一年级上册疑难问题解答

一年级上册疑难问题解答 一、“数一数”单元教学目标过于单一，内容单调，能否将其与“比一比”单元合并 为一个单元？ 1为什么将两部分内容分开编排？ “数一数”“比一比”以及“分类”三部分内容在原通用教材中均编排在“准备课” 一个单元中。实验教材将它们分开编排，主要基于如下考虑： （1）在入学前，儿童对数学知识的掌握存在较大的个体差异。为了全方位的了解学 生数数、认数的情况，“数一数”单元编排时在原通用教材的基础上拓宽了场景，丰富了 情境中的资源，将人物数量增加到 20 个，给学生提供充分展示其已具备知识的机会，以便 老师在今后数的认识和加减法的教学中能够做到有的放矢，因材施教。另一方面也有助于 老师结合本单元的内容帮助学生熟悉自己的校园环境。从这个意义上讲，“数一数”单元 的内容虽然简单，但作用是很重要的，它对后面有针对性地教学非常有帮助。 （2）比较和分类是儿童学习数学知识的基础内容，也是解决数学问题时常用的方法。 为了充实学生的相关知识，编排时，在“同样多、多些、少些”的基础上，增加了比长短、 比高矮等具体量的比较构成“比一比”单元；在按单一标准分类的基础上，增加了按不同 标准分类的内容，构成“分类”单元。 综上所述，各部分内容分开编排可以为学生提供更丰富的数学知识。 2教学中面临的问题。 （1）这一单元反复让学生数图中事物的个数，学生会觉得比较枯燥，如何培养学生 数数的兴趣？ 吸引学生兴趣的方法有很多。有的老师把主题图制成课件，使人物和情境动态化，学 生对这样的画面很感兴趣，也愿意数画中的事物；有的老师将学校的背景画在黑板上，边 画边请学生说一说画了什么，有几个；很多老师还在主题图的基础上让学生们数一数身边 的事物，例如教室、校园里的事物，将数数活动和学生的学习、生活紧密结合起来。学生 对这样的活动会很感兴趣。 （2）如何把握教学要求？ 本单元是准备课，虽然出现了 110 各数，但并不是正式教学，不要求学生掌握 10 以内的数数，也不要求学生认识 110 各数。只是让老师全面、充分地了解学生数数和认 数的情况，不仅要了解学生是否会口头数数、会认数，还要了解每一个学生是否能按要求 正确地数出物体的个数来。 二、在本册教材中出现了“从左数”，“从右数”的要求，但是学生尚未正 式学习左、右的概念，这样的要求对学生是否会太难？ 2 左右的正式教学安排在一年级下册进行。但是在一年级上册的某些习题中出现了“从 左数”“把右数的”等要求，很多老师担心学生不能正确理解。其实，这里说的 左右不涉及左右的相对性，仅仅是指学生以自我为中心确定左右。学生根据自己的身体线 索左手、右手，左眼、右眼以及写字、读书的顺序等日常生活经验完全可以进行判断。 如果个别学生判断困难，老师可以进行适当的提示，例如，“给从左数第 4 只小鸟涂上颜 色，也就是从你的左手边数第”以帮助学生明确题目中左、右的含义。 三、在分类教学中，有的学生分类的结果与答案不符，老师应如何评价？ 学生已有的知识经验不同，对问题的认识和理解也存在差异。例如，题目的要求是 “找出上图中不同的是什么？”个别学生的答案是护士，因为只有护士戴帽子。对学生的 这类看似有一定道理的答案该如何评价呢？我们认为，当学生出现这种答案时，老师首先 要肯定他积极回答问题，但是老师不要鼓励学生这样的思考方式，而是引导学生抓住事物 间的本质特征进行分类，否则学生会认为这种“标新立异”的分类结果是值得提倡的，从 而导致头绪众多，结果繁杂，失去了分类教学的意义，也达不到教学目标。 四、在看图列式时，已知总体求部分，学生列加法算式是否 可以？ 由于图中两部分的数目都可以数出来，所以学生这样列式是有 一定道理的，老师不应该断然否定。但这不等于可以放任学生的想法， 老师还是要正确引导学生理解题意，明确图中的条件和问题，否则一 旦形成了这种解决问题的模式，学生今后解决类似问题时会遇到一定 的困难。例如，当数目增大，不能通过数数知道两部分的确切数目， 学生的这种解题思路就会受挫。如果在教学中遇到这类情况，建议老 师不要急于对学生的答案作对错的评价，可以先请学生依次说一说这张图提供了什么信息， 问题是什么，然后逐步帮助学生理清图中的条件和问题，明确这类问题应用什么方法解决， 从而达到学生正确列式计算的目的。 五、 在数的认识和加减法单元教学数的分解、组成是否有必要？ 数的分解、组成作为数概念的一部分，是一种非常直观的表达方式，在数的认识和加 减运算中起着很重要的作用。 首先，它可以加深学生对数概念的理解，巩固对数的大小和数序的认识；其次，数的 分解组成对学生建立一图四式的表象、理解加减运算的关系是很有帮助的；再次，数的分 解、组成也是进行加减计算的基础，尤其是 10 的分解和组成，在计算进位加法与退位减法 时要经常用到。基于以上考虑，仍然应将“数的分解、组成”作为重要的内容进行教学。 六、 “认识物体和图形”单元教学中的两个争论。 1能否先教学平面图形，再过渡到立体图形。 3 我们提倡老师根据学生的具体情况灵活使用教材。如果在教学中，老师认为先教学平 面图形的效果更好，是可以进行调整的。教材先编排立体图形，之后再是平面图形，主要 是基于以下考虑: (1) 在现实生活中学生直接接触的基本是立体图形，而对平面图形的感知比较少，将 立体图形的认识编排在平面图形之前，可以借助学生日常已有的图形经验以及对物体的操 作活动帮助学生感知几何形体的特征，建立清晰的表象。 (2) 教材通过立体图形和平面图形的关系引入对平面图形的认识，在向学生渗透面构 成体的关系的同时，也帮助学生感受知识转化和形成的过程。 2用球是否可以画出圆？ 在完成练习五第 5 题时，老师们在“用球是否能画出圆”这一问题上存在争论。从理 论上讲，如果通过一些工具把球固定住，让铅笔始终垂直纸面，沿着球画大圆，就能够画 出圆来。虽然在理论上可行，但在实际操作中存在着很大的难度。不过在实际教学中确实 有过学生解决了这一难题。学生用硬纸板把球紧紧地包裹起来，形成一个圆柱竖在桌子上， 然后沿着这个圆柱的底的边缘画出圆。这种方法成功地运用了“转化”的思想，巧妙地将 “用球画圆”转化为“用圆柱画圆”，对变换思路、解决问题颇具启发。 4 二年级上册疑难问题问答 一、关于加减法估算的问题 1估算的意义是什么？ 笔算、口算、心算和估算是小学生计算的几种主要方式，从计算结果的角度来看，笔算、口算、心 算可归入精确计算，而估算则可看作是一种近似计算方法。估算是对事物的数量或计算的结果做出粗略的 推断或预测的过程，也是学生计算能力的重要组成部分。 在以往的小学数学教学中，比较注重学生笔算、口算能力的培养，对估算的要求较低。但在日常生 活中，人们往往又离不开估算，比如：从家到学校估计有 2 千米，步行上学估计要用 15 分钟；带了 10 元 钱去买菜，估计只能买一斤猪肉和 2 斤西红柿，18+23 经估算知结果应是 40 左右所以数学课程标 准明确提出“应重视口算，加强估算”“在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算 的习惯”“能结合具体情况进行估算，并能解释估算的过程”。 此外，估算与精确计算也并不是完全对立的，二者也是互有联系。如笔算除法中的试商、粗略估计 计算器得到的结果是否正确等都要用到估算；同样，估算时也常常离不开基本口算，并且为了提高估算的 精度，调整估算的策略，往往也需要以精确计算的结果作为支撑。可见，从加减法运算开始逐步培养孩子 的估算意识是非常必要的。 2加减法估算的方法与策略有哪些？ 与笔算和口算相比，估算的方法更加多样化，可采用的策略也是极为丰富的。就加减法估算而言， 主要就有： 四舍五入法：48+34 50+30=80； 取整*法：7226 7020=50；（ *即整十、整百等） 前后协调法：54+24 50+30=80 例如：教科书第 31 页的例 4，要计算 100 元钱买 3 种商品够不够，除已经呈现的 2 种算法外，还可 以先估计买茶杯和水壶大约要 50 元，剩下 50 元买茶壶够了等等。 学生采用的估算方法不同，得到的结果也会不一致，即使估算的结果相同，所采取的估算策略也可 能是不同的。学生的估算方法，只要合理可行，体现了估算的思想，都应给予鼓励。不要对学生的估算方 法进行过多的评判，尤其不能以是否接近精确结果为依据来判断估算方法的优劣。 另外，教学中还应让学生意识到是否采用估算，以及估算方法与策略的选用也是跟具体的问题密切 相关。如一套水杯 24 元，一个热水壶 28 元，问带 50 元钱够吗？则就不应把 24 估得太低。 二、有关长度单位的问题。 1如何体现统一长度单位的意义？ 学生在一年级上册通过“比长短”的学习，已对长度概念有了一些直观认识，并会用“长、短、一 样长、短一些、长得多”等词语来形象描述物体的长度特征。但要精确描述一个物体究竟有多长，则只有 采用量化的结果才能完成。而量化的基础便是长度单位的确定，这即是第一单元教学内容的现实来源。 5 在如何确定长度单位的问题上，教材引导学生自己选择感兴趣的物体作为长度单位来进行测量，进 而得出“为什么同一边量出的结果不一样呢？”和“不同边两个人量出的数据都相等”这样的疑问（见下 图），为探讨“统一长度单位”作了孕伏。 教材仅是提供一个探究的线索，教学中还可结合古今中外有关量与计量制度演变的资料，让学生在 更广阔的视角下来审视统一长度单位的必要性。如可介绍中国古代秦始皇采取的“车同轨,书同文,统一度 量衡”等举措在促进国家统一方面的巨大意义，当今大多数国家采用的国际单位制 *在科技、文化、商贸 交流等方面所具备的重要作用等等。实际教学时可把这些资料做成课件等形式向学生展示，如有位老师为 强调统一长度单位的意义，就做了一个动画，讲两个国家的商人在做生意时，因使用的长度单位不一致发 生了争执，生意做不成了，等等。 2教学长度单位时应注意哪些问题？ （1）加强探究活动，经历统一长度单位的过程。 在提出“统一长度单位”这一命题前，应放手让学生采用各种物品作为单位来测量长度，让学生在 活动过程中发现问题，引起认知冲突，从而感受到统一长度单位的必要性，同时又为后面教学活动的开展 作好了铺垫。 （2）通过多种方式，帮助学生形成厘米和米的正确表象。 厘米和米是最常用的两个长度单位，也是学生进一步学习其他长度单位的基础，故对厘米和米的正 确表象的建立尤为重要。为此，教材编排了不少生活中的实物，如图钉、指甲、米尺等，籍此可给学生以 直观的表象。 *1960 年以来，国际计量会议以米、千克、秒制为基础，制定了国际单位制。