中国矿业大学(徐州)08-09数学分析2试题a卷及答案

中国矿业大学 0809 学年第二学期 数学分析(2)试卷（A ）卷 考试时间：120 分钟 考试方式：闭卷 院系_ _班级_ _姓名_ _学号_ _ 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得 分 阅卷人 一 填空题（每空 3 分,共 30 分） 1 . xtxtx ee020ddlim2 2 .0arcsinx 3星形线 的周长为 .33o,sin,02tyat 4心形线 所围图形的面积为_ _.(1c)r)( 5 ； . (若收敛,则填入积分值；否则,填 22)(lndx102)(lndx 入“ ”.) 6 _ _.（填入“绝对收敛” 、 “条件收敛” 、 “发散”三者之一） 12)(nn . 7设 ，则 ；yxyxf 2),( ),(lim)0,(),(yxfyx ； .(若极限存在，则,lim0fxylifyx 填入极限值；否则，填入“不存在”.) 2 二（10 分）设 在 上连续，且 ，则f),00)(xf ，xtf t0d)()( 为 上的严格增函数.),0( 三（10 分）证明：若 在 上可积，且 ，则 f,ba),(0)(baxxf 在 上可积.)(lnxf,ba 3 oRxy四（10 分）设一平面通过半径为 的圆柱体的底圆中心,且与底面的夹角为 ，求截得R楔形体的体积. 五（10 分）设数列 收敛，级数 也收敛，证明级数 收敛.na11()na 1na 六（10 分）求幂级数 的和函数(指出收敛域). 1)(nnx 七（10 分）求函数 4 在 处的幂级数展开式,并确定它收敛于该函数的区间. 21)(xxf0 八（10 分）把函数 展开为傅里叶级数.xxf,sin)( (提 示 ： ，)cos()co21sin )sin(2 1cosin )si 5 中国矿业大学 0809 学年第二学期 数学分析(2)试卷（A ）卷 参考答案 一 填空题（每空 3 分,共 30 分） 1 ； 2 ； 3 ； 4 ；012 6a23a 5 ； ； 6条件收敛； 7不存在； ； .ln1 二（10 分）设 在 上连续，且 ，则f),00)(xf ，xtf t0d)()( 为 上的严格增函数.),0( 证: 20 0d)(d)()()( xxxtftftfx0,d)(20 xtftxf 所以 上的严格增.)(x, 三（10 分） 证明：若 在 上可积，且 ，则 f,ba ),(0)(baxxf 在 上可积)(lnxf,ba 证：由 ，从而有界，即存在正数 ,使得 .又任RM(),afx 给 ，则存在分割 ，使得0T 6 .fiTxa 对于 上 所属的每一个 ，利用 Lagrange 中值定理有,abTiln,supl()ln()ifixffx (其中 在 与 之间).,1ixff 1fiai()fxf 所以有 ，ln1f fiiiTTxxa1a 也就是 .,lnbaRf 四（10 分）设一平面通过半径为 的圆柱体的底圆中心,且与底面的夹角为 ，R 求截得楔形体的体积. 解: 建立坐标系如右图,则底圆的方程为 .22yx 过点 作垂直于 轴的截面,得,R .,tan)(21tan21)( 2RxRyxA 则楔形体的体积为 .ta3dt)(d)(2xVRR 五（10 分）设数列 收敛，级数 也收敛，证明级数na)1na 收敛.na 证: 由条件,不妨设 , .nalim 11)(nnaA)()(2)()( 10011 nnkka 7 , 10nka 即有 . nkknk aa1110 )( 上式两边,令 ,得 .Aaanakkk 110 )(lim 这就证得级数 收敛.n 六（10 分）求幂级数 的和函数(指出收敛域). 1)(nnx 解： .1)2(limli1 aRnn 当 ，级数发散，所以收敛域为 。x , 111 )()(nnn xx1nx1nx ， . x23)(x),( 七（10 分）求函数 在 处的幂级数展开式,并确定它收敛21xf0 于该函数的区间. 证： )1(2(1)(2xxxf 13 8 2)1(300nnnx ， 。0)(nn)21,( 八（10 分）把函数 展开为傅里叶级数.xxf,si 解： 。 10co2sinnax