2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第14讲平几问题选讲

第 16 讲 平几问题选讲 平面几何在高中竞赛和国际竞赛中占有重要的地位，本讲将对平几中的一些典型问题 的选讲，强化解平几问题的典型思想方法. A 类例题 例 1 如图，已知正 方形 ABCD，点 E、F 分别在 BC、CD 上，且 BE+DF=EF，试求 EAF 的度数.（1989 年全国冬令营） 分析 注意到 BE+DF=EF，很容易想到“截 长补短”的方法 解 延长 CB 到 F，使得 BF= DF，连 结 AF显然 AFBAFD BAF=DAF，AF= AF 又EF =BE+BF=BE+DF，AE 为公共 边， AFEAFE EAF=EAF 又FAF=BAD=90， EAF =45 说明 本题AFB 可以看作是AFD 顺时针旋转 90 得到的；本题也可以延长 CD 或旋 转ABE . 例 2 如图，A、B、C 、D 为直线上四点，且 AB=CD，点 P 为一动点，若 APB= CPD ，试求点 P 的轨迹（1989 年全国初中数学联赛） 链接 本题若在 EF 上截取 EH=BE，是很难进行下去的，但我们可以用代数的方法来研 究，解法如下：过点 A 作 AHEF 于 H，由勾股定理得 AB2+BE2=AH2+EH2，AD2+DF2=AH2+FH2，两式相减可得 BE2-DF2=EH2-FH2，于是(BE -DF) (BE+DF)=(EH-FH)(EH+FH)，而 BE+DF=EH+FH所以 BE-DF=EH-FH，由 可得 BE=EH， DF=FH从而可得 AE 平分BAH，AF 平分DAH，所以 EAF=45 H F D CB A E F D C A B E F F D C A B E 分析 由于 已知的两个条件 AB=CD 和 APB= CPD ，分散在两个三角形中，需要把它们集中，于是可以进行平移或添加辅助圆 建立这两个已知条件间的联系. 证法一 分别过点 A、B 作 PC、PD 的平行线得交点 Q.连结 PQ. 在QAB 和PCD 中,显 然 QABPCD,QBA PDC. 由 AB=CD,可知 QABPCD. 有 QAPC ，QB PD，AQB CPD. 于是,PQAB，APB AQB. 则 A、B、P、Q 四点共圆，且四边形 ABPQ 为等腰梯形.故 APBQ.所以 PAPD. 即点 P 的轨迹是线段 AD 的垂直平分线 . 证法二 作PBC 的外接圆交 PA、PD 分别 为 E、F，连结 BE、CF， APB =CPD ， BE=CF， ABE=EPC =BPF =DCF . 又AB=CD， ABE DCF. PAB PDC. PAPD . 即点 P 的轨迹是线段 AD 的垂直平分线 . 说明 同样地，也可以作PAD 的外接圆，目的是建立条件 AB=CD 和APB=CPD 之间 的联系. 证法三 由三角形的面积公式易得 PAPB=PCPD，PA PC=PBPD，两式相乘，化简 得 PAPD . 即点 P 的轨迹是线段 AD 的垂直平分线 . 证法四 由正弦定理得 = , = , PAsinPBA ABsinAPB PDsinPCD CDsinCPD 从而 = ，同理可得 = ，而 PAsinPBA PDsinPCD PAsinPCB PDsinPBD sinPBA=sinPBD，sinPCD =sinPCB，化简得 PAPD. 即点 P 的轨迹是线段 AD 的垂直平分线 . DA B C P Q DA B C P FE DA B C P 例 3AD 是ABC 的高线，K 为 AD 上一 点，BK 交 AC 于 E，CK 交 AB 于 F.求证： FDAEDA. 分析 为了把已知条件之间建立联系，可以 通过作平行线 的方法. 证明 如图，过点 A 作 BC 的平行线,分 别交直线 DE、DF、BE 、CF 于 Q、P 、N、M. 显然， .NBDKC 有 BDAMDCAN. (1) 由 ，有PF AP . (2)BCA 由 ，有DQEN AQ . (3) 对比(1)、(2)、(3)有 APAQ . 