八年级数学上册同步练习题及答案

西南大学状元教育 1 12.1.1 平方根（第一课时） 随堂检测 1、若 x2 = a ，则 叫 的平方根，如 16 的平方根是 ， 的平方根是 972 2、 表示 的平方根， 表示 12 的 312 3、196 的平方根有 个，它们的和为 4、下列说法是否正确？说明理由 （1）0 没有平方根； （2）1 的平方根是 ；1 （3）64 的平方根是 8； （4）5 是 25 的平方根； （5） 6 5、求下列各数的平方根 （1）100 （2） （3）1.21 （4）)8(915 典例分析 例 若 与 是同一个数的平方根，试确定 m 的值42m13 课下作业 拓展提高 一、选择 1、如果一个数的平方根是 a+3 和 2a-15，那么这个数是（ ） A、49 B、441 C、7 或 21 D、49 或 441 2、 的平方根是（ ）2)( A、4 B、2 C、-2 D、 2 二、填空 西南大学状元教育 2 3、若 5x+4 的平方根为 ，则 x= 1 4、若 m4 没有平方根，则|m5|= 5、已知 的平方根是 ，3a+b-1 的平方根是 ，则 a+2b 的平方根是 12a44 三、解答题 6、a 的两个平方根是方程 3x+2y=2 的一组解 （1） 求 a 的值 （2） 的平方根2a 7、已知 +x+y-2=0 求 x-y 的值x 体验中考 1、 （09 河南）若实数 x，y 满足 + =0，则代数式 的值为 22)3(y2xy 2、 （08 咸阳）在小于或等于 100 的非负整数中，其平方根是整数的共有 个 3、 （08 荆门）下列说法正确的是（ ） A、64 的平方根是 8 B、-1 的平方根是 1 C、-8 是 64 的平方根 D、 没有平方根2)( 12.1.1 平方根（第二课时） 随堂检测 1、 的算术平方根是 ； 的算术平方根_ _25981 2、一个数的算术平方根是 9，则这个数的平方根是 3、若 有意义，则 x 的取值范围是 ，若 a0，则 0x a 4、下列叙述错误的是（ ） A、-4 是 16 的平方根 B、17 是 的算术平方根2(17) C、 的算术平方根是 D、0.4 的算术平方根是 0.021618 典例分析 例：已知ABC 的三边分别为 a、b、c 且 a、b 满足 ，求 c 的取值范围3|4|0b 分析：根据非负数的性质求 a、b 的值，再由三角形三边关系确定 c 的范围 西南大学状元教育 3 课下作业 拓展提高 一、选择 1、若 ，则 的平方根为（ ）2m2() A、16 B、 C、 D、1642 2、 的算术平方根是（ ）6 A、4 B、 C、2 D、 二、填空 3、如果一个数的算术平方根等于它的平方根，那么这个数是 4、若 + =0，则 = 2x2()yxy 三、解答题 5、若 a 是 的平方根，b 是 的算术平方根，求 +2b 的值2()162a 6、已知 a 为 的整数部分，b-1 是 400 的算术平方根，求 的值170 b 体验中考 1.(2009 年山东潍坊)一个自然数的算术平方根为 a，则和这个自然数相邻的下一个自然 数是（ ） A 1aB 21aC 21D 1a 2、 （08 年泰安市） 的整数部分是 ；若 a1） -4x 2（ xy-y2）-3x（xy 2-2x2y）1 单项式与多项式相乘随堂练习题 一、选择题 1计算（-3x）（2x 2-5x-1）的结果是（ ） A-6x 2-15x2-3x B-6x 3+15x2+3x C-6x 3+15x2 D-6x 3+15x2-1 2下列各题计算正确的是（ ） A （ab-1） （-4ab 2）=-4a 2b3-4ab2 B （3x 2+xy-y2） 3x2=9x4+3x3y-y2 C （-3a） （a 2-2a+1）=-3a 3+6a2 D （-2x） （3x 2-4x-2）=-6x 3+8x2+4x 3如果一个三角形的底边长为 2x2y+xy-y2，高为 6xy，则这个三角形的面积是（ ） A6x 3y2+3x2y2-3xy3 B6x 3y2+3xy-3xy3 C6x 3y2+3x2y2-y2 D6x 3y+3x2y2 4计算 x（y-z）-y（z-x）+z（x-y） ，结果正确的是（ ） A2xy-2yz B-2yz Cxy-2yz D2xy-xz 二、填空题 5方程 2x（x-1）=12+x（2x-5）的解是_ 6计算：-2ab（a 2b+3ab2-1）=_ 7已知 a+2b=0，则式子 a3+2ab（a+b）+4b 3 的值是_ 三、解答题 8计算： （ x2y-2xy+y2）（-4xy） -ab 2（3a 2b-abc-1）1 西南大学状元教育 20 （3a n+2b-2anbn-1+3bn）5a nbn+3（n 为正整数，n1） -4x 2（ xy-y2）-3x（xy 2-2x2y）1 9化简求值：-ab（a 2b5-ab3-b） ，其中 ab2=-2。 四、探究题 10请先阅读下列解题过程，再仿做下面的题 已知 x2+x-1=0，求 x3+2x2+3 的值 解：x 3+2x2+3=x3+x2-x+x2+x+3 =x（x 2+x-1）+x 2+x-1+4 =0+0+4=4 如果 1+x+x2+x3=0，求 x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8 的值 3. 