2017年江西省全国统一考试文科数学仿真试卷（十二）含答案

2017 年普通高等学校招生全国统一考试 仿真卷 文 科 数学（十二） 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。 1 2017 高台一中 若复数 z 满足 2，则复数 z 的虚部为（ ） A 1 B 0 C i D 1 2 2017 成都一模 设集合 , | 1 2 0U A x x x R ，则 ） A , 1 2 , B 1,2 C , 1 2 , D 1,2 3 2017 曲靖一中 已知函数 2( ) 2f x x 在区间 (1,5) 上既没有最大值也没有最小值，则实数 k 的取值范围是（ ） A 10, ) B ( ,2 C ( , 2 1 0 , ) D ( ,1 5 , ) 4 2017 巴蜀中学 “ 勾股定理 ” 在西方被称为 “ 华达哥拉斯定理 ” ，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅 “ 勾股圆方图 ” ，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示 的 “ 勾股圆方图 ” 中 ，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 6，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ） A 312B 32C 434D 345 2017 皖南八校 已知命题 2: 2 , , 2xp x x ；命题 q ： 函 数 s i n 2 3 c o s 2f x x x的一条对称轴是 712x ，则下列命题中为真命题的是（ ） A B C D 6 2017 淮北一中 “ 2 1a ” 是 “ 函数 l n 1 l n 1f x a x x 为奇函数 ” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件 7 2017 云师附中 某几 何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 8 B 62 C 42 D 4 8 2017 广东联考 执行如图所示的程序框图，若 0 4x a b y， ， ，则 的最小值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 9 2017 南固一中 等差数列 1 0 1 6 30a a a ，则18 142值为（ ） A 20 B 20 C 10 D 10 10 2017 江师附中 在直角 中， 9 0 1B C A C A C B P ， ，为 上的点，B ， 若 C P A B P A P B ，则 的最大值是 ( ) A 222 B 222 C 1 D 2 11 2017 南白中学 已知椭圆 C ： 22 1 ( 0 )xy ， 点 M ， N ， F 分别为椭圆 C 的左顶点、上顶点、左焦点，若 90M F N N M F ，则椭圆 C 的离心率是（ ） A 512B 312C 212D 3212 2017 天水一中 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数 ： 1,()0, 为 有 理 数为 无 理 数，则关于函数 () ( ( ) 1f f x ； 函数 () 任意一个非零有理数 T ， ( ) ( )f x T f x 对任意 xR 恒成立； 存在三个点11( , ( )A x f x，22( , ( )B x f x， 33( , ( )C x f x，使得 等边三角形 其中真命题的个数是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 。 第 (13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答 。 第 (22)(24)题为选考题，考生根据要求作答 。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13 2017 南阳一中 九章算术 “ 竹九节 ” 问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共为 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 升 14 2017 榆社中学 已知函数 35 s i n , 021 l o g , 06x ，则 33_ 15 2017 西 安铁一中 已知实数 满足以下约束条件 2 2 02 4 03 3 0，则 22z x y的最小值是 _ 16 2017 雅礼中学 已知函数 223)( 在 1x 处有极值为 10 ，则 )2(f 的值等于 三、解答题：解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 2017 湖南十三校 设 的内角 A B C、 、 的对边分别为a b c、 、 ， 且满足 s i n s i n c o s c o s ( ) s i A B C （ 1）试判断 的形状，并说明理由； （ 2）若 12 ，试求 面积的最大值 18 （本小题满分 12 分） 2017 遂宁一模 张三同学从 7 岁起到 13 岁每年生日时对自己的身高测量后记录如下表： 年龄 x （岁） 7 8 9 10 11 12 13 身高 y （ 121 128 135 141 148 154 160 （ 1）求身高 y 关于年龄 x 的线性回归方程； （ 1）利用（ 2）中的线性回归方程，分析张三同学 7 岁至 13 岁身高的变化情况，如 17 岁之前都符合这一变化，请预测张三同学 15 岁时的身高 