显然 AD 为 PQ 的中垂线，故 AD 平分PDQ . 所以，FDAEDA . 说明 这里,原题并未涉及线段比,添加 BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这 些比例式,就使 AP 与 AQ 的相等关系显现出来.本题证明方法很多，例如可以过点 E、F 作 BC 的垂线，也转化为线段的比来研究 . 情景再现 1点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点，连 AF，CE，设 AF，CE 交于点 G， 则 等于（ ）ABCDGS矩 形四 边 形 A B C D 56 45 34 23 （2002 年全国初中数学竞赛试题） 2. 在ABC 中，D 为 AB 的中点， 分别延 链接 本题可以有更一般的结论，如:若仅已知APB=CPD ，求证： = ；请同学们 PA2PD2ABACABAC 自己研究 链接 若 K 为ABC 的垂心时，DEF 为垂三角形，对于垂三角形有如下性质：三角形的 垂线二等分其垂三角形的内角或外角.关于垂心的性质可参见本书高一分册第十七讲三角 形的五心 M P A Q N F B D C EK A C BD P F E A B C D E F G 长 CA，CB 到点 E，F，使 DE=DF；过 E，F 分别作 CA，CB 的垂线，相交于 P设线段 PA，PB 的中点分别为 M，N 求证：PAE =PBF (2003 年全国初中数学竞赛) 3如图，四边形 ABCD 为平行四边形， BAF BCE.求证：EBAADE. B 类例题 例 4 如图，AD 为ABC 的中线， E、F 分别在 AB、AC 上，且 DEDF，求证： BE+CFEF. 分析 由要证的结论，可联想到构造三 角形，运用两边之 和大于第三边解决问题.要构造三角形， 就要移动一些线段， 从而可以运用平移、旋转、作对称等 方法，于是有如 下证法. 证法一 延长 FD 到 F，使得 DF=DF，连结 BF、EF， 由 D 为 BC 的中 点，显然DBFDCF.于是 BF=CF，又因为 DE 垂直平分 FF，所以 EF=EF.在 三角形 BEF中， BE+BFEF.从而 BE+CFEF. 证法二 作点 B 关于 DE 的对称 点 B，连结 EB、DB 、FB.则 EB=BE，不 难得到 DB=DB=DC，BDFCDF.从而可知 B、C 关于 DF 对称，于是 BF=CF，在三角形 BEF 中，BE +BFEF.从而 BE+CFEF. 说明证法一也可以从中心对称角度来理解，F和 F 关于点 D 对称. 链接 常见的几何变换有： 一、平移变换 1定义:设 是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平PQ 面图形 F 上任一点 X 变到 X，使得 = ，则 T 叫做沿有向线段PQ E DGA B F C F D A B C E F F D A B C E B F D CB A E 的平移变换.PQ 2主要性质:在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角 形变为三角形，圆变为圆.两对应 点连线段与给定的有向线 段平行（共线） 且相等. 二、轴对称变换 1定义:设 l 是一条给定的直线， S 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上任一点 X 变到 X，使得 X 与 X关于直线 l 对称，则 S 叫做以 l 为对称 轴的轴对称变换. 2主要性质:在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行， 或者交于对称轴，且这两条直 线的夹角被对称轴平分. 三、旋转变换 1定义:设 是一个定角，O 是一个定点，R 是平面上的一个变换，它把 点 O 仍变到 O（不动点），而把平面图形 F 上任一点 X 变到 X，使得 O X=OX，且XOX=，则 R 叫做 绕中心 O，旋 转角为 的旋转变换.其中 0 时，为逆时针方向. 