多项式与多项式相乘 回 忆（m+n） （a+b）=ma+mb+na+nb 概 括 这个等式实际上给出了多项式乘以多项式的法则： 多项式与多项式相乘，先用 ，再 把 例 4 计算： （1） （x2） （x3） （2） （3x1） （2x1） 例 5 计算： （1） （x3y） （x7y） ； （2） （2x5y） （3x2y） 西南大学状元教育 21 练习 1. 计算：（1） （x5） （x7） ； （2） （x5y） （x7y） （3） （2m3n） （2m3n） ； （4） （2a3b） （2a3b） 2. 小东找来一张挂历纸包数学课本已知课本长 a厘米，宽 b厘米， 厚 c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去 m厘米问 小东应在挂历纸上裁下一块多大面积的长方形? 习题 13.2 1. 计算： （1） 5x 8x ；（2 ） 11x （12x ） ；3 121 （3） 2x （3x） ；（4） （8xy ）(1/2x) 2 23 2. 世界上最大的金字塔胡夫金字塔高达 146.6米，底边长 230.4 米，用了约 2.3 块大石块，每块重约 2.5 千克请问：6 3 胡夫金字塔总重约多少千克? 3. 计算：（1） 3x（2x x4） ；（2） 2 西南大学状元教育 22 5/2xy(x y 4/5x y )3223 4. 化简： （1）x(1/2x1)3x(3/2x2)；（2）x （x1）2 2x（x 2x3） 2 5. 一块边长为 xcm的正方形地砖，被裁掉一块 2cm宽的长条问剩 下部分的面积是多少? 6. 计算： （1） （x5） （x6） ； （2） （3x4） （3x4） ； （3） （2x1） （2x3） ；（4） （9x4y） （9x4y） 13.5 因式分解（1） 一、基础训练 1若多项式-6ab+18abx+24aby 的一个因式是-6ab，那么其余的因式是（ ） A-1-3x+4y B1+3x-4y C-1-3x-4y D1-3x-4y 2多项式-6ab 2+18a2b2-12a3b2c 的公因式是（ ） A-6ab 2c B-ab 2 C-6ab 2 D-6a 3b2c 3下列用提公因式法分解因式正确的是（ ） A12abc-9a 2b2=3abc（4-3ab） B3x 2y-3xy+6y=3y（x 2-x+2y） C-a 2+ab-ac=-a（a-b+c） Dx 2y+5xy-y=y（x 2+5x） 4下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A-6a 3b2=2a2b（-3ab 2） B9a 2-4b2=（3a+2b） （3a-2b） Cma-mb+c=m（a-b）+c D （a+b） 2=a2+2ab+b2 5下列各式从左到右的变形错误的是（ ） A （y-x） 2=（x-y） 2 B-a-b=-（a+b） C （m-n） 3=-（n-m） 3 D-m+n=-（m+n） 西南大学状元教育 23 6若多项式 x2-5x+m 可分解为（ x-3） （x-2） ，则 m 的值为（ ） A-14 B-6 C6 D4 7 （1）分解因式：x 3-4x=_；（2）因式分解：ax 2y+axy2=_ 8因式分解： （1）3x 2-6xy+x； （2）-25x+x 3； （3）9x 2（a-b）+4y 2（b-a） ； （4） （x-2） （x-4）+1 二、能力训练 9计算 5499+4599+99=_ 10若 a 与 b 都是有理数，且满足 a2+b2+5=4a-2b，则（ a+b） 2006=_ 11若 x2-x+k 是一个多项式的平方，则 k 的值为（ ） A B- C D-14141 12若 m2+2mn+2n2-6n+9=0，求 的值2mn 13利用整式的乘法容易知道（m+n） （a+b）=ma+mb+na+nb，现在的问题是： 如何将多项式 ma+mb+na+nb 因式分解呢？用你发现的规律将 m3-m2n+mn2-n3 因式分 解 14由一个边长为 a 的小正方形和两个长为 a，宽为 b 的小矩形拼成如图的矩形 ABCD， 则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式 西南大学状元教育 24 15说明 817-299-913 能被 15 整除 参考答案 1D 点拨：-6ab+18abx+24aby=-6ab（1-3x-4y） 2C 点拨：公因式由三部分组成；系数找最大公约数，字母找相同的， 字母指数 找最低的 3C 点拨：A 中 c 不是公因式，B 中括号内应为 x2-x+2，D 中括号内少项 4B 点拨：分解的式子必须是多项式，而 A 是单项式； 分解的结果是几个整式乘 积的形式，C、D 不满足 5D 点拨：-m+n=-（m-n） 6C 点拨：因为（x-3 ） （x-2）=x 2-5x+6，所以 m=6 7 （1）x（x+2） （x-2） ；（2）axy（x+y） 8 （1）3x 2-6xy+x=x（3x-6y+1） ； （2）-25x+x 3=x（x 2-25）=x（x+5） （x-5） ； （3）9x 