全网沪教版小学数学知识点梳理总结

徐 公 子 亮 沪教版小学数学知识点梳理总结（全网最全）第一章数和数的运算一 概 念（ 一 ） 整 数1 整 数 的 意 义自 然 数 和 0 都 是 整 数 。2 自 然 数我 们 在 数 物 体 的 时 候 ， 用 来 表 示 物 体 个 数 的 1， 2， 3 叫 做 自 然 数 。一 个 物 体 也 没 有 ， 用 0 表 示 。 0 也 是 自 然 数 。3 计 数 单 位 一 （ 个 ） 、 十 、 百 、 千 、 万 、 十 万 、 百 万 、 千 万 、 亿 都 是 计 数 单 位 。每 相 邻 两 个 计 数 单 位 之 间 的 进 率 都 是 10。 这 样 的 计 数 法 叫 做 十 进 制 计 数法 。4 数 位计 数 单 位 按 照 一 定 的 顺 序 排 列 起 来 ， 它 们 所 占 的 位 置 叫 做 数 位 。5 数 的 整 除整 数 a 除 以 整 数 b(b 0） ， 除 得 的 商 是 整 数 而 没 有 余 数 ， 我 们 就 说 a 能被 b 整 除 ， 或 者 说 b 能 整 除 a 。如 果 数 a 能 被 数 b（ b 0） 整 除 ， a 就 叫 做 b 的 倍 数 ， b 就 叫 做 a 的 约 数（ 或 a 的 因 数 ） 。 倍 数 和 约 数 是 相 互 依 存 的 。因 为 35 能 被 7 整 除 ， 所 以 35 是 7 的 倍 数 ， 7 是 35 的 约 数 。一 个 数 的 约 数 的 个 数 是 有 限 的 ， 其 中 最 小 的 约 数 是 1， 最 大 的 约 数 是 它 本身 。 例 如 ： 10 的 约 数 有 1、 2、 5、 10， 其 中 最 小 的 约 数 是 1， 最 大 的 约 数是 10。 一 个 数 的 倍 数 的 个 数 是 无 限 的 ， 其 中 最 小 的 倍 数 是 它 本 身 。 3 的 倍 数 有 ：3、 6、 9、 12 其 中 最 小 的 倍 数 是 3 ， 没 有 最 大 的 倍 数 。个 位 上 是 0、 2、 4、 6、 8 的 数 ， 都 能 被 2 整 除 ， 例 如 ： 202、 480、 304，都 能 被 2 整 除 。 。个 位 上 是 0 或 5 的 数 ， 都 能 被 5 整 除 ， 例 如 ： 5、 30、 405 都 能 被 5 整 除 。 。一 个 数 的 各 位 上 的 数 的 和 能 被 3 整 除 ， 这 个 数 就 能 被 3 整 除 ， 例 如 ： 12、108、 204 都 能 被 3 整 除 。一 个 数 各 位 数 上 的 和 能 被 9 整 除 ， 这 个 数 就 能 被 9 整 除 。能 被 3 整 除 的 数 不 一 定 能 被 9 整 除 ， 但 是 能 被 9 整 除 的 数 一 定 能 被 3 整 除 。一 个 数 的 末 两 位 数 能 被 4（ 或 25） 整 除 ， 这 个 数 就 能 被 4（ 或 25） 整 除 。 徐 公 子 亮 例 如 ： 16、 404、 1256 都 能 被 4 整 除 ， 50、 325、 500、 1675 都 能 被 25 整除 。一 个 数 的 末 三 位 数 能 被 8（ 或 125） 整 除 ， 这 个 数 就 能 被 8（ 或 125） 整 除 。例 如 ： 1168、 4600、 5000、 12344 都 能 被 8 整 除 ， 1125、 13375、 5000 都能 被 125 整 除 。能 被 2 整 除 的 数 叫 做 偶 数 。不 能 被 2 整 除 的 数 叫 做 奇 数 。0 也 是 偶 数 。 自 然 数 按 能 否 被 2 整 除 的 特 征 可 分 为 奇 数 和 偶 数 。一 个 数 ， 如 果 只 有 1 和 它 本 身 两 个 约 数 ， 这 样 的 数 叫 做 质 数 （ 或 素 数 ） ，100 以 内 的 质 数 有 ： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23、 29、 31、 37、 41、43、 47、 53、 59、 61、 67、 71、 73、 79、 83、 89、 97。一 个 数 ， 如 果 除 了 1 和 它 本 身 还 有 别 的 约 数 ， 这 样 的 数 叫 做 合 数 ， 例 如 4、6、 8、 9、 12 都 是 合 数 。