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 111211x y ，a y 19 （本小题满分 12 分） 2017 汕头联考 已知如图正四面体 侧面积为 348 ， 三角形 中心 （ 1）求证： ； （ 2）求点 O 到侧面 距离 20（本小题满分 12 分） 2017 长沙一中 如图，椭圆 22 1 ( 0 )xy 的左焦点为 F ，过点 F 的直线交椭圆于 A ， B 两点， |最大值是 M ， |最小值是 m ，且满足234M m a （ 1）求椭圆的离心率； （ 2）设线段 中点为 G ，线段 垂直平分线与 x 轴、 y 轴分别交于 D ， E 两点，O 是坐标原点，记 的面积为 1S ， 的面积为 2S ，求 12222的取值范围 21 （本小题满分 12 分） 2017 枣庄模拟 设函数 221 l n , 12f x x a x a g x x a x R （ 1）求函数 （ 2）当 0a 时，讨论函数 请考生在 22、 23 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分。 22 （本小题满分 10 分） 2017 江师附中 选修 4标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，已知曲线 3 c o s:s i （ a 为参数），在以 O 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 2 c o s ( ) 124 （ 1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （ 2）过点 ( 10)M ， 且与直线 l 平行的直线1 于 A ， B 两点， 求点 M 到 A ， B 两点的距离之积 23 （本小题满分 10 分） 2017 江师附中 选修 4 5：不等式选讲 （ 1）设函数 ( ) | 2 | | |f x x x a ，若 x 关于的不等式 ( ) 3在 R 上恒成立，求实数 （ 2）已知正数 x y z， ， 满足 2 3 1x y z ，求 3 2 1x y z的最小值 绝密 启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 仿真卷 文科数学（三）答案 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 1 【答案】 B 【解析】 依题意， 2 1i 1 i 1z ，故虚部为 0 2 【答案】 C 【解析】 21021 则 1 x x或 2x ，故选C 3 【答案】 C 【解析】 由已知可得 12k或 5 , 2 1 0 ,2k k ，故选 C 4 【答案】 A 【解析】 设小正方形的边长为 x ，由于21，23，即232 1 x， 则13 x ，故飞镖落在小正方形内的概率是 2314 324 P ，故应选 A 5 【答案】 B 【解析】 24 , 2 ，所以 p 为假；7 7 7 s i n 2 + 3 c o s 21 2 1 2 1 2f 7 2 s i n 263 ，所以命题 q 为真，因此为假； 为真， 为假； 为假；选 B 6 【答案】 B 【 解 析 】 当 1a 时， 01f x x 为 非 奇 非 偶 函 数 ， 当 1a 时， l n 1 l n 1f x x x 为奇函数，故为必要不充分条件 7 【答案】 A 【解析】 由三视图还原出该几 何体为长方体切去一部分，如图所示，所以剩余部分体积为2 2 2 3 83V ，故选 A 8 【答案】 A 【解析】 程序框图的功能为求分段函数21 04 0x x ， 的函数值，如图可知 2 ， ，当 0 2， 或 2 4， 时符合题意， 2 选 A 9 【答案】 D 【解析】4 1 0 1 6 1 03 3 0a a a a ，解得10 10a ， 而1 8 1 4 1 8 1 4 1 4 1 4 1 4 1 02 4 ( 4 ) 1 0a a a a a d a a d a ，故选 D 10 【答案】 C 【解析】 因 C P A P A C A B A C ， P B A B A P A B A B， 故由 C P A B P A P B 可得 2 1 2 (1 ) ，即 22 1 2 2 ， 也即 2 122，解得 2211 ， 点 P ， 2112 ，应选答案 C 11 【答案】 A 【解析】 设椭圆的右焦点为 F ，由题意得 ( ,0)， (0, )( ,0) 90M F N N M F ，且 N F O N F O ， 90N M O N F O ， 0F ， 2 2 2( , ) ( , ) 0a b c b a c b a c a c ，即 10 ， 解得 512e ，故选 A 12 【答案】 A 【解析】 由 )(有理数 ( ( ) 1f f x，故命题 正确； 易得 )()()( 是偶函数，故 正确； 易得 ( ) ( )f x T f x 是偶函数，故 正确； 取 3(1 , 0)3A ， (1,1)B ， 3(1 , 0)3C ，可得 为等边三角形 ，故 正确， 综上 ， 真命题的个数有 4 个 第 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 【答案】 6766【解析】 由题意可知1 2 3 4 14 6 3a a a a a d ，7 8 9 13 2 1 4a a a a d ， 解得1 322a ， 766d， 所以51 674 66a a d 14 【答案】 32【解析】 31 4 1 0 2 33 3 ( l o g 3 3 ) ( ) s i n ( ) s i 3 3 2f f f f 15 【答案】 45【解析】 如图所示可行域，由 2222 00z x y x y 