2主要性质:在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角. 四、位似变换 1定义:设 O 是一个定点，H 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上任 一点 X 变到 X，使得 =k ，则 H 叫做以 O 为位似中心，k 为位似X 比的位似变换.其中 k0 时，X 在射线 OX 上，此时的位似变换叫做外位似； kAC,O 点是它的外心,射线 AO 交 BC 边于 D 点. 已知：cosB +cosC=1， 求证：ABD 与ACD 的周长相等. 证明 作 OEAC、OFAB ，E、F 是垂足. 由三角形外心性质知： AOE=B ，AOF =C. 记 BC=a、CA=b、AB =c.于是 OAEFCBADASDC sinsin21bOEco1ocos 由余弦定理得 ；从而 BD= .acbaB22)( )(2cba 此时，AB+BD= =AC+CD.得证.1 说明 本题用到了正余弦定理，以及三角形面积公式，同时运用了代数的方法证了几何题. 情景再现 4ABC 中，B=2C，求证： 2ABAC( 2002 年江苏省数学夏令营试题） 5已知同一平面的两个三角形 A1B1C1， A2B2C2，并且 A1 到 B2C2 的垂线，B 1 到 C2A2 的垂 线，C 1 到 A2B2 的垂线交于同一点 P. 求证：A 2 到 B1C1 的垂线，B 2 到 C1A1 的垂 线，C 2 到 A1B1 的垂线也交于同一点. O A B CD F E A2 B2 C2 P C1 B1 A1 6.在ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,点 M 在 AB 边上,点 N 在 AC 边上,并且MDN90.如 果 BM2CN 2DM 2DN 2,求证：AD 2 (AB2AC 2).41 C 类例题 例 7如图，O 是ABC 的边 BC 外的旁切圆,D、E、F 分别为O 与 BC、CA、AB 的 切点.若 OD 与 EF 相交于 K,求证：AK 平分 BC. 证明 如图，过点 K 作 BC 的行平线分别 交直线 AB、AC 于 Q、P 两点,连 OP、OQ 、OE 、OF . 由 ODBC，可知 OKPQ. 由 OFAB ，可知 O、K、F、Q 四点共圆， 有 FOQ FKQ. 由 OEAC，可知 O、K、P、E 四点共圆.有 EOPEKP . 显然，FKQEKP，可知 FOQ EOP. 由 OFOE，可知 Rt OFQRtOEP . 则 OQOP. 于是，OK 为 PQ 的中垂线，故 QKKP. 所以，AK 平分 BC. 链接 本题用到了直线束的一个性质，所谓直线束就是：经过一点的若干 条直线称为一组直线束. 一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上 截得的线段也相等. 如图，三直线 AB、AN、AC 构成一组直线 束,DE 是与 BC 平行的直线.于是,有 ，BNDMACE 即 或 .NB 此式表明,DM ME 的充要条件是 BNNC . 利用平行线的这一性质,可以很漂亮地解决某些线段相等的问题. 例 8 如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形 相似.其逆亦真. 证明 将ABC 简记为，由三中线 AD，BE，CF 围成的三角形简记为.G 为重心，连 DE 并延长到 H，使 EH=DE，连 HC，HF，则就是 HCF. A O E P CBF Q K AD B N C E M H E D F A B C (1)a2，b 2，c 2 成等差数列 . 若ABC 为正三角形，易证. 不妨设 abc，有 CF= ，221 BE= ， AD= .22acb 将 a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得 CF= ，BE= ，AD = .3c23 CF:BE:AD = : :ab =a:b:c. 