共轭复数的多项式性质

共轭复数的多项式性质 时贞军 张祖华 平阴县职业教育中心 山东平阴 250400 曲阜师范大学运筹与管理学院 山东日照 276826 摘要：本文发现了共轭复数的多项式性质。 关键词：复数 共轭复数 多项式。 据百度百科介绍，共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反 数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。当虚部不为 零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反,如果虚部为零，其共轭复 数就是自身。 （当虚部不等于 0 时也叫共轭虚数）复数 z 的共轭复数 记作 z。同时, 复数 z称为复数 z 的复共轭(complex conjugate). 根据定义，若 z=a+bi(a，bR)，则 z=abi（a,bR)。 共轭复数所对应的点关于实轴对称（详见附图） 。两个复数:x+yi 与 x-yi 称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数.在复平面上. 表示两个共轭复数的点关于 X 轴对称.而这一点正是“共轭“一词的来 源.两头牛平行地拉一部犁,它们的肩膀上要共架一个横梁,这横梁就 叫做“轭“.如果用 Z 表示 X+Yi,那么在 Z 字上面加个“一“就表示 X-Yi,或 相反. 共轭复数有些有趣的性质: x+yi=x-yi (x+yi)*(x- yi)=x2+y2=x+yi2=x-yi2 另外还有一些四则运算性质. 2 代数特征 编辑 （1）|z|=|z|； （2）z+z=2a（实数） ， zz=2bi； （3）z z=|z|2=a2+b2（实数） ； 加法法则 复数的加法法则：设 z1=a+bi,z2=c+di 是任意 两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原 来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。即 (a+bi)(c+di) =(ac)+(bd)i. 减法法则 两个复数的差为实数之差加上虚数之差（乘以 i） 即：z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i 乘法法则 复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多 项式相乘，结果中 i2 = -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的 积仍然是一个复数。 即：z1z2=（a+bi)(c+di) =ac+adi+bci+bdi2=(acbd)+(bc+ad)i. 除法法则 复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的 复数 x+yi(x,yR）叫复数 a+bi 除以复数 c+di 的商运算方法：将 分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。 即： 开方法则 若 zn=r(cos+isin） ，则 z=nrcos(2k+） /n+isin(2k+）/n（k=0，1，2，3n-1） 共轭法则 z=x+iy 的共轭，标注为 z*就是共轭数 z*=x-iy 即：zz*=（x+iy) (x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2 即，当一个复数乘以他的共轭数， 结果是实数。 z=x+iy 和 z*=x-iy 被称作共轭对 3 运算特征（1）(z1+z2)=z1+z2 （2） (z1-z2) =z1-z2 （3） (z1z2)=z1z2 （4） (z1/z2) =z1/z2 (z20) 总结：和（差、积、商）的共轭等于共轭的和 （差、积、商） 。 4 模的运算性质 编辑 | z1z2| = |z1|z2| | z1| z2| z1+z2| z1|+| z2| 由 3 运算特征的总结：和（差、积、商）的共轭等于共轭