现行的国际单位制，包括长度米（m） 、质量千克 （kg） 、时间秒（s） 、电流安培（A） 、热力学温度开尔文（ K） 、物质的量摩尔（mol） 、发光强度坎德拉（cd）七个国际制基本单位和平 面角弧度（rad） 、立体角球面角（sr ）二个辅助单位；以及面积平方米（m2 ） 、体积立方米（m3） 、速度米每秒（m/s）等三十个导出单 位。在国际单位制中，对米的定义是：1 米等于氪-86 原子的 2P10 和 5d5 能级之间跃迁所对应的辐射在真空中的 1，650，763.73 个波的 长度 三、认识线段和角的教学尺度应如何把握？ 为遵循儿童的认知规律和认知心理，实验教材对线段和角的定义采用的是直观描述（见下图）。这 与以往利用“线段是直线上两点间的一段”来定义不同，由于这一定义本身就涉及到两个抽象的数学名词 “点”和“直线”，学生理解起来较为困难。因此，关于线段比较严格的定义安排在学生认识了射线、直 线之后给出（本套教材编排在四年级上册）。 6 教学线段时，注意不要拔高要求，只要学生直观认识什么是线段，其主要特征是“直”和“长度可 测”就行了，不要把线段与直线、射线的联系与区别在这里教学。 和线段的认识相似，教材关于角 的初步认识的编排，也是从对实物的观 察的角度来直观地、形象地描述什么是 角、什么是直角，让学生在观察、操作 中逐步建立起角的初步表象：有一个顶 点、两条边等。 对角的更严格定义，将在四年级上册学习了“射线”后给出：从一点引出两条射线所组成的图形叫 做角。故教学时不要拔高要求，只要学生通过各种实际活动（如折一折、画一画、做一做等）对角和直角 有感性认识即可。 四、乘法计算中还要强调“几个几”吗？两个因数的地位有何区别吗？ 在实验教材里，乘法算式中两个相乘的数都称为“因数”，不作“被乘数”和“乘数”的区分，这 样编排主要是为了更好地体现乘法在数学上的含义。在数学研究中，对“加、减、乘、除”四种运算而言， 真正有意义的研究是“加”和“乘”这两类运算，因为“减”和“除”在本质上仅仅是“加”和“乘”的 诱导变形，即：在学生学了负数和倒数后，“减”和“除”就已经被吸纳进“加”和“乘”的运算中了。 如： 。 在数学上，当一种运算具备“可交换性”（即交换律）时，则各个元素在运算中的地位就是完全平 等的，孰前孰后无关紧要，故乘法运算中区分“被乘数”和“乘数”是没有意义的，因为二者在运算过程 中的作用和地位是完全对等的，正如加法运算中两个加数彼此地位相等一样。 结合我国小学数学教学的历史与现状，不少老师对下面的问题还有疑惑：在实际教学中，还要强调 “几个几”吗？我们认为这与两个因数地位是否相等是两个不相关的问题，理由如下：在描述或说明特定 的情景时，是可以而且应该使用“几个几”这样的词语的，但根据“几个几”来列乘法算式时，则两种列 法都是正确的。如： 该图用文字描述可为“3 个 5”，但据此写出乘法算式时，35 和 53 都可以。又如： 3+3+3+3+3+3=18，表示 6 个 3 相加 得 18，改写成乘法算式时，36 和 63 也都对。 7 三年级上册疑难问题解答 人民教育出版社小学数学室 丁国忠 一、对于千米和吨这样比较大的长度单位和质量单位，怎样帮助学生建立相应的长度观念和质量观 念？ 解答：对于长度单位、面积单位、体积单位、质量单位、时间单位的教学，除了要求学生掌握单位 之间的换算关系和相关的计算以外，更重要的是建立起相应的长度、面积和体积的表象以及质量观念、时 间观念。 对于一些比较小的长度单位（如毫米、厘米、分米和米）和质量单位（如克和千克），我们经常借 助学生身边的物品帮助他们建立相应的长度观念和质量观念。例如，一个硬币的厚度大约是 1 毫米，一枝 铅笔的长度大约是 18 厘米，一袋盐大约重 500 克，一分钟大约能跳绳 80 下，大拇指的指甲盖面积大约是 1 平方厘米，等等。 但是，对于一些比较大的长度单位和质量单位，如本册教材中的千米和吨，虽然学生在生活中能经 常见到这样的单位，但无法直接通过用手比一比、用尺量一量、掂一掂等方式来建立相应的表象。因此， 要建立这样的长度观念和质量观念，需要运用间接的方式，让学生通过想像来加以培养。具体来说，可以 有以下两种方式。第一种方式是让学生通过对千米和吨的间接感受来建立相应的观念。例如，让学生实际 步行 1 千米，数一数走了多少步，看看用了多少时间，体会一下走 1000 米的疲劳程度。也可以先走 100 米，再去想像如果走 10 个 100 米，会是怎样的一种感觉。教学吨的时候，可以让几个学生尝试着抬一袋 50 千克的大米，再想像如果有 20 袋这样的大米会有多重，也可以让学生通过观察 1 吨大米、1 吨棉花大 约占多大的体积来建立吨的质量观念。第二种方式是借助生活中的实际素材帮助学生建立相关观念。例如， 告诉学生从学校到附近某一地点的距离是多少千米，从 A 城市到 B 城市大约是多少千米，告诉学生一辆卡 车的载重量大约是多少吨，告诉学生像鲸鱼、大象这些大型动物的体重大约是多少吨。 需要说明的是，长度观念、质量观念的建立不是一节课所能完成的任务，也不必仅仅局限于数学课 堂，更需要学生在日常生活中经常观察、体验、感受，逐步地培养。 二、教材第 15 页主题图表格中的相关概念离学生生活太远，学生不易理解，如何更好地利用此表 格？ 解答：让学生在实际问题情境中学习计算内容是数学课程标准所倡导的一个重要理念，在数学 教学中渗透思想品德教育也一直是教材编写所坚持的一个重要原则。