2（a-b）+4y 2（b-a）=9x 2（a-b）-4y 2（a-b） =（a-b） （9x 2-4y2）= （a-b） （3x+2y） （3x-2y） ； （4） （x-2） （x-4）+1=x 2-6x+8+1=x2-6x+9=（x-3） 2 99900 点拨：5499+4599+99=99（54+45+1）=99100=9900 101 点拨：a 2+b2+5=4a-2b， a 2-4a+4+b2+2b+1=0，即（a-2） 2+（b+1） 2=0， 所以 a=2，b=-1， （a+b） 2006=（2-1） 2006=1 11A 点拨：因为 x2-x+ =（x- ） 2，所以 k= 1414 12解：m 2+2mn+2n2-6n+9=0， （m 2+2mn+n2）+（n 2-6n+9）=0， （m+n ） 2+（n-3） 2=0， m=-n，n=3， m=-3 = =- 2n31 13解：m 3-m2n+mn2-n3=m2（m-n）+n 2（m-n）=（m- n） （m 2+n2） 14a 2+2ab=a（a+2b） ，a （a+b）+ab=a（a+2b） ，a（ a+2b）-a（a+b）=ab， a（a+2b ）-2ab=a 2，a（a+2b）-a 2=2ab 等 点拨：将某一个矩形面积用不同形式表示出来 15解：81 7-279-913=（3 4） 7-（3 3） 9-（3 2） 13 =328-327-326=326（3 2-3-1）=3 265 =32535=32515， 故 817-279-913 能被 15 整除 西南大学状元教育 25 13.5 因式分解（2） 13a 4b2 与-12a 3b5 的公因式是_ 2把下列多项式进行因式分解 （1）9x 2-6xy+3x； （2）-10x 2y-5xy2+15xy； （3）a（m-n）-b（n-m） 3因式分解： （1）16- m2； （2） （a+b） 2-1； （3）a 2-6a+9； （4） x2+2xy+2y25 1 4下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A （x+2 ） （x-2）=x 2-4 Bx 2-2x+1=x（x-2）+1 Ca 2-b2=（a+b） （a-b ） Dma+mb+na+nb=m（a+b）+n（a+b） 5因式分解： （1）3mx 2+6mxy+3my2； （2）x 4-18x2y2+81y4； （3）a 4-16； （4）4m 2-3n（4m-3n） 6因式分解： （1） （x+y） 2-14（x+y）+49； （2）x（x-y）-y（y-x） ；（3）4m 2-3n（4m-3n） 7用另一种方法解案例 1 中第（2）题 西南大学状元教育 26 8分解因式： （1）4a 2-b2+6a-3b； （2）x 2-y2-z2-2yz 9已知：a-b=3，b+c=-5，求代数式 ac-bc+a2-ab 的值 参考答案 13a 3b2 2 （1）原式=3x（3x-2y+1） ； （2）原式=-（10x 2y+5xy2-15xy）=-5xy（2x+y-3） ； （3）原式=a（m-n）+b（m-n）=（m-n） （a+b） 点拨：（1）题公因式是 3x，注意第 3 项提出 3x 后，不要丢掉此项，括号内的多项式 中写 1；（2）题公因式是-5xy，当多项式第一项是负数时，一般提出“”号使括号内 的第一项为正数，在提出“”号时，注意括号内的各项都变号 3 （1）16- m2=42-（ m） 2=（4+ m） （4- m） ；5151 （2） （a+b） 2-1=（a+b）+1 （a+b）-b=（a+b+1） （a+b-1） ； （3）a 2-6a+9=a2-2a3+32=（a-3） 2； （4） x2+2xy+y2= （x 2+4xy+4y2）= x2+2x2y+（2y） 2= （x+2y） 21 点拨：如果多项式完全符合公式形式则直接套用公式，若不是， 则要先化成符合公 式的形式，再套用公式 （1） （2）符合平方差公式的形式， （3） （4） 符合完全平方公式 的形式 4C 点拨：这是一道概念型试题，其思路是根据因式分解的定义来判断，分解因式 的最后结果应是几个整式积的形式，只有 C 是，故选 C 5 （1）3mx 2+6mxy+3my2=3m（x 2+2xy+y2）=3m（x+y） 2； （2）x 4-18x2y2+81y4=（x 2） 2-2x29x2+（9y 2） 2 =（x 2-9y2） 2=x2-（3y） 2 2 西南大学状元教育 27 =（x+3y） （x-3y） =（x+3y） 2（x-3y） 2； （3）a 416=（a 2） 2-42=（a 2+4） （a 2-4）=（a 2+4） （a+2） （a-2） ； （4）4m 2-3n（4m-3n）=4m 2-12mn+9n2=（2m ） 2-22m3n+（3n） 2=（2m-3n） 2 点拨：因式分解时，要进行到每一个多项式因式都不能分解为止 （1）先提公因式 3m，然后用完全平方公式分解；（ 2）把 x4 作（x 2） 2，81y 4 作（9y 2） 2，然后运用完全平 方公式 6 （1） （x+y） 2-14（x+y）+49=（x+y） 2-2（x+y）7+7 2=（x+y-7） 