1 不 是 质 数 也 不 是 合 数 ， 自 然 数 除 了 1 外 ， 不 是 质 数 就 是 合 数 。 如 果 把 自 然 数 按 其 约 数 的 个数 的 不 同 分 类 ， 可 分 为 质 数 、 合 数 和 1。每 个 合 数 都 可 以 写 成 几 个 质 数 相 乘 的 形 式 。 其中 每 个 质 数 都 是 这 个 合 数 的 因 数 ， 叫 做 这 个 合数 的 质 因 数 ， 例 如 15=3 5， 3 和 5 叫 做 15 的质 因 数 。把 一 个 合 数 用 质 因 数 相 乘 的 形 式 表 示 出 来 ， 叫做 分 解 质 因 数 。 （ 例 如 把 28 分 解 质 因 数 ）几 个 数 公 有 的 约 数 ， 叫 做 这 几 个 数 的 公 约 数 。 其 中 最 大 的 一 个 ， 叫 做 这 几个 数 的 最 大 公 约 数 ， 例 如 12 的 约 数 有 1、 2、 3、 4、 6、 12； 18 的 约 数 有1、 2、 3、 6、 9、 18。 其 中 ， 1、 2、 3、 6 是 12 和 1 8 的 公 约 数 ， 6 是 它 们的 最 大 公 约 数 。公 约 数 只 有 1 的 两 个 数 ， 叫 做 互 质 数 ， 成 互 质 关 系 的 两 个 数 ， 有 下 列 几 种 情 况 ：1 和 任 何 自 然 数 互 质 。相 邻 的 两 个 自 然 数 互 质 。两 个 不 同 的 质 数 互 质 。当 合 数 不 是 质 数 的 倍 数 时 ， 这 个 合 数 和 这 个 质 数 互 质 。两 个 合 数 的 公 约 数 只 有 1 时 ， 这 两 个 合 数 互 质 ， 如 果 几 个 数 中 任 意 两 个 都互 质 ， 就 说 这 几 个 数 两 两 互 质 。如 果 较 小 数 是 较 大 数 的 约 数 ， 那 么 较 小 数 就 是 这 两 个 数 的 最 大 公 约 数 。如 果 两 个 数 是 互 质 数 ， 它 们 的 最 大 公 约 数 就 是 1。几 个 数 公 有 的 倍 数 ， 叫 做 这 几 个 数 的 公 倍 数 ， 其 中 最 小 的 一 个 ， 叫 做 这 几 徐 公 子 亮 个 数 的 最 小 公 倍 数 ， 如 2 的 倍 数 有 2、 4、 6 、 8、 10、 12、 14、 16、 18 3 的 倍 数 有 3、 6、 9、 12、 15、 18 其 中 6、 12、 18 是 2、 3 的 公倍 数 ， 6 是 它 们 的 最 小 公 倍 数 。 。如 果 较 大 数 是 较 小 数 的 倍 数 ， 那 么 较 大 数 就 是 这 两 个 数 的 最 小 公 倍 数 。如 果 两 个 数 是 互 质 数 ， 那 么 这 两 个 数 的 积 就 是 它 们 的 最 小 公 倍 数 。几 个 数 的 公 约 数 的 个 数 是 有 限 的 ， 而 几 个 数 的 公 倍 数 的 个 数 是 无 限 的 。（ 二 ） 小 数1 小 数 的 意 义把 整 数 1 平 均 分 成 10 份 、 100 份 、 1000 份 得 到 的 十 分 之 几 、 百 分 之几 、 千 分 之 几 可 以 用 小 数 表 示 。一 位 小 数 表 示 十 分 之 几 ， 两 位 小 数 表 示 百 分 之 几 ， 三 位 小 数 表 示 千 分 之几 一 个 小 数 由 整 数 部 分 、 小 数 部 分 和 小 数 点 部 分 组 成 。 数 中 的 圆 点 叫 做 小 数点 ， 小 数 点 左 边 的 数 叫 做 整 数 部 分 ， 小 数 点 左 边 的 数 叫 做 整 数 部 分 ， 小 数点 右 边 的 数 叫 做 小 数 部 分 。在 小 数 里 ， 每 相 邻 两 个 计 数 单 位 之 间 的 进 率 都 是 10。 小 数 部 分 的 最 高 分数 单 位 “ 十 分 之 一 ” 和 整 数 部 分 的 最 低 单 位 “ 一 ” 之 间 的 进 率 也 是 10。2 小 数 的 分 类纯 小 数 ： 整 数 部 分 是 零 的 小 数 ， 叫 做 纯 小 数 。 例 如 ： 0.25 、 0.368 都 是纯 小 数 。带 小 数 ： 整 数 部 分 不 是 零 的 小 数 ， 叫 做 带 小 数 。 