教材第 15 页的主题图以中国部分动 物种数的题材引入，为后面几个例题的计算问题提供现实素材，主要也是基于以上两方面的考虑。一方面 为学生介绍动物种数方面的知识，帮助学生从小树立保护野生动物的思想意识，另一方面可以鼓励学生根 据现实素材提出各种各样的数学问题，培养学生的问题意识，提高提问题和根据问题列式的能力。 但是，在教学中也发现，小学生确实不能很好地理解“已知种数”“中国特有种数”“濒危和受威 胁种数”等概念，对于这三个概念之间的关系不能清楚地辨析，以至提出的问题五花八门，不符合逻辑， 没有实际意义，如“已知的哺乳类种数比中国特有的鸟类种数多多少种？”针对这种情况，一方面，教师 可以用通俗的语言对这些概念加以解释，引导学生提出合适的问题。另一方面，可以根据教学的进度将表 格的三列数据分别呈现，而不是放在同一个统计表中加以呈现。例如，教学例 1 时，只呈现“中国特有种 数”一列，引导学生提问题，列算式。教学例 2 时，只呈现“已知种数”一列。这样就可避免学生的思维 混乱，学生也不至于提出前文所述的无实际意义的问题。 三、为什么教材中要编入不规则图形周长的内容？ 解答：过去对于周长、面积、体积的教学，往往把教学重点放在特殊图形的周长、面积和体积的公 式推导以及利用公式计算这两方面。因此,学生没有形成对这些概念的一般性理解，以至于在教学中出现 了这样的问题：学生虽然会计算长方形、正方形的周长，却不会计算平行四边形、三角形以及一般多边形 的周长，理由是老师没有教过这些图形的周长计算公式。出现这种情况的原因就是学生对“周长即封闭图 形一周的长度”这个概念没有形成一般意义上的理解。因此，实验教材在编排上使学生先充分理解周长的 一般含义，知道平面上任一封闭图形都有周长，并可以用绳子、直尺等工具来测量一个一般封闭图形的周 长，知道任一多边形的周长即是各边长度之和。在此基础上再学习长方形、正方形的周长计算，就只是一 个从一般到特殊（对边相等或四边相等）的过程，具体的方法可以让学生自主探索。 同样的道理，在后面学习面积、体积时，也应加强学生对这两个概念的一般性理解。 四、如何把握“有余数的除法”这一单元的教学层次？ 解答：本单元的内容从大的方面来说可以分为三个层次：第一层次是借助分实物的过程，学习除法 竖式的写法，掌握余数比除数小的原理。第二层次是脱离实物，计算一个抽象的有余数除法式题。第三层 次是利用有余数除法解决实际问题。下面作一具体说明。 第一层次，利用平均分的概念，让学生在分实物的过程中理解什么是有余数除法。重点教学除法竖 式的写法，余数是怎样产生的，余数和除数的关系。 1如果平均分后正好分完，利用已学知识“表内除法”写出横式，再把横式改写成竖式，由于是 第一次接触除法竖式，教师需要介绍竖式中各部分的来源与写法。 8 2如果平均分后还有多余的，根据分的过程写出有余数除法的横式和竖式，重点掌握余数的含义， 即分到不能再分时剩下的数量。需要明确的一点是，此处横式中的商和余数都是通过“分”得到的，而不 是计算出来的，而竖式也只是横式的一种改写，还不涉及到计算的层面。 3保持总数不变，改变每份数（或保持每份数不变，改变总数），使学生发现分到不能再分时， 剩下的数量总是比每份数少，即余数比除数小。 第二层次，不再借助分实物，而是给出一个抽象的除法算式进行计算。在此过程中，需要学生学会 如何定商，而定商的原则就是除数和商的积必须小于（或等于）被除数，但同时又必须满足“余数小于除 数”这一条件。与第一层次不同，这儿的商和余数不是分实物的结果，而是利用定商原则通过抽象的计算 得到的。这一层次的内容在教材编写中体现得不是很充分，在教学时应作适当补充。 第三层次，利用所学的有余数除法的计算方法解决实际问题。这一层次的教学重点是引导学生结合 商和余数在实际情境中的含义正确写出相应的单位名称。 五、“时间的计算”中要求换算，但还没有学习整十数乘一位数，怎么处理？ 解答：在进行类似于“3 时等于多少分”“5 分等于多少秒”的换算时，由于还没有学习整十数乘 一位数，学生还不会计算 603、605。教学时，可以让学生用连加的方法进行计算，并注意出题时数 据不要太大。此外，还可以创造性地使用教材，先教学第六单元，再教学第五单元，这样，学生可以灵活 地运用连加和乘法这两种方法进行换算。 六、教材第 69 页例 1 第（1）小题在具体情境中把 210 看成 2 个 10 进行计算是否会造成学生对 乘法意义的理解错误？ 解答：自九年义务教育教学大纲修订后，不再把“几个几相加”和一个乘法算式唯一地对应。“2 个 3 相加”和“3 个 2 相加”都既可以列成“32”，也可以列成“23”，因此，本例中“每人 2 元， 10 人要多少钱”表示“10 个 2 相加”，这一具体含义是固定不变的，但列式可以是“210”，也可以是 “102”。在计算列出的抽象算式“210”时，我们可以脱离例题中的具体情境，既可以把它看成“10 个 2 相加”（与情境中的一致），也可以看成“2 个 10 相加”，这样可以达到计算简便的目的。因此， 此题中的“也可以把 210 看成 2 个 10”并非指具体情境中的乘法含义变成了“2 个 10 相加”，而仅仅 是为了使计算更便捷。 