1，若直线经过 A（ 2， 3），且与 y= x+3 垂直，求该直线的表达式 17如图，在 ， 0， 0， 垂直平分线分别与于点 D、 E，连接 2 1 c n j y 求证： 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 18某校有一露天舞台，纵 断面如图所示 ， 直于地面， 示 楼梯， 梯的坡角 5，坡长 m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯 0 （ 1）求舞台的高 果保留根号）； （ 2）在楼梯口 B 左侧正前方距离舞台底部 C 点 3m 处有一株大树，修新楼梯 是否会触到大树？并说明理由 19某校九年级（ 1） 班积极响应校 团委的号召，每位同学都向 “希望工程 ”捐献图书，全班 40 名同学共捐图书 320 册特别值得一提的是李扬、王州两位同学在父母的 支持下各捐献了 50 册图书班长统计了全班捐书情况如下表（被粗心的马小虎用墨水污染了一部分）： 册数 4 5 6 7 8 50 人数 6 8 15 2 （ 1）分别求出该班级捐献 7 册图书和 8 册图书的人数 （ 2）请算出捐书册数的平均数、中位数和众数，并判断其中哪些统计量不能反映该班同学捐书册数的一般状况，说明理由 20某厂从 2013 年起开始投入资金改进技术，经技术改进后，某产品的生产成本不 断降低，具体数据如下表： 年 度 2013 2014 2015 2016 投入技改资金 x/万元） 4 品成本 y（万元 件） （ 1）请你认真分析表中 数据，从你所 学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律？说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式 （ 2）按照这种变化规律，若 2017 年已投入技改资金 5 万元，预计生产成本每件比 2016 年降低多少万元？ 五、解答题（本题满分 12 分） 21已知正方形 ， E 为对角线 一点，过 E 点作 F，连接 G 为 点，连接 （ 1）求证： G； （ 2）将图 中 B 点逆时 针旋转 45，如图 所示，取 点 G，连接 （ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （ 3）将图 中 B 点旋转任意角度，如图 所示，再连接相应的线段，问（ 1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明） 六、解答题（本题满分 14 分） 22如图， 已知抛物线 y=bx+c 经过 A（ 3， 0）， B（ 1， 0）， C（ 0， 3）三点，其顶点为 D，对称轴是直线 l， l 与 x 轴交于点 H （ 1）求该抛物线的解析式； （ 2）如图（ 1）， 该抛物线对称轴 l 上的动线段，且 ，直接写出 （ 3）如图（ 2），若 E 是线 段 的一 个动点（ E 与 A、 D 不重合），过 y 轴的直线交抛物线于点 F，交 x 轴于点 G，设点 E 的横坐标为 m， 面积为 S求 S 与 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值； （ 4）若点 M 为抛物线上异于 F 的一个动 点，在第（ 3）问 面积 S 取最大值的情况下，若 S S 直接写出 M 点坐标 2017 年湖南省益阳市中考数学模拟试卷（ 4） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1在 0， 1， 1， 2 这四个数中，最小的数是（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 【考点】 有理数大小比较 【分析】 一切负数小于 0，两个负数作比较，绝对值大的反而小 【解答】 解： 在 0， 1， 1， 2 这四个数中， 0， 1， 2 均大于 0， 1 0， 故 1 最小 故选 A 2函数 y= 的自变量 x 的取值范围是（ ） A x 3 B x 1 且 x 3 C x 1 D x 1 或 x 3 【考点】 函数自变量的取值范围 【分析】 根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】 解：由题意得， x+1 0 且 x 3 0， 解得 x 1 且 x 3 故选 B 3不等式组 的解集是（ ） A x 2 B x 5 C 2 x 5 D无解 【考点】 解一元一次不等式组 【分析】 