2； （2）x（x-y）-y（y-x）=x（x-y）+y（x-y）=（x-y） （x+y） ； （3）4m 2-3n（4m-3n ）=4m 2-12mn+9n2=（2m ） 2-22m3n+（3n） 2 =（2m-3n） 2 7x（x-y）+y（y-x）=x 2-xy+y2-xy=x2-2xy+y2=（x-y） 2 8解：（1）原式=（4a 2-b2）+（6a-3b）=（2a+b） （2a-b）+3（2a-b）=（2a-b） （2a+b+3） ； （2）原式=x 2-（y 2+2yz+z2）=x 2-（y+z） 2=（x+y+z） （x-y-z） 9a-b=3，b+c=-5， a+c=-2，ac-bc+a 2-ab=c（a-b）+a（a-b）=（a-b） （c+a）=3（-2）=-6 因式分解方法研究系列 三、十字相乘法 (关于 的形式的因式分解)2xpqx 1、因式分解以下各式： 1、 ； 2、 ； 3、 ； 4、256x6526x215x 2、因式分解以下各式： 1、 ； 2、 ；2356x2465x 3、 ； 4、236ab215x 西南大学状元教育 28 2、因式分解以下各式： 1、 ； 2、 ； 3、 ； 4、230x4256x2241xy22xy 3、挑战自我： 1、 ； 2、24415xx2214xx 数学当堂练习(1) 姓名 计算 (1) (-2a)2 (3ab2-5ab3) (2)x(x2-1)+2x2(x+1)-3x(2x-5) (3)3(m+n) (m+n) 4+3(-m-n) 3(m+n) 2 数学当堂练习(2) 姓名 计算 (1)(x-y) 3(y-x) 2= (2) 3a2(2a2-9a+3)-4a(2a-1) (3)5xy4xy-6( xy- xy2)13 西南大学状元教育 29 (4)(2x-3)(x+4) (5)(3x+y)(x 一 2y) 数学当堂练习(3) 姓名 计算(1) (3x-5)(2x+3) (2) 5x(x-2)-(x-2)(x+4) 解不等式 1-(2y+1)(y-2)y 2-(3y-1)(y+3)-11 数学当堂练习(4) 姓名 计算 （1） （1-xy）(-1-xy) (2)(a+2)(a-2)(a2+4) (3) (x+y)(x-y)-(x-2y)(x+2y) (4) 6 5312 数学当堂练习(5) 姓名 计算 (1) (2x-1) 2- (2x+1) 2 (2) (2x-1) 2(2x+1) 2 (3) (2x) 2- 3(2x+1) 2 (4) ( 2x+ y 3) 2 西南大学状元教育 30 (5)(m 2n + 3)(m+2n +3) 数学当堂练习(6) 姓名 计算 (1) (1+x+y)(1- x y) (2) (3x- 2y +1) 2 （3）已知 (x+y) 2=6 (x- y) 2=8 求 (1) ( x+y ) 2 (2) xy 值 （4） （x- 2）(x 2+2x+4) (5) x(x- 1) 2- (x 2 x +1)(x+1) 数学当堂练习(7) 姓名 计算 (1) (-2m- 1) 2 (2) (3x-2y+1) 2 (3) (3s-2t)(9s2 +6st+4t2) (4) -21a2b3c7a2b2 (5) (28a4b2c-a2b3+14a2b2) (-7a2b) (6)(x2y - xy2-2xy) xy1 数学当堂练习(8) 姓名 西南大学状元教育 31 一 计算 (1) (16x3-8x2 +4x) (-2x) (2) (x2x3) 3(- x3) 4 1 二 。因式分解 (1) 2x+4x (2) 5(a-2) x(2-x) (3) -12m2n+3mn2 18.1 勾股定理 1. 在ABC 中，B=90，A、B、C 对边分别为 a、b、c，则 a、b、c 的关系是（ ） Ac 2=a2+b2 Ba 2=（b+c） （b-c ） Ca 2=c2-b2 Db=a+c 知识点：勾股定理 知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，要正确的理解勾股定 理的条件和结论，要明确斜边和直角边在定理中的区别。 答案：B 详细解答：在ABC 中，B=90，B 的对边 b 是斜边，所以 b2=a2+c2。a 2=（b +c） （b- c ）可变形为 b2=a2+c2，所以选 B 1. 下列说法正确的是（ ） A.若 a、 b、 c 是 ABC 的三边，则 a2 b2 c2； B.若 a、 b、 c 是 Rt ABC 的三边，则 a2 b2 c2； C.若 a、 b、 c 是 Rt ABC 的三边， ，则 a2 b2 c2；90A D.若 a、 b、 c 是 Rt ABC 的三边， ，则 c2-b2 a2。C 答案：D 详细解答：A 是错的，缺少直角条件； B 也是错的，不明确哪一边是斜边，无法判断哪两边的平方和等于哪一边的平方； C 也是错的，既然 ，那么 a 边才是斜边，应该是 a2 c2 b290A 西南大学状元教育 32 D 才是正确的， ，那么 c2 a2+b2，即 c2-b2 a2.90C 2.