故有. (2) a2，b 2，c 2 成等差数列. 当中 abc 时， 中 CFBEAD . ， ( )2.SaCF 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的 ”，有 = .43S43 = 3a2=4CF2=2a2+b2-c22CF a2+c2=2b2. 例 9 四边形 ABCD 内接于圆，BCD，ACD， ABD ，ABC 的内心依次记为 IA， IB， IC，I D.试证：I AIBICID 是矩形 . (第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题) 证明 连接 AIC，AI D，BI C，BI D 和 DIB.易得 AI CB=90+ ADB=90+2121 ACB=AI DB A，B，I D，I C 四点 共圆 . 同理，A，D，I B，I C 四点共圆 .此时 AI CID=180-ABI D =180- ABC ，21 ABCDIDAIB AI CIB=180- ADIB=180- ADC，21 AI CID+AI CIB =360- (ABC+ADC)21 =360- 180=270. 故I BICID=90. 同样可证 IAIBICID 其它三个内角皆为 90.该四边形必为矩形 . 说明 本题的其他证明可参见中等数学1992；4 例 10 设 D 是 的边 BC 上的一点， 点 P 在线 段 AD 上，过点 D 作一直线分 别与线段 AB、PB 交于点 M、 E，与线段 AC、 PC 的延长线交于点 F、 N.如 果 DE=DF， 求证：DM=DN. (首届中国东南地区数学奥林匹 克) 证明 对 和直线 BEP 用梅涅AD 劳斯定理 得： ，1()PEMB 对 和直线 NCP 用梅涅劳斯定理得： ，F 1(2)ACFNDP 对 和直线 BDC 用梅涅劳斯定理得：A 3BM （1）（2）（3）式相乘得： ，又 DE=DF，DEF 所以有 ，MND 所以 DM=DN. 说明 本题是直线形，当然可以用解析法，请同学们试一试. 链接 本题用到了梅涅劳斯定理，在几何中有很多名定理，同学们可 以参考本书高一分册第十八、十九 讲的内容.这些名定理中有些看上去很 简单，但证明却并不容易，例如著名的斯坦 纳定理，这一定理有几百种丰 富多彩的证明，但大多是间接 证法，直接 证法难度颇大.一百多年来，吸引 了许多数学家和数学爱好者.经过大家的努力，出 现了许多构思巧妙的直 接证法.下面给出德国数学家海塞（L.O.Hesse,18111874 ）的 证法，供大家 欣赏. 如图，ABC 中，BD、CE 是两角平分线，且 BD=CE，求证： AB=AC. 证明：作 ，并取BDFCE F A D C P M NB E F E D CB A DF=BC，使 F 与 C 分居于直线 BD 的两侧，如图所示.连结 BF，由已知 BD=CE，得 . .连结 CF，BDE,BFECB 设 ，则2,A(180)180(),F(2)().CDBFCDBE 因为 ，所以180 .在钝角9,180()90FB 中，BC=DF，CF =FC，所以CD ，BF=CD，即 BE=CD.于是有 ，BCDE .所以 AB=AC.E 情景再现 7设点 D 为等腰 的底边 BC 上ABC 一点，F 为过 A、 D、 C 三点的圆在 内的弧上一 点，过 B、 D、 F 三点的圆与边 AB 交于点 E.求 证： .(首届中EF 国东南地区 数学奥林匹克) 8. 如图，O、H 分别是锐角ABC 的外 心和垂心， D 是 BC 边的中点，由 H 向A 及其外 角平分线作 垂线，垂足分别是 E 是 F.证明： D、E、F 三点 共线.（2004 年全国高中数学联赛四川 省初赛） 习题 16 D 1 2 3 E F B A C F E H D A O CB P O A B CD 1正方形 ABCD 的中心为 O，面积为 1989 2.P 为正方形内一点，且OPB=45， PA:PB=5:14.则 PB=_.(1989 年全国初中联赛) 2.