先求出两个不等式的解集，再求其公共解 【解答】 解： ， 由 得， x 2， 由 得， x 5， 所以，不等式组的解集是 2 x 5 故选 C 4小明家上个月支出共计 800 元，各项支出如图所示，其中用于教育上的支出是（ ） A 232 元 B 200 元 C 160 元 D 80 元 【考点】 扇形统计图 【分析】 根据总支出为 800 元，教育支出占总支出的 25%可得答案 【解答】 解： 小明家上个月支出共计 800 元，其中用于教育上的支出占 25%， 用于教育上的支出为 800 25%=200（元）， 故选： B 5如图所示， “数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点 P 所表示的数是 ”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ） A代入法 B换元法 C数形结合 D分类讨论 【考点】 实数与数轴 【分析】 本题 利用实数与数轴上的点对应关系结合数学思想即可求解答 【解答】 解：如图在数轴上 表示点 P，这是利用直观的图形数轴表示抽象的无理数， 说明问题的方式体现的数学思想方法叫做数形结合， A， B， D 的说法显然不正确 故选 C 6如图，把矩形 折后使两部分重合，若 1=50，则 ） A 110 B 115 C 120 D 130 【考点】 翻折变换（折叠问 题） 【分析】 根据折叠的性质，对折前后角相等 【解答】 解：根据题意得： 2= 3， 1+ 2+ 3=180， 2= 2=65， 四边形 矩形， 2=180， 80 65=115 故选 B 7如图，在 ，点 E， D， F 分别在边 ，且 F 列四个判断中，不正确的是（ ） A四边形 平行四边形 B如果 0，那么四边形 矩形 C如果 分 么四边形 菱形 D如果 C，那么四边形 正方形 【考点】 正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定 【分析】 两组对边分别平行的 四边形是平行 四边形，有一个角是 90的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形 2解答】 解： A、因为 以四边形 平行 四边形故A 选项正确 B、 0，四边形 平行四边形，所以四边形 矩形故 C、因为 分 以 E，又因为四边形 平行四边形，所以是菱形故 C 选项正确 D、如果 C 不能判定四边形 正方形，故 D 选项错误 故选： D 8如图， O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点若 O 于点 B，则 最小值是（ ） A B C 3 D 2 【考点】 切线的性质 【分析】 连结 图 ，根据切线的 性质得 0，则利用勾股定理有= ，所以当点 P 运动到点 P的位置时， 小时，则小，此时 ，然后计算此时的 可 【解答】 解：连结 l 于 P如图， 3， O 于点 B， 0， = ， 当点 P 运动到点 P的位置时， 小时，则 小，此时 ， 最小值为 = 故选 B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9若 4 3 a+b= 3 【考点】 合并同类项 【分析】 两个单项式合并成一个单项式，说明这两个单项式为同类项 【解答】 解：由同类项的定义可知 a=2， b=1， a+b=3 10已知 A=65，则 A 的补角等于 115 【考点】 余角和补角 【分析】 根据补角的定义，得出补角为，即可得出答案 【解答】 解： A=65， A 的补角为 180 65=115， 故答案为 115 11关于 x 的方程 的解是正数 ，则 a 的取值范围是 a 1 且 a 2 【考点】 分式方程的解 【分析】 先去分母得 2x+a=x 1，可解 得 x= a 1，由于关于 x 的方程 的解是正数，则 x 0 并且 x 1 0，即 a 1 0 且 a 1 1，解得 a 1 且 a 2 【解答】 解：去分母得 2x+a=x 1， 解得 x= a 1， 关于 x 的方程 的解是正数， x 0 且 x 1， a 1 0 且 a 1 1，解得 a 1 且 a 2， a 的取值范围是 a 1 且 a 2 故答案为： a 1 且 a 2 12某市在旧城改造过程 中，需要整修 一段全长 2400m 的道路为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 8小时完成任务求原计划每小时修路的长度若设原计划每小时修路 根据题意可得方程 =8 【考点】 