小明量得家里新购置的彩电屏幕的长为 58cm,宽为 46cm,则这台电视机的尺寸（即电视机 屏幕的对角线长）是 ( ) A. 9 英寸(23cm) B. 21 英寸(54cm) C. 29 英寸(74cm) D.34 英寸(87cm) 知识点：勾股定理的应用 知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。求某一条线段的长度 的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，作为三角形的边来求。 答案：C 详细解答： 如答图，四边形 ABCD 表示彩电屏幕，其长为 58cm，即 BC=58cm；宽为 46cm，即 AB=46cm。 在直角三角形 ABC 中，BC=58cm,AB=46cm,那么 AC2=BC2+AB2=572+462=5365，所以 AC=74cm， 选 C。 2.两只小鼹鼠在地下挖洞，一只朝前方挖，每分钟挖 8cm，另一只朝左挖，每分钟挖 6cm，10 分钟之后两只小鼹鼠相距( ) A. 50cm B. 80cm C. 100cm D. 140cm 答案：C 详细解答： 如答图，一只小鼹鼠从 B 挖到 C，BC=8cm10=80cm， 另一只小鼹鼠从 B 挖到 A，BA=6cm10=60cm， 由题意可知两个方向互相垂直， 所以 AC2=AB2+BC2=602+802=10000，所以 AC=100 cm 3.已知一个三角形三个内角的比是 1:2:1,则它的三条边的比是( ) A.1:1: B.1:1:2 C.1: : D.1:4:1223 知识点：等腰直角三角形、含 30角的直角三角形 知识点的描述：要求知道等腰直角三角形、含 30角的直角三角形的三边的比的来历，最 西南大学状元教育 33 好能记住三边之比。 答案：A 详细解答： 三角形三个内角的比是 1:2:1，可以知道三个角分别为 45、90、 45， 如答图，假设 AB=1，那么 BC=1，AC 2=AB2+BC2=1+1=2，所以 AC= ，三条2 边的比是 1:1: 。2 3已知ABC 中，A= C= B，则它的三条边之比为（ ） 13 A1：1： B1： ：2 C1： ： D1：4：123 答案：B 详细解答：ABC 中，A= C= B，可求出A=30，123 C=60，B=90，画出答图。 假设 BC=1，那么 AC=2，根据勾股定理得 AB2=AC2-BC2=4-1=3， 所以 AB= ，因此三边的比为 1： ：2。33 4直角三角形中，斜边的平方等于两直角边乘积的 2 倍，这个三角形的最小锐角为（ ） （A）15 （B）30 （C）45 （D）不能确定 知识点：勾股定理在数学中的应用 知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 答案：C 详细解答：由勾股定理得 AC2=BC2+AB2，又已知斜边的平方等于两直角边乘积的 2 倍，即 西南大学状元教育 34 A B C AC2=2ABBC，所以 BC2+AB2=2ABBC，得（BC-AB） 2=0，所以 BC=AB，所以三角形 ABC 是 等腰直角三角形，最小锐角为 45。 4.如图所示,RtABC 中,BC 是斜边,将ABP 绕点 A 逆时针旋转后,能与ACP重合,如果 AP=3,那么 PP长为（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D） 18 答案：D 详细解答：由题意“将ABP 绕点 A 逆时针旋转后,能与ACP重合”知，ABP ACP， 所以CAP=BAP，AP=AP，又因为BAC=90，所以PAP=90，AP=AP=3， 在直角三角形 APP中，PP 2= AP 2+AP2=32+32=18，所以 PP= 18 5如图，数轴上的点 A 所表示的数为 x，则 x 的值为（ ） A B- C2 D-22 知识点：认识长度为无理数的线段 知识点的描述：在直角三角形中利用勾股定理，可以作出长度为无理数的线段 答案：B 详细解答：在 RtBCD 中，CB=BD=1，那么 CD2=CB2+BD2=2，所以 CD= ，CA=CD= ，因2 此点 A 所表示的数为- 2 5. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格上的三角形 ABC 中，边长为无 理数的边数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 P P CB A 西南大学状元教育 35 答案：C 详细解答：在 RtABD 中，AD=5，BD=1，那么 AB2=AD2+BD2=26，AB= 6 在 RtBCE 中，BE=3，CE=2，那么 BC2=BE2+CE2=13，BC= 13 在 RtACF 中，AF=4，CF=3，那么 AC2=AF2+CF2=25，AC=5 所以边长为无理数的边是：AB 和 BC 6已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长是（ ） A5 B25 C D5 或77 知识点：两解问题 知识点的描述：在直角三角形中应用勾股定理要注意哪一边是斜边。 答案：D 详细解答：如果两直角边长分别为 3 和 4，那么第三边就是斜边，其长度为 5；如果 4 是斜 边，3 是直角边，那么另一条直角边为 。