【高中数学】反三角函数解析

反三角函数 考试要求 理解反正弦函数、余弦函数和反正切函数的概念，知道它们的基本性质和图象。会用计算 器求反三角函数的值和用反三角函数的值表示角的大小。通过实例引出三角方程的概念， 掌握最简三角方程的解集，会解简单的三角方程。 【说明】简单的三角方程指形如： ， ，sinAxasincosxb ， 等类方程。2sin0aixbc2co0aib 一、反三角函数 知识梳理 1、反三角函数的性质与图像 反三角 函数 arcsinyxarcosyxarctnyx 定义域 1,1, 值域 ,20,2 奇偶性 奇函数 非奇非偶 偶函数 单调性 增函数 减函数 增函数 图像 2、常用关系式 1) arcsinarcsin,1,xxsinarc,x1, arcsin,x,2 2) oarcos,1,xcosar,x1,arcs,x0 3) ，arctn)tn(Rxtanrct,xRarct,2x 典型例题 例 1 下列命题中正确的是（ D ） A函数 xysin与 xyarcsin互为反函数 B函数 与 都是增函数 C函数 i与 i都是周期函数 D函数 xys与 xyarcs都是奇函数 类题 已知 与 ，下列说法正确的有（A ）sinarcsin 互为反函数 都是增函数 都是奇函数 都是周期函数 （A）1 个（B ）2 个（C）3 个（D）4 个 例 2 计算： _；（ ）5arcos1sin 5 类题 计算： _)3rst( 例 3 已知 ，则 的取值范围是_65,)arcos(in32,0 例 4 已知函数 ；f(x)=(2) (1)求 f(x)的定义域； 官网：http:/www.pedu.love 中小学一对一课外辅导 (2)写出函数 ()fx的值域； (3)求函数 ()f的单调递减区间； 类题 1、函数 的定义域是1arcos2xf _（ ）0,2, 2、函数 的值域是_)arcos(2xy ,41arcos 3、函数 的定义域为_；216tns 4、函数 y = arccos(sinx), ( )的值域为.365,0 5、函数 的定义域是 ，则值域为 .arcos2, 解： .因为 ，故 ，所以,622,3x1cos,2x,.62y 5、求函数 的定义域和值域y)arcos(2x 解：12 1 ，解得： ，1 2x2 又 2 2 ， 2 1，2)4(88x 得： 0， yarcos 6、求函数 的最大值与最小值，并求取得最大、最小值时的2inrinxx 值。x 解：设 ，则 ，所以 ，arcsinxt,22213ytt 当 时， ，这时 ，1tmin3yarcsin1,sinx 当 时， ，这时 .2t 2ax4ri,12x 例 5 若 ，则 的取值范围是（ ）)1rcos(arsx A B C D0x20210x12x 类题 不等式 的解集为_xxarcos)12arcos(21, 提高练习 研究函数 的性质（定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性） ，并画)arcos()(xxf 出 的图像；2,0 二、三角方程 知识梳理 1、最简三角方程 最简单的三角方程的解法，即形如 sinx=a，cosx=a，tgx=a，ctgx=a 的方程的解法，主要借 助了图象或三角函数线先确定一个周期上的角的代表，而后利用该函数的周期性特点，再 写出符合方程的所有角。 最简三角方程的解集，见下表： 方程 方程的解集1a2arcsin,xkkZsinxa(1) 官网：http:/www.pedu.love 中小学一对一课外辅导1a2arcos,xkkZcosxatanx arctn,xkk 2、简单三角方程 类型 1： ；si()Ax 类型 2： ；anbcos2+0ab 类型 3： ；2sixi 类型 4： ；=0anbcosx 类型 5：同名三角函数相等模型： ； ；infxsi=cosfx ；=tfxt co 类型 6：含 的三角方程sincoxsi 典型例题 例 1 已知 ,0,1sin2 ，则 =_ 类题 的解集是1sin2x(1),6kxZ 例 2 三角方程： ， 的解是 _2cosin3,0x 类题 方程： 的解集是_cos2incos1xx,()24xkxkZ 例 3 （2010 年理 15） “ ”是“ ”成立的（）24kZtan1 充分不必要条件. 必要不充分条件.AB 充分条件. 既不充分也不必要条件CD 【答案】 类题 1、(上海市松江区 2011 届高三下学期质量调研文科)方程 的解集为（）2tanx （A） （B）2arctn,xkkZrct,kkZ （C ） （D） (1)ax 2、 （ 2011 文 17）若三角方程 与 的解集分别为 和 ，则（ ）si0xsi2EFA A B C D EFEFEF 解下列三角方程： （1 ） （2 ）3 10；23cos840xx2cosin 解： 2 ， Z