例 如 ： 3.25 、 5.26 都是 带 小 数 。有 限 小 数 ： 小 数 部 分 的 数 位 是 有 限 的 小 数 ， 叫 做 有 限 小 数 。 例 如 ： 41.7 、 25.3 、 0.23 都 是 有 限 小 数 。无 限 小 数 ： 小 数 部 分 的 数 位 是 无 限 的 小 数 ， 叫 做 无 限 小 数 。 例如 ： 4.33 3.1415926 无 限 不 循 环 小 数 ： 一 个 数 的 小 数 部 分 ， 数 字 排 列 无 规 律 且 位 数 无 限 ， 这 样的 小 数 叫 做 无 限 不 循 环 小 数 。 例 如 ： 循 环 小 数 ： 一 个 数 的 小 数 部 分 ， 有 一 个 数 字 或 者 几 个 数 字 依 次 不 断 重 复 出现 ， 这 个 数 叫 做 循 环 小 数 。 如 ： 3.555 0.0333 12.109109 徐 公 子 亮 一 个 循 环 小 数 的 小 数 部 分 ， 依 次 不 断 重 复 出 现 的 数 字 叫 做 这 个 循 环 小 数 的循 环 节 。 例 如 ： 3.99 的 循 环 节 是 “ 9 ” ， 0.5454 的 循 环 节 是“ 54 ” 。纯 循 环 小 数 ： 循 环 节 从 小 数 部 分 第 一 位 开 始 的 ， 叫 做 纯 循 环 小 数 。 例如 ： 3.111 0.5656 混 循 环 小 数 ： 循 环 节 不 是 从 小 数 部 分 第 一 位 开 始 的 ， 叫 做 混 循 环 小数 。 3.1222 0.03333 写 循 环 小 数 的 时 候 ， 为 了 简 便 ， 小 数 的 循 环 部 分 只 需 写 出 一 个 循 环 节 ， 并在 这 个 循 环 节 的 首 、 末 位 数 字 上 各 点 一 个 圆 点 。 如 果 循 环 节 只 有 一 个 数字 ， 就 只 在 它 的 上 面 点 一 个 点 。 例 如 ： 3.777 简 写作 0.5302302 简 写 作 。 （ 三 ） 分 数1 分 数 的 意 义把 单 位 “ 1” 平 均 分 成 若 干 份 ， 表 示 这 样 的 一 份 或 者 几 份 的 数 叫 做 分 数 。在 分 数 里 ， 中 间 的 横 线 叫 做 分 数 线 ； 分 数 线 下 面 的 数 ， 叫 做 分 母 ， 表 示 把单 位 “ 1” 平 均 分 成 多 少 份 ； 分 数 线 下 面 的 数 叫 做 分 子 ， 表 示 有 这 样 的 多少 份 。把 单 位 “ 1” 平 均 分 成 若 干 份 ， 表 示 其 中 的 一 份 的 数 ， 叫 做 分 数 单 位 。2 分 数 的 分 类真 分 数 ： 分 子 比 分 母 小 的 分 数 叫 做 真 分 数 。 真 分 数 小 于 1。假 分 数 ： 分 子 比 分 母 大 或 者 分 子 和 分 母 相 等 的 分 数 ， 叫 做 假 分 数 。 假 分 数大 于 或 等 于 1。 带 分 数 ： 假 分 数 可 以 写 成 整 数 与 真 分 数 合 成 的 数 ， 通 常 叫 做 带 分 数 。3 约 分 和 通 分把 一 个 分 数 化 成 同 它 相 等 但 是 分 子 、 分 母 都 比 较 小 的 分 数 ， 叫 做 约 分 。分 子 分 母 是 互 质 数 的 分 数 ， 叫 做 最 简 分 数 。把 异 分 母 分 数 分 别 化 成 和 原 来 分 数 相 等 的 同 分 母 分 数 ， 叫 做 通 分 。（ 四 ） 百 分 数1 表 示 一 个 数 是 另 一 个 数 的 百 分 之 几 的 数 叫 做 百 分 数 ,也 叫 做 百 分 率 或 徐 公 子 亮 百 分 比 。 百 分 数 通 常 用 “%“来 表 示 。 百 分 号 是 表 示 百 分 数 的 符 号 。二 方 法（ 一 ） 数 的 读 法 和 写 法1. 整 数 的 读 法 ： 从 高 位 到 低 位 ， 一 级 一 级 地 读 。 读 亿 级 、 万 级 时 ， 先 按照 个 级 的 读 法 去 读 ， 再 在 后 面 加 一 个 “ 亿 ” 或 “ 万 ” 字 。 每 一 级 末 尾 的 0都 不 读 出 来 ， 其 它 数 位 连 续 有 几 个 0 都 只 读 一 个 零 。2. 