7 6.ABC 中,若 AB=15,AC=13,高 AD=12,则ABC 的周长是( ) A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 33 答案：C 详细解答：若高 AD 在ABC 内部，如图， 在 RtABD 中，AB=15，AD=12，那么 BD2=AB2-AD2=81，BD=9 在 RtACD 中，AC=13，AD=12，那么 CD2=AC2-AD2=25，CD=5 所以 BC=BD+CD=9+5=14，这时周长为 15+13+14=42 若高 AD 在ABC 外部，如图， 在 RtABD 中，AB=15，AD=12，那么 BD2=AB2-AD2=81，BD=9 B 西南大学状元教育 36 在 RtACD 中，AC=13，AD=12，那么 CD2=AC2-AD2=25，CD=5 所以 BC=BD-CD=9-5=4，这时周长为 15+13+4=32 所以选 C. 7如图，有两棵树，一棵高 8m，另一棵高 2 m，两树相距 8 m，一只小鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢，至少飞行（ ） （A）6 m （B）8 m （C）10 m （D）18 m 知识点：构建直角三角形、勾股定理、实际问题 知识点的描述：在解决实际问题时，常常要构建直角三角形，构成勾股定理的模型，应用 勾股定理解决实际问题 答案：C 详细解答：把实际问题转化为数学问题，如图,AB 表示高 8m 的树，CD 表示高 2 m 的树，小 鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短路径为 AD，过 D 点作 AB 的垂线，构成直角 三角形 AED。 在直角三角形 AED 中，DE=BC=8 m，AE=AB-EB=AB-CD=6m，从而 AD2=AE2+DE2=62+82=100，所 以 AB=10 m。 7.一根高 9 米的旗杆在离地 4 米高处折断，折断处仍相连，此时在 3.9 米远处玩耍的身高 为 1 米的小明是否有危险 ( ) A没有危险 B有危险 C可能有危险 D无法判断 答案：B 西南大学状元教育 37 详细解答：把实际问题转化为数学问题，如答图， AB 代表原旗杆的位置，AF 表示折段的旗杆，CD 表示小明，如果 AD 小于等于 AF，就有危险， 反之就没有危险。过 D 点作 AB 的垂线，构成直角三角形 AED。 在直角三角形 AED 中，DE=BC=3.9，AE=AB-EB=AB-CD=3，从而 AD2=AE2+DE2=32+3.92=24.21。 由题意知 AF=5，所以 AF2=25，显然 AD 小于 AF，有危险。 8如图，AB 为一棵大树，在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的 C 处有一筐水果，一只猴子从 D 处上爬到树顶 A 处，利用拉在 A 处的滑绳 AC，滑到 C 处， 另一只猴子从 D 处滑到地面 B，再由 B 跑到 C，已知两猴子所经路程都是 15m，求树高 AB（ ）. A10 m B11 m C12 m D15 m 知识点：方程的思想、勾股定理的实际应用问题 知识点的描述：在解决几何中的有关计算问题时，经常要用到代数中的方程，要形成用方 程解决几何问题的思想意识。 答案：C 详细解答：设 AD=x 米，则 AB 为（10+x）米，AC 为（15-x）米，BC 为 5 米， (x+10) 2+52=(15-x)2，解得 x=2，10+x=12（米） 所以树高 12 m 。 8.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边 1.5m 远的水底,竹竿高出水面 0.5m, 把竹竿的顶端拉向岸边,如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐,那么河水的深度为( ). A. 2m B. 2.5m C. 2.25m D. 3m B A C D. 西南大学状元教育 38 答案：A 详细解答：画出如图所示的示意图，AB 是竖直的竹竿，CB 是拉向岸边的 竹竿，CD 是水面， 由题意知：CD=1.5 m，AD=0.5 m,假设河水的深度 BD 为 x m，那么竹竿 的高就是（x+0.5）m，所以 CB=（x+0.5）m，直角三角形 BDC 中应用勾 股定理得（x+0.5） 2=x2+1.52，解得 x=2，所以河水的深度为 2m 9.已知：如图，ABC 中，BC=4，A=45，B=60，那么 AC=（ ） （A） （B）4 （C）6 （D）24 12 知识点：转化的数学思想、勾股定理 知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题 转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。 