由实际问题抽象出分式方程 【分析】 求的是原计划的工效 ，工作总量为 2400，一 定是根据工作时间来列等量关系本题的关键描述语是： “提前 8 小时完成任务 ”；等量关系为：原计划用的时间实际用的时间 =8 【解答】 解：原计划用的时间为： ，实际用的时间为： 所列方程为： =8 13从 1， 1， 2 这三个数中 ，任取两个不同的数作为一次函数 y=kx+b 的系数 k，b，则一 次函数 y=kx+b 的图象不经过第四象限的概率是 【考点】 概率公式；一次函数的性质 【分析】 从三个数中选出两个数的可能有 6 种要使图象不经过第四象限，则 k 0， b 0，由此可找出满足条件的个数除以总的个数即可 【解答】 解：列表，如图， k、 b 的取值共有 6 种等可能的结果； 满足条件的为 k 0， b 0，即 k=1， b=2 或 k=2， b=1 两种情况， 概率为 故答案为： 14如图，点 A、 B 是反比 例函数 （ x 0）图象上的两个点，在 ，B， 直于 x 轴，垂足为 D，且 面积为 3 【考点】 反比例函数综合题 【分析】 作等腰三角形底边上的高 ，利用等腰三 角形的性质和已知条件得到两个三角形全等，由此可以得到 面积是 2 倍，进而求得 【解答】 解：作 C 点， B， B， D， 0， B， S ， S S =3 故答案为： 3 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 15先化简再计算： ，其中 x 是一元二次方程 2x 2=0 的正数根 【考点】 分式的化简求值；一元二次方程的解 【分析】 先把原式化为最简形式，再利用公式法求出一元二次方程 2x 2=0的根，把正根代入原式计算即可 【解答】 解：原式 = = = 解方程 2x 2=0 得： + 0， 0， 所以原式 = = 16已知两直线 y=y= 有 k1 1，若直线经过 A（ 2， 3），且 与 y= x+3 垂直，求该直线的表达式 【考点】 两条直线相交或平行问题 【分析】 根据直线互相垂直，则 k1 1，可得出过点 A 直线的 k 等于 3，得出所求的解析式即可 【解答】 解： 过点 A 直线与 y= x+3 垂直， 设过点 A 直线的直线解析式为 y=3x+b， 把 A（ 2， 3）代入得， b= 3， 解析式为 y=3x 3 17如图，在 ， 0， 0， 垂直平 分线分别与于点 D、 E，连接 求证： 【考点】 相似三角形的判定；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质 【分析】 由线段垂直平分线的性质，得 B，则 0，从而求得 0，即可证出 【解答】 证明： 垂直平分线， D 0， 0， 0， 0， C= C， 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 18某校有一露天舞台，纵 断面如图所示 ， 直于地面， 示楼梯， 梯的坡角 5，坡长 m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯 0 （ 1）求舞台的高 果保留根号）； （ 2）在楼梯口 B 左侧正前方距离舞台底部 C 点 3m 处有一株大树，修新楼梯 是否会触到大树？并说明理由 【考点】 解直角三角形的应用坡度坡角问题 【分析】 （ 1）首先由已知 m， 5求出 由 0求出 （ 2）根据勾股定理求出 与 3m 比较后即可得到答案 【解答】 解：（ 1）已知 m， 5， C=AB2 = ， 答：舞台的高为 米； （ 2）已知 0 D2 = 3 答：修新楼梯 底端 D 不会触到大树 19某校九年级（ 1）班积 极响应校团委 的号召，每位同学都向 “希望工程 ”捐献图书，全班 40 名同学共捐图书 320 册特别值得一提的是李扬、王州两位同学在父母的支持下各捐献了 50 册图书班长统计了全班捐书情况如下表（被粗心的马小虎用墨水污染了一部分）： 册数 4 5 6 7 8 50 人数 6 8 15 2 （ 1）分别求出该班级捐献 7 册图书和 8 册图书的人数 （ 2）请算出捐书册数的平均数、中位数和众数，并判断其中哪些统计量不能反映该班同学捐书册数的一般状况，说明理由 【考点】 中位数；二元一次方程组的应用；算术平均数；众数 【分析】 （ 1）根据：全班 40 名同学和共捐图书 320 册这两个相等关系，设捐献7 册的人数为 x，捐献 8 册的人数为 y，就可以列出方程组解决 （ 2）找中位数要把数据按从小 到大的顺序排 列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数然后根据它们的意义判断 