上海海事大学试卷《高等数学a(一)》(a卷)

上 海 海 事 大 学 试 卷 2010 2011 学年第一学期期末考试 高等数学 A（一）（A 卷） 解答 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 3 小题, 每小题 4 分, 共 12 分) . )( ;)( ; 202coslim1不 存 在 ， 但 不 是 无 穷 大为 无 穷 大 等 于 等 于 ）（的 值 为、 DCBAAxx个 不 同 的 实 根 有 有 三 个 不 同 的 实 根 有 唯 一 实 根 无 实 根 ）（则 方 程适 合、 设 5)()( 043,53,252 Bcbxaxbab 为 正 常 数 恒 为 零 为 负 常 数 不 为 常 数 ）（则、 设 )()(,32sinDCBADxFdtexFx 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 2 小题, 每小题 4 分, 共 8 分) 1、 的 值 为0limxex21 2、设 均为非零向量，满足 ，abc, cbacbac, 则 = 3 三 计算题（必须有解题过程，否则不给分） （本大题分 10 小题，每题 6 分，共 60 分） 1、极限 xx2)4(lim 6 分84liex原 式 2、 )0(,)cos()( yxyyxy 求确 定由 方 程设 - 装 订 线- - 2 解： ， 4 分yxyxye)sin()( 6 分20,.0时当 3、 求 dx145 解： 1 分令 ， 452tt() 4 分原 式 1823()d 6 分6 4、 .d)1(arctnx求 解： x)(rt 3 分)d(arctnarct2x 6 分（遗留 C 扣 1 分）Cx2)(n 5、 点 处 的 连 续 性 和 可 导 性在试 讨 论， ，已 知 0)( ,0cos)(20 xfxtdf 解： 2 分0)(lim)(lics)(200fxftfx又 3 分 在 点 处 连 续 5 分0lim)0(li)0(cosmcosli)(li)( 200 xxff xtdxffxxx 第 3 页 共 6 页 6 分ffx()()00， 在 点 处 可 导 ， 试 求 ： 斜 率 等 于 处 的 切 线， 且 它 在 原 点通 过 原 点具 有 连 续 导 数 ， 又 曲 线、 设 函 数 xdtffyxsin)(lm1 00)(60 解： 2 分，由 题 意 知 ， 1)()(ff 4 分 li()snli()scosxxftdfx00 5 分minx2 6 分1f() 7、 ） 为 驻 点 ，使 得 点 （中 的试 确 定 42,23 dcbacbay （1，10）为拐点。 解： ， ），） ， （，曲 线 过 点 （ 10,6,2 xyx 故有： ， 3 分10448dcba 又（2，44）为驻点，（1，10）为拐点， ， 5 分26)(y 解方程得 6 分.1,24,3,1dcba 8、 求 02cosxd 解： 3 分0sin2inx原 式 6 分0ccs2x 9、 1010)l(dxdx大 小 与不 计 算 积 分 ， 试 比 较 解： 由 微 分 中 值 定 理 ， 可 得 4 3 分ln()110xxx， 6 分所 以 l00d （本题也可以用单调性 ，如直接计算不给分）xxf1)ln() 10、求过 与平面 平行且与直线P0423(,):yz00152:zyxl 垂直的直线方程。 解： 的法向量为 ， ， 2 分1,nSijk12010, ， 4 分3,21S 6 分xyz4 四、应用及证明（20 分） 1、（本题 7 分） 才 使 盒 子 的 容 积 最 大问 小 方 块 的 边 长 为 多 少方 盒 子 作 成 一 个 无 盖 的方 块从 四 个 角 截 去 同 样 的 小的 正 方 形 铁 皮设 有 一 块 边 长 为, ,a 3 分 设 小 方 块 的 边 长 为 则 盒 子 的 容 积 为 xVxaaxa,(),240223x186唯 一 驻 点 ： 6 分Vxaxax6624840() 7 分即 为 极 大 值 点 也 是 最 大 值 所 以 小 方 块 边 长 为 时 盒 子 的容 积 最 大 a, , 2、（本题 7 分） 第 5 页 共 6 页 轴 旋轴 所 围 成 的 平 面 图 形 绕处 的 切 线 和及 抛 物 线 在求 抛 物 线 xxxy)3,0()3(2.转 而 成 的 立 体 的 体 积解 :,2ydx 1 分x(,)(,)030312 2 分切 线 :yx 5 分 与 轴 交 点 Vdxdxx(,).()()631230006203 7 分.18729 3、设 在0，1上连续，在（0，1）内可导，且有)(xf ，证明必存在 。20)(dxfef )(1(),10