答案：A （2 也行）6 分析：由于本题中的ABC 不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得ACB=75，添 置 AB 边上的高这条辅助线，就可以得到直角三角形，在直角三角形中就可以求得一些线段 的长度 详细解答：作 AB 边的高 CD,如图， 在 RtBDC 中，B=60，那么BCD=90-60=30， BC=4， 那么 BD=2,利用勾股定理可求出 CD= ；12 在 RtADC 中，A=45，那么ACD=90-45=45，所以 AD=CD= ，12 那么利用勾股定理得 AC2=AD2+CD2=24,所以 AC= ； 4 小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。请你思考本题还 可以作其它辅助线吗？为什么？(注意利用特殊角) C A BD 西南大学状元教育 39 9.已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。四边形 ABCD 的面积为（ ） 。 （A）20 （B） 310 （C） （D）1636 答案：C(目前初二的学生还没学到二次根式的化简，做到 2 - 就可以了)481 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC，或延长 AB、DC 交于 F，或延长 AD、BC 交于 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简 单。不妨几种方法都尝试一下，你会有很多收获的。 详细解答：延长 AD、BC 交于 E。 A=60，B=90，E=30。 AE=2AB=8，CE=2CD=4， BE 2=AE2-AB2=82-42=48，BE= = 。483 DE 2= CE2-CD2=42-22=12，DE= = 。12 S 四边形 ABCD=SABE -SCDE = ABBE- CDDE= 4 - 2 =2 -1482148 = 1236 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角 形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。另外作辅助线要充分考虑利用条件，一 般情况下是不能把特殊角分割的。 10. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边 AC 沿直线 AD 折 叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（ ） A. B. C. D. cm2c3m4c5 知识点：“折叠”问题、勾股定理的应用 知识点的描述：“折叠”问题是数学中常见问题之一解决问题的关键就是一定要搞清是 怎样折叠的，尤其是原来的线段和角折叠到哪去了，理清已知和未知，找到能联系二者的 ABEDCAB C D E 西南大学状元教育 40 直角三角形，利用勾股定理问题就迎刃而解。 答案：B 详细解答：假设 CD=xcm，那么 DE=CD=xcm，BD=（8-x）cm。 因为直角三角形纸片的两直角边 AC=6cm,BC=8cm,所以利用勾股定理可得斜边 AB=10cm， 又 AE=AC=6cm,所以 EB=AB-AE=4(cm), 在 RtEBD 中，EB=4cm，DE=xcm，BD=（8-x）cm ，那么（8-x） 2=x2+42， 解得 x=3 所以 CD= cm3 10.如下图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边 AD，点 D 落在 BC 边的点 F 处， 已知 AB8cm，AD10cm，求 EC 的长( ) （A）3cm （B）4cm （C）5cm （D）6cm 答案：A 详细解答： 由折叠的过程可知AFEADE、ADAF，DEEF，在 RtABF 中， AB8cm，AF10cm，BF 2AF 2AB 210 28 26 2，BF6，FCBCBF1064cm，如 果设 CExcm，DE(8x)cm，所以 EF(8x)cm 在 RtCEF 中，EF 2CF 2CE 2，用这个关系建立方程:(8x) 24 2x 2 解得 x3，即 CE 的长为 3cm 18.2 勾股定理的逆定理 1.如图所示,ABC 中,若A=75,C=45,AB=2,则 AC 的长等于( ) A.2 B.2 23 C. D. 66 知识点：转化的数学思想、勾股定理 知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题 转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。勾股定理的内容：直角三角形两直角 西南大学状元教育 41 边的平方和等于斜边的平方。 答案：C 详细解答：作 BC 边上的高 AD, ABC 中,BAC=75,C=45，那么B=60，从而BAD=30 在 RtABD 中，BAD=30，AB=2,所以 BD=1，AD= 3 在 RtACD 中，C=45，AD= ,所以 CD=AD= ，3 利用勾股定理可得 AC= 。6 1已知：在 RtABC 中，C=90，CDAB 于 D，A=60，CD= ，线段 AB 长为（ 3 ） 。 A.2 B.3 C.4 D.3 3 答案：C 分析：欲求 AB，可由 AB=BD+AD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出 BD 和 AD。