七、教材第 70 页的 298 估算成 308，正好可以解决问题，如果改成 328，仍然估算成 308，如果仍用估算值来判断，就会发生错误，怎么处理？ 解答：与原通用教材相比，实验教材在估算内容的编排上作了一些改变。 首先，估算的内容大大增加，估算的地位大大提高。从许多角度来讲，估算都是非常重要的一种计 算策略，我们可以将它作为解决实际问题的必要工具，也可以作为精确计算的重要基础，还可用于检验计 算结果是否大致合理。例如，我们在购物时，经常只需用估算就可以解决问题。在精确计算 32551 时， 一般都是先估算成 30050 进行试商。再如，对于 3462004 的运算结果，运用估算就可以判断是否正 确。 其次，估算的教学重点由单纯的技巧性训练转变到估算意识的培养。过去，我们教给学生的是相对 固定的估算方法，即先用“四舍五入”法求出算式中各项的近似值，再对近似值进行运算。实际上，在解 决实际问题时，根据不同的需要，我们可以采取不同的估算策略，只要能达到解决问题的目的即可。用 “四舍五入”法先求近似值再进行计算，固然是一种重要的估算方法，但不是唯一的方法。在估算的教学 中，更重要的是使学生形成估算的意识，根据不同的问题情境选择适当的估算策略，并能加以解释。在平 时的计算过程中也要引导学生自觉地运用估算方法对计算结果的合理性加以判断。应该说，培养估算意识 不仅仅是某一节课的目标，而应该将估算教学融于日常的计算教学中。 具体到第 70 页的例 2，要使学生理解，在解决实际问题时，有时不需要精确计算，用估算就可以了。 但也并不意味着只用估算就一定能解决问题，还要看所采用的估算策略对于具体的问题情境是否合适。估 算仅仅是解决实际问题的步骤之一。如本例中，把 29 估成 30，是估大了，说明即使有 30 个同学参加， 才需要 240 元，因此带 250 元肯定是够了。如果把 29 改成 32，把 32 估成 30，估算方法相同，但却还没 解决问题，还需要进一步考虑“少估了 2 个 8，即 16 元，而 240 元与 250 元相差 10 元，因此钱不够”， 这样才算是真正解决了问题。如果把 29 改成 23，照样可以把 23 估成 30，这里所用的方法就不是“四舍 五入”法，但对于解决这个问题却是非常有效的。 因此，脱离问题情境，孤立地说某种估算方法好或不好，是没有意义的。对于不同的问题情境，甚 至同一问题情境，可以灵活采用多样的估算策略。 八、教材第 83 页例 5“0 的乘法”与前后内容的教学难度不太一致，感觉深一脚浅一脚，是否可以 放到二年级上册“表内乘法”一单元？在教学这一内容时是否必须按教材所提供的思路进行？ 解答：“0 的乘法”一直以来都是编排在“多位数乘一位数”这一单元，这样做的主要目的是为后 面学习“一个因数的中间或末尾有 0 的乘法”打下必要的知识基础，使前后知识的联系更紧密。当然， “0 的乘法”的计算难度并不大，如果放到二年级上册学习，学生应该也是能够接受的。但是因为“表内 乘法”主要学习 1 到 9 的乘法口诀，而 0 是没有乘法口诀的，如果生硬地编排在一起，也是不太妥当的。 在编排上，教材采用的是顺向的思路，即通过情境列出 7 个 0 连加的算式，再根据乘法的意义改写 成乘法算式 700 和 070，再类推出其他的算式。教学时，也可以创造性地使用教材，先复习 0 的 加法和减法，知道 0 和任何数相加仍得该数，任何数减去 0 仍得该数，然后直接从 0 的乘法算式 70 和 9 07 入手，让学生猜想这两个算式的得数，引导学生利用乘法的意义把这两个算式转化为相应的连加算 式，求出得数。 九、因为以后还要正式学习“分数的意义和性质”，应该如何把握好本册教材中“分数的初步认识” 的教学要求？ 解答：本册教材主要是利用直观的方式，使学生通过折一折、涂一涂等动手操作的方式，初步理解 分数的意义，掌握分数的大小比较方法和分数的简单加减法。由于是初步认识，本册教材涉及到的分数， 分母都不超过 10。而以后要学的“分数的意义和性质”，逐渐脱离了直观方式的支持，更多的是从数系 发展的角度，认识分数产生的必要性，抽象地学习分数的一般意义和各种性质，并且，所有形式的分数都 在研究范围之内。 十、如何让学生理解“世界上每天都有人出生”等必然事件、不可能事件、可能事件？ 解答：在这里需要注意两个问题。第一，本单元所涉及到的“一定”“不可能”“可能”是概率论 中的术语，与生活用语完全不同，是指当我们多次观察自然现象和社会现象后，会发现在一定的条件下， 许多事情必然会发生，许多事情必然不会发生，还有许多事情是可能发生的。因此，我们讨论的事件一般 指的是客观事件，同时，又是在我们经验范围内发生的事件。所以，在教学时应避免举出“我一定会好好 学习的”的例子，这里的“一定”是一种生活用语，带有强烈的主观色彩，与概率论中“概率等于 1”的 含义截然不同。对于学生提出的超出人类认识经验的说法，如“如果太阳系爆炸了，地球每天都在转 动这句话就不是一定的了。”教师也应正确地加以引导。第二，如果有些事件超出了学生的认识范围， 教师应提供一些证据帮助学生理解。例如，学生无法理解“世界上每天都有人出生”，教师可以通过本地 区或全国、全世界每天有多少婴儿出生的数据使学生认识到世界上每天一定有人出生，如“中国平均每 4.15 秒就出生一个孩子，中国每天出生的人口大约是 2.08 万。” 