怎样证明弦切角

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 怎样证明弦切角 怎样证明弦切角 设圆心为 o， 连接 oc，ob， oa。过点 a 作 tp 的平行 线交 bc 于 d， 则tcb=cda tcb=90- ocd boc=180-2ocd ,boc=2tcb boc=2cab tcb=cab 2 接 oboc 过 o 做 oe bc 所以a=1/2 又因为oct=90 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 oec=90 所以eoc=tcb 所以tcb=a 3 温馨提示 设切点为 a 切线 ab 弦 ac 圆心为 o 过 a 作直径 ad 连 oc 角 cab 等于 90 度减角 dac 因为 oa 等于 oc 所以角 aoc 等于 180 度减去二倍的角 dac 即可证明角 aoc 等于二倍的角 cab 参考资料：弦切角是这弦所对的 圆心角的一半 4 线段 ad 与线段 ef 互相垂直平分。 证明:设 ad 交 ef 于点 g. 因为 ap 为切线，所以弦切角等 于所对的圆周角，即pac=b， 又因为 ad 平分bac，所以 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 dac=bad， 从而pac+dac=b+bad, 而pac+dac=pad， b+bad=pda，所以 pad=pda，则pad 为等腰三 角形， 因 pm 平分apd，所以 pm 垂直 平分 ad，则 ef 垂直平分 ad， 从而 ad 垂直 ef， 则age=agf=90， 再由gaf=gae ，得到 eagfag， 从而 eg=fg，从而 ad 也垂直平分 ef。 5 圆心 o 在bac 的一边 ac 上 ac 为直径，ab 切o 于 a， 弧 cma=弧 ca 为半圆, -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 cab=90=弦 ca 所对的圆周角 圆心 o 在bac 的内部. 过 a 作直径 ad 交 o 于 d, 若在优弧 m 所对的劣弧上有一点 e 那么，连接 ec、ed、ea 则有： ced=cad 、dea=dab cea=cab 圆心 o 在bac 的外部, 过 a 作直径 ad 交 o 于 d 那么 cda+cad=cab+ cad=90 cda=cab 编辑本段弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 两个弦切角也相等 应用举例 例 1：如图，在 rtabc 中， c=90，以 ab 为弦的o 与 ac 相切于 点 a，cba=60,ab=a 求 bc 长. 解：连结 oa，ob. 在 rtabc 中,c=90 bac=30 bc=1/2a 例 2：如图，ad 是 abc 中bac 的平分线，经过点 a 的 o 与 bc 切于点 d，与 ab，ac 分别相交于 e，f. 求证：efbc. 证明：连 df. ad 是 bac 的平分线bad=dac efd=bad efd=dac o 切 bc 于 dfdc=dac -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 efd=fdc ef bc 弦切角逆定理证明 已知角 cae=角 abc，求证 ae 是圆 o 的切线 证明：连接 ao 并延长交圆 o 于 d，连接 cd， 则角 adc=角 abc=角 cae 而 ad 是直径，因此角 acd=90 度， 所以角 dac=90 度-角 adc=90 度-角 cae 所以角 dae=角 dac+角 cae=90 度 故 ae 为切线 弦切角定理证明 弦切角定理 编辑本段弦切角定义 顶点在圆上，一边和圆相交，另 一边和圆相切的角叫做弦切角。 tcb=cab 证明已知：ac 是o 的弦，ab 是 o 的切线，a 为切点，弧是弦切角 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 bac 所夹的弧. 求证： 证明：分三种情况： 圆心 o 在bac 的一边 ac 上 ac 为直径，ab 切o 于 a， 弧 cma=弧 ca 为半圆, cab=90=弦 ca 所对的圆周角 圆心 o 在bac 的内部. 过 a 作直径 ad 交 o 于 d, 若在优弧 m 所对的劣弧上有一点 e 那么，连接 ec、ed、ea 则有： ced=cad 、dea=dab cea=cab 圆心 o 在bac 的外部, 过 a 作直径 ad 交 o 于 d -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 那么 cda+cad=cab+ cad=90 cda=cab 编辑本段弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这 两个弦切角也相等 应用举例 例 1：如图，在 rtabc 中， c=90，以 ab 为弦的o 与 ac 相切于 点 a，cba=60,ab=a 求 bc 长. 解：连结 oa，ob. 在 rtabc 中,c=90 bac=30 bc=1/2a 例 2：如图，ad 是 abc 中bac 的平分线，经过点 a 的 o 与 bc 切于点 d，与 ab，ac 分别相交于 e，f. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 求证：efbc. 证明：连 df. ad 是 bac 的平分线bad=dac efd=bad efd=dac o 切 bc 于 dfdc=dac efd=fdc ef bc 例 3：如图，abc 内接于o，ab 是o 直径，cd ab 于 d， mn 切o 于 c， 求证：ac 平分mcd，bc 平分 ncd. 证明：ab 是o 直径 acb=90 cd ab acd=b， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 mn 切o 于 c mca=b， mca=acd ， 即 ac 平分mcd， 同理：bc 平分ncd. 