【解答】 解：（ 1）设捐献 7 册的人数为 x，捐献 8 册的人数为 y，则 解得 答：捐献 7 册的人数为 6 人，捐献 8 册的人数为 3 人 （ 2）捐书册数的平均数为 320 40=8， 按从小到大的顺序排列得到第 20， 21 个数均为 6，所以中位数为 6 出现次数最多的是 6，所以众数为 6 因为平均数 8 受两个 50 的影响较大，所以平均数不能反映该班同学捐书册数的一般情况 20某厂从 2013 年起开始投入资金改进技术，经技术改进后，某产品的生产成本不断降低，具体数据如下表： 年 度 2013 2014 2015 2016 投入技改资金 x/万元） 4 品成本 y（万元 件） （ 1）请你认真分析表中数据，从你 所学习过的一 次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律？说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式 （ 2）按照这种变化规律，若 2017 年已投入技改资金 5 万元，预计生产成本每件比 2016 年降低多少万元？ 【考点】 反比例函数的应用 【分析】 （ 1）根据表格中的数据可以发现规律并求出相应的函数解析式； （ 2）将 x=5 代入（ 1）中的函数解析式即可解答本题 【解答】 解：（ 1）该函数是反比例函数， 理由： 8， 3 6=18， 4 8， 4=18， 该函数是反比例函数， 它的函数解析式为： y= ； （ 2）当 x=5 时， y= ， 4 即 2017 年已投入技改资金 5 万元，预计生产成本每件比 2016 年降低 元 五、解答题（本题满分 12 分） 21已知正方形 ， E 为对角线 一点，过 E 点作 F，连接 G 为 点，连接 （ 1）求证： G； （ 2）将图 中 B 点逆时针旋 转 45，如图 所示，取 点 G，连接 （ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 3）将图 中 B 点旋转任意角 度，如图 所示，再连接相应的线段，问（ 1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明） 【考点】 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方 形的性质 【分析】 （ 1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出 G （ 2）结论仍然成立，连接 G 点作 M，与 延长线交于N 点；再证明 出 G；再证出 到G；再证明 出 G；最后证出 G （ 3）结论依然成立还知道 【解答】 （ 1）证明： 四边形 正方形， 0， 在 ， G 为 中点， 同理，在 ， G （ 2）解：（ 1）中结论仍然成立，即 G 证法一：连接 G 点作 M，与 延长线交于 N 点 在 ， D， G， G； 在 ， G， G； 0， 四边形 矩形， 在矩形 ， N， 在 ， N， G， G， G 证法二：延长 M，使 G， 连接 在 ， G， G， D， 在 ， B， E， 0， 直角三角形 G， G （ 3）解：（ 1）中的结论仍然成立理由如下： 过 F 作 平行线并延长 于 M 点，连接 F 作 直于 N 由于 G 为 点，易证 到 M， 又因为 F，易证 C 0， 0，即 0， 等腰直角三角形， G 为 点， G， 六、解答题（本题满分 14 分） 22如图，已知抛物线 y=bx+c 经过 A（ 3， 0）， B（ 1， 0）， C（ 0， 3）三 点，其顶点为 D，对称轴是直线 l， l 与 x 轴交于点 H （ 1）求该抛物线的解析式； （ 2）如图（ 1）， 该抛物线对称轴 l 上的动线段，且 ，直接写出 （ 3）如图（ 2），若 E 是 线段 的 一个动点（ E 与 A、 D 不重合），过 y 轴的直线交抛物线于点 F，交 x 轴于点 G，设点 E 的横坐标为 m， 面积为 S求 S 与 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值； （ 4）若点 M 为抛物线上异于 F 的一个动点，在第（ 3）问 面积 S 取最大值的情况下，若 S S 直接写出 M 点坐标 【考点】 二次函数综合题 【分析】 （ 1）运用待定系数法即可求出抛物线的解析式 （ 2）过点 C 作直线 l 的对称 点 E，过点 E 作 G，过点 Q 作 点 F，连接 图 1易得 B=B=B，根据两点之间线段最短可得：