十一、教材第 108 页例 3 中的实验结果如果与理论的发生矛盾怎么处理？ 解答：我们都知道，如果一个盒子里有 4 个红棋子和 1 个蓝棋子，随机地从盒子里摸出一个棋子， 摸出红棋子和蓝棋子的可能性都是存在的，如果把以上过程重复若干次，会发现在一般情况下，摸出红棋 子的次数比摸出蓝棋子的次数多，因此，我们说摸出红棋子的可能性更大。这种可能性的大小都是一种理 论上的值，与实验的结果有时会不一致，因为在实验中过程，有时小概率事件也有可能会发生，虽然发生 的可能性比较小。例如，在抽奖活动中，中奖的可能性比较小，不中奖的可能性比较大，但人们并不会因 为不中奖的可能性很大就不去抽奖了，而是满心期待小概率事件（中奖）的发生。 但是在小学阶段，学生对于抽象的、理论的可能性概念理解起来有一定的困难，只能借助实验的结 果来加以论证。虽然在一般情况下，不会出现小概率事件，但如果真的出现了，我们可以用以下的方式来 加以修正。例如，在实验之前，先不限定重复的次数，如果个别小组出现了这样的小概率事件，第一种方 法是继续增加实验的次数，因为从理论上说，实验的次数增加到无穷大，摸出某种颜色棋子的次数所占的 比就是摸出该种颜色棋子的概率。第二种方法是把全班所有小组的数据都整合起来，实际上原理与第一种 方法也是一样的，都是增加实验的次数。 十二、数学广角的“排列组合”问题与二年级上册的相关内容如何区分教学层次？ 解答：这两册教材中都编入了“排列组合”的内容，但教学要求是有所不同的。二年级只是让学生 通过动手操作的方式让学生排一排，初步感受排列组合的思想和方法，所用的材料数量也比较少，例如， 用 3 张数字卡片能摆出多少个两位数，2 件衣服和 2 条裤子有多少种搭配。而本册的教学重点则是让学生 用不同的方式（如学具操作，画简图、文字形式、字母形式）把排列组合的结果罗列出来，使学生学会用 更简洁、更抽象的方式来表达排列组合的方法。更为重要的是通过以上过程，引导学生思考如何搭配才能 不重复、不遗漏地把所有结果都呈现出来，发展学生有序思考的意识和能力。所用的材料数量也有所增加， 如，3 件衣服和 2 条裤子有多少种搭配，用 3 张数字卡片能摆出多少个三位数。 当然，如果教学实践证明分为这样两个层次进行教学没有太大必要，在下一轮教材修订时我们也可 以考虑将这两个层次进行整合。 四、如何把握“有余数的除法”这一单元的教学层次？ 解答：本单元的内容从大的方面来说可以分为三个层次：第一层次是借助分实物的过程，学习除法 竖式的写法，掌握余数比除数小的原理。第二层次是脱离实物，计算一个抽象的有余数除法式题。第三层 次是利用有余数除法解决实际问题。下面作一具体说明。 第一层次，利用平均分的概念，让学生在分实物的过程中理解什么是有余数除法。重点教学除法竖 式的写法，余数是怎样产生的，余数和除数的关系。 1如果平均分后正好分完，利用已学知识“表内除法”写出横式，再把横式改写成竖式，由于是 第一次接触除法竖式，教师需要介绍竖式中各部分的来源与写法。 2如果平均分后还有多余的，根据分的过程写出有余数除法的横式和竖式，重点掌握余数的含义， 即分到不能再分时剩下的数量。需要明确的一点是，此处横式中的商和余数都是通过“分”得到的，而不 是计算出来的，而竖式也只是横式的一种改写，还不涉及到计算的层面。 3保持总数不变，改变每份数（或保持每份数不变，改变总数），使学生发现分到不能再分时， 剩下的数量总是比每份数少，即余数比除数小。 第二层次，不再借助分实物，而是给出一个抽象的除法算式进行计算。在此过程中，需要学生学会 如何定商，而定商的原则就是除数和商的积必须小于（或等于）被除数，但同时又必须满足“余数小于除 10 数”这一条件。与第一层次不同，这儿的商和余数不是分实物的结果，而是利用定商原则通过抽象的计算 得到的。这一层次的内容在教材编写中体现得不是很充分，在教学时应作适当补充。 第三层次，利用所学的有余数除法的计算方法解决实际问题。这一层次的教学重点是引导学生结合 商和余数在实际情境中的含义正确写出相应的单位名称。 五、“时间的计算”中要求换算，但还没有学习整十数乘一位数，怎么处理？ 解答：在进行类似于“3 时等于多少分”“5 分等于多少秒”的换算时，由于还没有学习整十数乘 一位数，学生还不会计算 603、605。教学时，可以让学生用连加的方法进行计算，并注意出题时数 据不要太大。此外，还可以创造性地使用教材，先教学第六单元，再教学第五单元，这样，学生可以灵活 地运用连加和乘法这两种方法进行换算。 六、教材第 69 页例 1 第（1）小题在具体情境中把 210 看成 2 个 10 进行计算是否会造成学生对 乘法意义的理解错误？ 解答：自九年义务教育教学大纲修订后，不再把“几个几相加”和一个乘法算式唯一地对应。“2 个 3 相加”和“3 个 2 相加”都既可以列成“32”，也可以列成“23”，因此，本例中“每人 2 元， 10 人要多少钱”表示“10 个 2 相加”，这一具体含义是固定不变的，但列式可以是“210”，也可以是 “102”。在计算列出的抽象算式“210”时，我们可以脱离例题中的具体情境，既可以把它看成“10 个 2 相加”（与情境中的一致），也可以看成“2 个 10 相加”，这样可以达到计算简便的目的。