如图,在ABC 中,AB AC ,D 是底边 BC 上一 点,E 是线段 AD 上一点且 BED2CEDA.求证：BD2CD. 3.如图，等腰三 角形 ABC 中， P 为底边 BC 上任 意点，过 P 作 两腰的平行线分别与 AB，AC 相 交于 Q，R 两点， 又 P的对称点， 证明：P在ABC 的外接圆上.( 2002 年全国初中数学联合竞赛试卷) 4.设点 M 在正三角形三条高线上的射影分别是 M1，M 2，M 3(互不重合) .求证：M 1M2M3 也是正三角形 . 5.在ABC 中,BD、CE 为角平分线,P 为 ED 上任意一点.过 P 分别作 AC、AB、BC 的垂线, M、N、Q 为垂足.求证：PMPNPQ. 6.在 RtABC 中，AD 为斜边 BC 上的高，P 是 AB 上的点，过 A 点作 PC 的垂线交过 B 所 作 AB 的垂线于 Q 点 .求证： PD 丄 QD. 7.设 M1、M 2 是ABC 的 BC 边上的点,且 BM1CM 2.任作一直线分别交 AB、AC、AM 1、AM 2 于 P、Q、N 1、N 2.试证： .APBC12A 8.AD，BE，CF 是锐角ABC 的三条高 .从 A 引 EF 的垂线 l1，从 B 引 FD 的垂线 l2，从 C 引 DE 的垂线 l3.求证：l 1，l 2，l 3三线共点 . 9. AD 是 RtABC 斜边 BC 上的高,B 的平分线交 AD 于 M,交 AC 于 N.求证： AB2AN 2BMBN. 10已知等腰ABC 中， BAC=100，延长线段 AB 到 D，使 得 AD=BC，连 B D C A A B CD E A Q R PB C P 结 CD，试求BCD 的度数. 11.圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线，切点为 A，B. 所作割线交圆于 C，D 两点，C 在 P，D 之间.在弦 CD 上取一点 Q，使 DPC求证： .QPA 12.已知两个半径不相等的圆 O1 与圆 O2 相交于 M、N 两点，且圆 O1、圆 O2 分别与圆 O 内 切于 S、T 两点.求证：OMMN 的充分必要条件是 S、N、T 三点共线. （1997 年全国高中 数学联赛） 本节“情景再现”解答： 1解一：连结 AC，从而可得 G 为ABC 的重 心，于是 CG=2GE， AECAGS32 显然 BD41矩 形SBEC AD6矩 形AG 从而 ABCDABCD32612矩 形矩 形四 边 形 ）（ SSSAGCC 即 = 因此选 DABCDGS矩 形四 边 形 23 解二：连结 AC、BD，AC 与 BD 相交于点 O则ABC 的 面积被分为 6 等份同理可把ADC 的面积等 分为 6 份显然 四边形 AGCD 占有 8 份，即ABCDGS矩 形四 边 形 321 因此选 D 2. 解析 分别取 PA、PB 的中点 M、N， 连结 EM、DM、MN、DN、NF，在 RtAEP 中，EM= AM=MP，又 DM 为ABP 的中位线，可得 同理，BPDM21 FN=BN=NP，且 ，从而 EM=DN，DM= NF又DE=DF，EMD APDN21 DNFEMD= DNF又 1= 3=2，AME=BNF从而可得 PAE=PBF 3证明：如图，分别过点 A、B 作 ED、EC 的平 行线,得交点 P,连 PE.由 AB CD,易知PBAECD.有 / = P E DGA B F C O A C BD P F E M N 1 2 3 A B CD E FG A B C D E FG PAED ，PBEC.显然,四边形 PBCE、PADE 均为平行四边形.有 BCEBPE，APE ADE.由BAFBCE，可知 BAFBPE.有 P、B、A、E 四点共圆.于是,EBAAPE.所以,EBAADE. 4证明：延长 CB 到 D，使 BD=AB， 连结 AD，则 AB+BDAD，即 2ABAD AB =BD，BAD= DABC=2D 而 ABC=2C ， C =D AC=AD 2AB AC 5解：设 B2 到 C1A1 的垂线，C 2 到 A1B1 的垂线相交于 Q.