或欲求 AB，可由 ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，2BCA 求出 AC 和 BC。 详细解答：在 RtACD 中，A=60，那么ACD=30，又已知 CD= ,所以利用勾股定3 理或特殊三角形的三边的比求出 AD=1。 在 RtACB 中，A=60，那么B=30。 在 RtBCD 中，B=30，又已知 CD= ,所以 BC=2 ，利用勾股定理或特殊三角形的33 三边的比求出 BD=3。 因此 AB=BD+CD=3+1=4， 小结：本题是“双垂图”的计算题， “双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质 掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角形， 三个勾股定理及推导式 BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及 30或 45特 殊角的特殊性质等。 B A C D 西南大学状元教育 42 2已知 a， b， c 为 ABC 三边，且满足 a2c2 b2c2=a4 b4，则它的形状为 A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 知识点：综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状 知识点的描述：这类问题常常用到代数中的配方、因式分解，再结合几何中的有关定理不 难作出判断。 答案：D 详细解答： a2c2 b2c2=a4 b4，左右两边因式分解得)()( 2222 babac 或 ，0c02022c 即 或 ，所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。22 2若ABC 的三边 a，b，c 满足(c-b) 2+a 2-b2-c2=0，则ABC 是（ ） （A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等腰三角形或直角三角形 答案：C 详细解答：(c-b) 2+a 2-b2-c2=0，c-b =0 且 a2-b2-c2=0 即 且 ，bc22ba 所以三角形的形状为等腰直角三角形。 3五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中 正确的是（ ） 知识点：勾股定理的逆定理 知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 西南大学状元教育 43 直角三角形，最大的边就是斜边。 满足 a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数最好能 记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17 等。 答案：C 详细解答：A 图和 B 图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方，不 是直角三角形。D 图中两个的三角形三边都不存在某两边的平方和等于第三边的平方，都 不是直角三角形。只有 C 图中的两个三角形都是直角三角形。 3在下列说法中是错误的（ ） A在ABC 中， （ 为正整数，且 ）2 2Amnmn、 B=、 A、 mn ，则ABC 为直角三角形. B在ABC 中，若A：B：C3：4：5，则ABC 为直角三角形. C在ABC 中，若 ，则ABC 为直角三角形.22cba D在ABC 中，若 a：b：c5：12：13，则ABC 为直角三角形. 答案：B 详细解答： 在ABC 中，若A：B：C3：4：5，那么最大角C 075182 不是直角三角形。 ABC 三条边的比为 a:b:c5:12:13，则可设 a5k，b12k，c13k，a 2b 225k 2144k 2169k 2，c 2(13k) 2169k 2，所以， a2b 2c 2，ABC 是直角三角形 4. 下列各命题的逆命题不成立的是( ) A.两直线平行,同旁内角互补； B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等 C.对顶角相等 D.如果 a2=b2,那么 a=b 知识点：互逆命题 知识点的描述：如果一个命题的题设是另一个命题的结论，而结论又是另一个命题的题设， 那么这样的两个命题是互逆命题。一个命题和它的逆命题的真假没有什么联系。 答案：C 详细解答：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角” ，显然这是一个假命题。 西南大学状元教育 44 4下列命题的逆命题成立的是（ ） （A）若 a=b，则 （B）全等三角形的周长相等ba （C）同角（或等角）的余角相等 （D）若 a=0，则 ab=0 答案：C 详细解答：（A）的逆命题是：若 ，则 a=b。不一定成立，也可能 a=-bba