因此， 此题中的“也可以把 210 看成 2 个 10”并非指具体情境中的乘法含义变成了“2 个 10 相加”，而仅仅 是为了使计算更便捷。 七、教材第 70 页的 298 估算成 308，正好可以解决问题，如果改成 328，仍然估算成 308，如果仍用估算值来判断，就会发生错误，怎么处理？ 解答：与原通用教材相比，实验教材在估算内容的编排上作了一些改变。 首先，估算的内容大大增加，估算的地位大大提高。从许多角度来讲，估算都是非常重要的一种计 算策略，我们可以将它作为解决实际问题的必要工具，也可以作为精确计算的重要基础，还可用于检验计 算结果是否大致合理。例如，我们在购物时，经常只需用估算就可以解决问题。在精确计算 32551 时， 一般都是先估算成 30050 进行试商。再如，对于 3462004 的运算结果，运用估算就可以判断是否正 确。 其次，估算的教学重点由单纯的技巧性训练转变到估算意识的培养。过去，我们教给学生的是相对 固定的估算方法，即先用“四舍五入”法求出算式中各项的近似值，再对近似值进行运算。实际上，在解 决实际问题时，根据不同的需要，我们可以采取不同的估算策略，只要能达到解决问题的目的即可。用 “四舍五入”法先求近似值再进行计算，固然是一种重要的估算方法，但不是唯一的方法。在估算的教学 中，更重要的是使学生形成估算的意识，根据不同的问题情境选择适当的估算策略，并能加以解释。在平 时的计算过程中也要引导学生自觉地运用估算方法对计算结果的合理性加以判断。应该说，培养估算意识 不仅仅是某一节课的目标，而应该将估算教学融于日常的计算教学中。 具体到第 70 页的例 2，要使学生理解，在解决实际问题时，有时不需要精确计算，用估算就可以了。 但也并不意味着只用估算就一定能解决问题，还要看所采用的估算策略对于具体的问题情境是否合适。估 算仅仅是解决实际问题的步骤之一。如本例中，把 29 估成 30，是估大了，说明即使有 30 个同学参加， 才需要 240 元，因此带 250 元肯定是够了。如果把 29 改成 32，把 32 估成 30，估算方法相同，但却还没 解决问题，还需要进一步考虑“少估了 2 个 8，即 16 元，而 240 元与 250 元相差 10 元，因此钱不够”， 这样才算是真正解决了问题。如果把 29 改成 23，照样可以把 23 估成 30，这里所用的方法就不是“四舍 五入”法，但对于解决这个问题却是非常有效的。 因此，脱离问题情境，孤立地说某种估算方法好或不好，是没有意义的。对于不同的问题情境，甚 至同一问题情境，可以灵活采用多样的估算策略。 八、教材第 83 页例 5“0 的乘法”与前后内容的教学难度不太一致，感觉深一脚浅一脚，是否可以 放到二年级上册“表内乘法”一单元？在教学这一内容时是否必须按教材所提供的思路进行？ 解答：“0 的乘法”一直以来都是编排在“多位数乘一位数”这一单元，这样做的主要目的是为后 面学习“一个因数的中间或末尾有 0 的乘法”打下必要的知识基础，使前后知识的联系更紧密。当然， “0 的乘法”的计算难度并不大，如果放到二年级上册学习，学生应该也是能够接受的。但是因为“表内 乘法”主要学习 1 到 9 的乘法口诀，而 0 是没有乘法口诀的，如果生硬地编排在一起，也是不太妥当的。 在编排上，教材采用的是顺向的思路，即通过情境列出 7 个 0 连加的算式，再根据乘法的意义改写 成乘法算式 700 和 070，再类推出其他的算式。教学时，也可以创造性地使用教材，先复习 0 的 加法和减法，知道 0 和任何数相加仍得该数，任何数减去 0 仍得该数，然后直接从 0 的乘法算式 70 和 07 入手，让学生猜想这两个算式的得数，引导学生利用乘法的意义把这两个算式转化为相应的连加算 式，求出得数。 九、因为以后还要正式学习“分数的意义和性质”，应该如何把握好本册教材中“分数的初步认识” 的教学要求？ 解答：本册教材主要是利用直观的方式，使学生通过折一折、涂一涂等动手操作的方式，初步理解 分数的意义，掌握分数的大小比较方法和分数的简单加减法。由于是初步认识，本册教材涉及到的分数， 分母都不超过 10。而以后要学的“分数的意义和性质”，逐渐脱离了直观方式的支持，更多的是从数系 11 发展的角度，认识分数产生的必要性，抽象地学习分数的一般意义和各种性质，并且，所有形式的分数都 在研究范围之内。 十、如何让学生理解“世界上每天都有人出生”等必然事件、不可能事件、可能事件？ 解答：在这里需要注意两个问题。第一，本单元所涉及到的“一定”“不可能”“可能”是概率论 中的术语，与生活用语完全不同，是指当我们多次观察自然现象和社会现象后，会发现在一定的条件下， 许多事情必然会发生，许多事情必然不会发生，还有许多事情是可能发生的。因此，我们讨论的事件一般 指的是客观事件，同时，又是在我们经验范围内发生的事件。所以，在教学时应避免举出“我一定会好好 学习的”的例子，这里的“一定”是一种生活用语，带有强烈的主观色彩，与概率论中“概率等于 1”的 含义截然不同。对于学生提出的超出人类认识经验的说法，如“如果太阳系爆炸了，地球每天都在转 动这句话就不是一定的了。”教师也应正确地加以引导。第二，如果有些事件超出了学生的认识范围， 教师应提供一些证据帮助学生理解。