则 （1）1P （2）22A （3）212AB （4）1QC （5）2212BA 五式相加得 即 从而 A2QB 1C1.2121 21212QCBA 6.证明：如图，过点 B 作 AC 的平行线交 ND A2 B2 C2 P C1 B1 A1 A C B D A N CD E B M 延长线于 E.连 ME.由 BDDC，可知 EDDN.有BEDCND.于是，BENC .显然， MD 为 EN 的中垂线.有 EMMN.由 BM2BE 2BM 2NC 2MD 2DN 2MN 2EM 2，可 知BEM 为直角三角形， MBE 90.有ABC ACBABCEBC90.于是， BAC90.所以，AD 2 (AB2AC 2).1BC4 7证明：设 AF 的延长线交BDF 于 K，AEF =AKB， AEFAKB 因此 .于是要证（1），,EBAKF只需证明： (2)CDBKFABD 又注意到 .DFC 我们有 ，进1sin2CKSB一步有 ，因此要证si ABDK （2），只需证明 （3）而DAKS （3）/(4)A 事实上由 知（4）成立，得证.FC 8.证明：连结 OA，OD，并延长 OD 交ABC 的外接圆于 M，则 ODBC ， ，A、E、M 三点共线.AE、AF 分别是ABC 的A 及其外角平分线， BM MC AEAF.又HE AE，HFAF，四边形 AEHF 为矩形.因此 AH 与 EF 互相平分，设 其交点为 G，于是：AG AH EFEG.而 OAOM，且 12 12 ODAH，OAMOMAMAG GEA.故 EGOA (1) O、H 分别是ABC 的外心和垂心，且 ODBC ，OD AHAG，因此，若连结 12 DG，则四边形 AODG 为平行四边形 从而 DGOA . (2) 由(1)和(2)知，D、E、G 三点共线，但 F 在 EG 上，故 D、E、F 三点共线 . D 1 2 3 E F B A C G F E M H D A O CB POABCD “习题 16”解答： 1解：答案是 PB=42 .连接 OA，OB .易知 O，P，A，B 四点共圆，有 APB= AOB=90.故 PA2+PB2=AB2=1989.由于 PA:PB=5:14，可求 PB. 2.证明：如图,延长 AD 与 ABC 的外接圆相交于点 F,连 结 CF 与 BF,则 BFABCAABCAFC ,即 BFDCFD.故 BF:CFBD:DC .又 BEF BAC,BFE BCA,从而 FBE ABCACBBFE.故 EBEF.作BEF 的平分线交 BF 于 G,则 BGGF. 因GEF BEFCEF,GFECFE ,故FEGFEC.从而 GFFC.于是,21 BF2CF.故 BD2CD . 3.提示：连结 BP、PR 、PC、PP，（1）证四边形 APPQ 为平行四边形；（2）证点 A、R、 Q、P共圆；（3）证BPQ 和PRC 为等腰三角形；（4）证PBA= ACP，原 题得证. 4.略. 5.证明：如图,过点 P 作 AB 的平行线交 BD 于 F,过点 F 作 BC 的平行线分别交 PQ、AC 于 K、G,连 PG.由 BD 平行ABC,可知点 F 到 AB、BC 两边 距离相等.有 KQPN.显然, ,可知 PGEC .由PDEGCCE 平分BCA,知GP 平分FGA .有 PKPM.于是 ,PMPNPKKQPQ . 6.提示：证 B，Q，E，P 和 B，D ，E ，P 分别共圆。 7.证明：如图,若 PQBC,易证结论成立.若 PQ 与 BC 不平行,设 PQ 交直线 BC 于 D.过 点 A 作 PQ 的平行线交直线 BC 于 E.由 BM1CM 2,可 知 BECEM 1EM 2E,易知 ,AP ,AQCE , .则 1AND2B .所以, .ECBE11AN2MAPQC1NM2A 8.提示：过 B 作 AB 的垂线交 l1于 K，证：A，B，K ，C 四点共圆. 9.证明：如图,234590,又 34,15,12.从而,AMAN.以 AM 长为半径 作A,交 AB 于 F,交 BA 的延长线于 E.则 AEAFAN .由割线定理有 BMBNBFBE E A N CDB