弦切角定理的证明 弦切角定 理：定义弦切角定理：弦切角的度数等 于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦 切角定理证明 证明：设圆心为 o，连接 oc，ob，oa。过点 a 作 tp 的平行线交 bc 于 d， 则tcb=cda tcb=90- ocd boc=180-2ocd ,boc=2tcb 证明：分三种情况： 圆心 o 在bac 的一边 ac 上 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 ac 为直径，ab 切o 于 a， 弧 cma=弧 ca 为半圆, 圆心 o 在bac 的内部. 过 a 作直径 ad 交 o 于 d, 那么 . 圆心 o 在bac 的外部, 过 a 作直径 ad 交 o 于 d 那么 2 连接并延长 to 交圆 o 于点 d，连 接 bd 因为 td 为切线，所以 td 垂直 tc， 所以角 btc+角 dtb=90 因为 td 为直径， 所以角 bdt+角 dtb=90 所以角 btc=角 bdt=角 a 3 编辑本段弦切角定义顶点在圆上， 一边和圆相交，另图示一边和圆相切的 角叫做弦切角。tcb=cab 证明已 知：ac 是o 的弦，ab 是o 的切线， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 a 为切点，弧是弦切角 bac 所夹的弧. 求证：证明：分三种情况：圆心 o 在 bac 的一边 ac 上ac 为直径， ab 切 o 于 a， 弧 cma=弧 ca为半圆, cab=90=弦 ca 所对的圆周角 b 点应 在 a 点左侧圆心 o 在bac 的内部.过 a 作直径 ad 交 o 于 d,若在优弧 m 所对 的劣弧上有一点 e 那么，连接 ec、ed、ea 则有： ced=cad 、dea=dabcea=c ab圆心 o 在 bac 的外部,过 a 作直径 ad 交o 于 d 那么 cda+cad=cab+ cad=90cda= cab编辑本段弦切角推论推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦 切角也相等应用举例例 1：如图，在 rtabc 中，c=90，以 ab 为弦的o 与 ac 相切于点 a，cba=60,ab=a 求 bc -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 13 长.解：连结 oa，ob.在 rtabc 中, c=90bac=30bc=1/2a 例 2：如 图，ad 是 abc 中bac 的平分线，经过 点 a 的o 与 bc 切于点 d，与 ab，ac 分 别相交于 e， f.求证：efbc.证明：连 df.ad 是 bac 的平分线 bad=dac efd=badefd=dac o 切 bc 于 dfdc=dacefd= fdcef bc 例 3： 如图，abc 内接于o，ab 是o 直径， cdab 于 d，mn 切o 于 c，求证：ac 平分mcd，bc 平分ncd.证明：ab 是o 直径 acb=90cdab acd=b，m n 切o 于 cmca=b，mca=acd，即 ac 平分mcd，同理：bc 平分ncd. 弦切角定理证明方法 连 oc、oa，则有 occd 于点 c。得 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 14 ocad，知oca=cad 。 而oca=oac ，得 cad=oac 。进而有oac= bac 。 由此可知，0a 与 ab 重合，即 ab 为o 的直径。 连接 bc，且作 ceab 于点 e。立 即可得 abc 为 rt，且acb=rt。 由射影定理有 ac=ae*ab。又 cad=cae，ac 公用，cda=cea， 得cea cda，有 ad=ae，所以， ac=ab*ad。 第一题重新证明如下： 首先证明弦切角定理，即有 acd=cba 。 连接 oa、oc 、bc，则有 acd+aco=90 = = =aco+aoc, -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 15 所以acd=aoc ， 而cba=aoc ， 得acd=cba 。 另外，acd+cad=90， cad=cab ， 所以有cab+cba=90，得 bca=90，进而 ab 为o 的直径。 2 证明一：设圆心为 o，连接 oc，ob,。 tcb=90- ocb boc=180-2ocb ,boc=2tcb boc=2cab tcb=cab 证明已知：ac 是o 的弦，ab 是 o 的切线，a 为切点，弧是弦切角 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 16 bac 所夹的弧. 求证： 证明：分三种情况： 圆心 o 在bac 的一边 ac 上 ac 为直径，ab 切o 于 a， 弧 cma=弧 ca 为半圆, cab=90=弦 ca 所对的圆周角 圆心 o 在bac 的内部. 过 a 作直径 ad 交 o 于 d, 若在优弧 m 所对的劣弧上有一点 e 那么，连接 ec、ed、ea 则有： ced=cad 、dea=dab cea=cab 圆心 o 在bac 的外部, 过 a 作直径 ad 交 o 于 d -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 17 那么 cda+cad=cab+ cad=90 cda=cab 编辑本段弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这 两个弦切角也相等 应用举例 例 1：如图，在 rtabc 中， c=90，以 ab 为弦的o 与 ac 相切于 点 a，cba=60,ab=a 求 bc 长. 解：连结 oa，ob. 在 rtabc 中,c=90 bac=30 bc=1/2a 例 2：如图，ad 是 abc 中bac 的平分线，经过点 a 的 o 与 bc 切于点 d，与 ab，ac 分别相交于 e，f. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 18 求证：efbc. 证明：连