例如，学生无法理解“世界上每天都有人出生”，教师可以通过本地 区或全国、全世界每天有多少婴儿出生的数据使学生认识到世界上每天一定有人出生，如“中国平均每 4.15 秒就出生一个孩子，中国每天出生的人口大约是 2.08 万。” 十一、教材第 108 页例 3 中的实验结果如果与理论的发生矛盾怎么处理？ 解答：我们都知道，如果一个盒子里有 4 个红棋子和 1 个蓝棋子，随机地从盒子里摸出一个棋子， 摸出红棋子和蓝棋子的可能性都是存在的，如果把以上过程重复若干次，会发现在一般情况下，摸出红棋 子的次数比摸出蓝棋子的次数多，因此，我们说摸出红棋子的可能性更大。这种可能性的大小都是一种理 论上的值，与实验的结果有时会不一致，因为在实验中过程，有时小概率事件也有可能会发生，虽然发生 的可能性比较小。例如，在抽奖活动中，中奖的可能性比较小，不中奖的可能性比较大，但人们并不会因 为不中奖的可能性很大就不去抽奖了，而是满心期待小概率事件（中奖）的发生。 但是在小学阶段，学生对于抽象的、理论的可能性概念理解起来有一定的困难，只能借助实验的结 果来加以论证。虽然在一般情况下，不会出现小概率事件，但如果真的出现了，我们可以用以下的方式来 加以修正。例如，在实验之前，先不限定重复的次数，如果个别小组出现了这样的小概率事件，第一种方 法是继续增加实验的次数，因为从理论上说，实验的次数增加到无穷大，摸出某种颜色棋子的次数所占的 比就是摸出该种颜色棋子的概率。第二种方法是把全班所有小组的数据都整合起来，实际上原理与第一种 方法也是一样的，都是增加实验的次数。 十二、数学广角的“排列组合”问题与二年级上册的相关内容如何区分教学层次？ 解答：这两册教材中都编入了“排列组合”的内容，但教学要求是有所不同的。二年级只是让学生 通过动手操作的方式让学生排一排，初步感受排列组合的思想和方法，所用的材料数量也比较少，例如， 用 3 张数字卡片能摆出多少个两位数，2 件衣服和 2 条裤子有多少种搭配。而本册的教学重点则是让学生 用不同的方式（如学具操作，画简图、文字形式、字母形式）把排列组合的结果罗列出来，使学生学会用 更简洁、更抽象的方式来表达排列组合的方法。更为重要的是通过以上过程，引导学生思考如何搭配才能 不重复、不遗漏地把所有结果都呈现出来，发展学生有序思考的意识和能力。所用的材料数量也有所增加， 如，3 件衣服和 2 条裤子有多少种搭配，用 3 张数字卡片能摆出多少个三位数。 当然，如果教学实践证明分为这样两个层次进行教学没有太大必要，在下一轮教材修订时我们也可 以考虑将这两个层次进行整合。 12 四年级上册疑难问题解答 一、教材第 20 页提到“0 也是自然数，最小的自然数是 0”，这与九年义务教育小学 数学教科书中的说法不一致。这什么要做出这样的改动？ 从历史上看，国内外数学界对于自然数的定义一直存在着两种观点。 一种观点认为 0 不是自然数。例如, 意大利数学家皮亚诺于 1889 年提出了一组刻画自 然数特征的公理，包括以下五条：（1）1 是自然数。（2）任一自然数都有唯一自然数为 其后继数。（3）没有两个相异的自然数有同一后继数。（4）1 不是任何自然数的后继数。 （5）如果 1 具有性质 P，且任何具有性质 P 的自然数其后继数也具有性质 P，则一切自然 数都具有性质 P。从这组公理可以清楚地看到，皮亚诺把 0 划归在自然数之外的。再如， 上海辞书出版社出版的辞海（1999 年版）把自然数解释为：在人类历史发展的最初阶 段，由于计量的需要，用以表示个数的数目。首先有数目一，以后逐次加一，即得二、三、 四等等，统称为“自然数”。建国以来，我国的中小学教材一直采用自然数的这种定义， 用 N=1，2，3，4，5，来表示自然数集，而用 N*=0，1，2，3，4，5，表示扩展的 自然数集。 还有一种观点把 0 划归为自然数的范畴。例如，对现代数学基础有很大影响的法国布 尔巴基学派的数学原本中，从集合论的角度，把 0 作为空集的基数，这样，所有有限 集合的基数就都可以用自然数来刻画了。目前，国际上大多数国家也把 0 纳入自然数集中。 为了国际交流的方便，国家技术监督局于 1993 年 12 月 27 日发布的中华人民共和国国家 标准（GB31003102-93）量和单位第 311 页，就已经规定自然数集 N=0，1，2，3，。在现代汉语词典2005 年 6 月第 5 版中也把自然数定义成：零和 大于零的整数，即 0，1，2，3，4，5，。 根据上述原因，教材研究编写人员在对原九年义务教育教材进行修订和编写课程标准 实验教材时，依据有关国家标准对自然数的定义进行了修改，规定 0 属于自然数。 二、对于亿这样比较大的计数单位，怎样帮助学生建立相应的数感？ 新课标非常强调对学生数感的培养，教材中也在相关的单元编入了大量帮助学生建立 数感的素材。例如，在认识 20 以内的数、100 以内的数时，教材就注意通过估一估、数一 数等活动帮助学生形成对十、百等数量大小的感觉。但是，对于一些比较大的计数单位 （如万、亿），如何建立相应的数感？确实成为教师们教学中的困惑。 首先要说明一点，为了叙述方便，这儿所讲的数感仅仅指对一个数量相对大小的感觉 （事实上，数感有着更丰富的内涵，指的是关于数与数量表示、数量大小比较、数量和运 算结果的估计、数量关系等方面的感悟）。 数感的培养不是一两堂课就能达到目标的。因此，在日常教学中，需要时时处处进行 这方面的渗透