结合图像， z 可看作原点到直线 2 2 0 的距离 d 的 平 方 ， 根 据 点 到 直 线 的 距 离 可 得22002 25521d，故 2 2 2 45z x y d 本题答案填 45 16 【答案】 18 【解析】 由题意得 2( ) 3 2f x x a x b ，且 1 0 , 1 1 0， 即23 2 01 1 0b a ，解得 4, 11 或 3, 3 ， 当 3, 3 时，此时 22( ) 3 6 3 3 ( 1 ) 0f x x x x ，函数无极值； 当 4, 11 时， 32( ) 4 1 1 1 6f x x x x ，则 (2) 8f 三 、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17 （本小题满分为 12 分） 【答案】 （ 1） 为直角三角形，且 90C ；（ 2） 14 【解析】 （ 1） s i n s i n ( c o s c o s ) s i A B C ， 由正、余弦定理，得 2 2 2 2 2 2()22b c a c a ba b cb c c a 化简整理得： 2 2 2( ) ( ) ( )a b a b a b c ， 0 ，所以 2 2 2( ) ( ) ( )a b a b a b c ， 故 为直角三角形，且 90C ； （ 2） 2 2 212a b c a b c ， 221 2 2 2 ( 2 2 )a b a b a b a b a b ， 当且仅当 时，上式等号成立， 22故 21 1 2 1()2 2 2 4a b ， 即积的最大值为 14 18 （本小题满分为 12 分） 【答案】 （ 1） 13 762；（ 2） 【解析】 （ 1）由题意得 1 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 07x ， 1 1 2 1 1 2 8 1 3 5 1 4 1 1 4 8 1 5 4 1 6 0 1 4 17y 7 21 9 4 1 0 1 4 9 2 8ii ， 7 1 3 2 0 2 1 3 1 6 0 0 1 7 2 1 3 3 1 9 1 8 2x x y y ，所以 1211 8 2 1 32 8 2x y ， 131 4 1 1 0 7 62a y b x ， 所求回归方程为 13 762 （ 2）由（ 1）知， 13 02b ，故张三同学 7 岁至 13 岁的身高每年都在增高， 15x 代入（ 1）中的回归方程，得 13 1 5 7 6 1 7 3 . 52y ， 故预测张三同学 15 岁的身高为 19 （本小题满分为 12 分） 【答案】 （ 1）见解析；（ 2）968 【解析】 （ 1）证明：取 中点 D ，连结 是等边三角形 D 是 中点， C 是等边三角形 D 是 中点， C D D ， 平面 平面 平面 C （ 2）由（ 1）可知 面 平面 平面 面 平面 面 D ，过点 O 作 ，则 面 是点 O 到侧面 距离 由题意可知点 O 在 ，设正四面体 棱长为 a ， 213s i n 6 024S B S C a 正四面体 侧面积为 348 ， 33484333 2 B C， 8a 在等边三角形 ， D 是 中点， ， 同理可得 O 为底面正三角形 中心， ， ， 在 中， 由 2121，得： 2 3213 66 321， 9 6896 点 O 到侧面 距离为968 20 （本小题满分为 12 分） 【答案】 （ 1） 12；（ 2） 9(0, )41 【解析】 （ 1）令 ( , 0 )( 0 )F c c，则 M a c ， m a c 由 234M m a，得 23( ) ( )4a c a c a ，即 2 2 234a c a，即 224， 2 14e ，即 12e，所以椭圆的离心率为 12 （ 2）由线段 垂直平分线分别与轴 x 、 y 轴交与点 D 、 E ，知 斜率存在且不为0令 方程为 x ty c 联立 2222143x ty ，得 2 2 2( 3 4 ) 6 9 0t y c t y c 12 3634t ，1 2 1 2 2 8( ) 2 34cx x t y y c t ， 2243( , )3 4 3 4c c tG 由 B ，得 223134 1434 ，解之得234t 由 R t D G F R t D O E ，得222 2 2 221222243( ) ( )3 4 3 4 3 4 9 9 0()34c c c D t t t 令12S ，则 9p ，于是 1222122 21 而 1 (9+ )， 递增， 1 1 8 2999p p 于是1222122 2982 419 又1222122 0 ， 12222的取值范围是 9(0, )41 21 （本小题满分为 12 分） 【答案】 （ 1） 0a 时，增区间是 0, ，无减区间； 0a 时，增区间是 ,a ，减区间是 0,a ；（ 2） 1 个 【解析】 （ 1）函数 20 , , 当 0a 时， 0 ，所以 0, ，无减区间； 当 0a 时， x a x ，当 0 时， 0 ，函数 时， 0 ，函数 综上，当 0a 时，函数 0, ，无减区间；当 0a 时， 区间是 ,a ，减区间是 0,a （ 2）令 21 1 l n , 02F x f x g x x a x a x x ，问题等价于求函数 当 0a 时， 21 , 0 ,2F x x x x F x 有唯一零点； 当 0a 时， 1() x x 当 1a 时， ( ) 0 ，当且仅当 1x 时取等号，所以 注意到 31 0 , 4 l n 4 02 ，所以 1,4 内有唯一零点； 当 1a 时，当 01x，或 时 ， ( ) 0 ； 1 时， ( ) 0 ，所以 0,1 和 ,a 上单调递减，在 1,a 上单调递增 注意到 11 0 , 2 2 l n 2 2 02F a F a a a ， 所以 1,