柯西不等式及应用

武胜中学高 2009 级培优讲座 - 1 - 柯西不等式及应用 武胜中学 周迎新 柯西不等式 ：设 a1, an,b1,是实数，则有（ +2（ 等号当且仅当 为常数， i=1, n)时取到。 注： 二维 柯西不等式： （一）、 柯西不等式 的 证明 柯西不等式有多种证明方法， 你能怎么吗？ 证法一 ： 判别式法 ： 令 f(x)=(+(+ + （ 2=( +(+x+( + f(x) 0 0 即 （ +2 ( + + 等号仅当 证法二 ： （二） 、 柯西不等式的应用 柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式 本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。 使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式 解 决 有关的 问题 。 1 证明不等式 利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便 ， 而利用柯西不等式的技巧 也 有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等， 武胜中学高 2009 级培优讲座 - 2 - （ 1） 巧拆常数： 例 1：设 a 、 b 、 c 为正数且各不相等。求证： 9222分析 a 、 b 、 c 均为正 为证结论正确只需证： 9111)(2 ()()()(2 又 2)111(9 （ 2） 重新安排某些项的次序： 例 2： a 、 b 为非负数， a +b =1， 1 , 求证： 212121 )( 分析：不等号左边为两个二项式积， 1 , ，每个两项式可以使柯西 不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。 （ 3） 改变 结构 ： 例 3、 若 a b c 求证： 411分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了 )()( 0 结论改为 4)11)( 009 级培优讲座 - 3 - （ 4） 添项： 例 4： , 求证：23 ba 端变形 111 ba a )111)( 只需证此式29即可 2 求最值 利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题。 例 5 已知 a、 b、 c R+且 a+b+c=1，求 141414 最大值。 例 6 求 )c o s 的最小值 )20( a。 3、 在 几何上的应用 例 7、 三角形三边 a、 b、 c 对应的高为 、 r 为此三角形内切圆半径。若 +hb+r，试判断此三角形的形状。 武胜中学高 2009 级培优讲座 - 4 - 例 8、 三边长为 a、 b、 c，其外接圆半径为 R，求证： 2222222 36)s i n 1s i n 1s i n 1)( 证明：由三角形中的正弦定理得 ，所以2224 ，同理2224 ，2224 于是左边 = 222 22 22 2222 36)222()444)( 。 故原不等式获证。 以上几例以看出，柯西不等式不仅在高等数学中 是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便地解决一些中学数学中的有关问题。 练习： a1,a2,b1,证： 2 设 ,21 n求证： 21123221 （ 1984 年全国高中数学联赛题） ,d 满足 3a b c d ， 2 2 2 22 3 6 5a b c d 试求 a 的最值 4.设 a、 b、 c0 且 c，求证 22 s o s 。 5.设 p 是 的一点， , p 到三边 ,R 是 接圆的半径， 武胜中学高 2009 级培优讲座 - 5 - 柯西不等式 一 设 R，（ i 1， 2， 3 ， n） （ + 2 （ + (+ 当且仅当 i 1， 2， ， n）时， k 为常数 时等号成立 二阶形式（ 2 （ ( 三阶形式（ 2 （ (二证明 先证明较简单