整 数 的 写 法 ： 从 高 位 到 低 位 ， 一 级 一 级 地 写 ， 哪 一 个 数 位 上 一 个 单 位也 没 有 ， 就 在 那 个 数 位 上 写 0。3. 小 数 的 读 法 ： 读 小 数 的 时 候 ， 整 数 部 分 按 照 整 数 的 读 法 读 ， 小 数 点 读作 “ 点 ” ， 小 数 部 分 从 左 向 右 顺 次 读 出 每 一 位 数 位 上 的 数 字 。4. 小 数 的 写 法 ： 写 小 数 的 时 候 ， 整 数 部 分 按 照 整 数 的 写 法 来 写 ， 小 数 点 写 在 个 位 右 下 角 ， 小 数 部 分 顺 次 写 出 每 一 个 数 位 上 的 数 字 。5. 分 数 的 读 法 ： 读 分 数 时 ， 先 读 分 母 再 读 “ 分 之 ” 然 后 读 分 子 ， 分 子 和分 母 按 照 整 数 的 读 法 来 读 。6. 分 数 的 写 法 ： 先 写 分 数 线 ， 再 写 分 母 ， 最 后 写 分 子 ， 按 照 整 数 的 写 法来 写 。7. 百 分 数 的 读 法 ： 读 百 分 数 时 ， 先 读 百 分 之 ， 再 读 百 分 号 前 面 的 数 ， 读数 时 按 照 整 数 的 读 法 来 读 。8. 百 分 数 的 写 法 ： 百 分 数 通 常 不 写 成 分 数 形 式 ， 而 在 原 来 的 分 子 后 面 加上 百 分 号 “ %” 来 表 示 。（ 二 ） 数 的 改 写一 个 较 大 的 多 位 数 ， 为 了 读 写 方 便 ， 常 常 把 它 改 写 成 用 “ 万 ” 或 “ 亿 ” 作 单 位 的 数 。 有 时 还 可 以 根 据 需 要 ， 省 略 这 个 数 某 一 位 后 面 的 数 ， 写 成 近 似数 。1. 准 确 数 ： 在 实 际 生 活 中 ， 为 了 计 数 的 简 便 ， 可 以 把 一 个 较 大 的 数 改 写成 以 万 或 亿 为 单 位 的 数 。 改 写 后 的 数 是 原 数 的 准 确 数 。 例 如把 1254300000 改 写 成 以 万 做 单 位 的 数 是 125430 万 ； 改 写 成 以 亿 做 单位 的 数 12.543 亿 。 徐 公 子 亮 2. 近 似 数 ： 根 据 实 际 需 要 ， 我 们 还 可 以 把 一 个 较 大 的 数 ， 省 略 某 一 位 后面 的 尾 数 ， 用 一 个 近 似 数 来 表 示 。 例 如 ： 1302490015 省 略 亿 后 面 的 尾 数是 13 亿 。3. 四 舍 五 入 法 ： 要 省 略 的 尾 数 的 最 高 位 上 的 数 是 4 或 者 比 4 小 ， 就 把 尾数 去 掉 ； 如 果 尾 数 的 最 高 位 上 的 数 是 5 或 者 比 5 大 ， 就 把 尾 数 舍 去 ， 并 向它 的 前 一 位 进 1。 例 如 ： 省 略 345900 万 后 面 的 尾 数 约 是 35 万 。 省略 4725097420 亿 后 面 的 尾 数 约 是 47 亿 。4. 大 小 比 较（ 1） 比 较 整 数 大 小 ： 比 较 整 数 的 大 小 ， 位 数 多 的 那 个 数 就 大 ， 如 果 位 数相 同 ， 就 看 最 高 位 ， 最 高 位 上 的 数 大 ， 那 个 数 就 大 ； 最 高 位 上 的 数 相 同 ，就 看 下 一 位 ， 哪 一 位 上 的 数 大 那 个 数 就 大 。 （ 2） 比 较 小 数 的 大 小 ： 先 看 它 们 的 整 数 部 分 ， ， 整 数 部 分 大 的 那 个 数 就大 ； 整 数 部 分 相 同 的 ， 十 分 位 上 的 数 大 的 那 个 数 就 大 ； 十 分 位 上 的 数 也 相同 的 ， 百 分 位 上 的 数 大 的 那 个 数 就 大 （ 3） 比 较 分 数 的 大 小 :分 母 相 同 的 分 数 ， 分 子 大 的 分 数 比 较 大 ； 分 子 相 同的 数 ， 分 母 小 的 分 数 大 。 分 数 的 分 母 和 分 子 都 不 相 同 的 ， 先 通 分 ， 再 比 较两 个 数 的 大 小 。（ 三 ） 数 的 互 化1. 小 数 化 成 分 数 ： 原 来 有 几 位 小 数 ， 就 在 1 的 后 面 写 几 个 零 作 分 母 ， 把原 来 的 小 数 去 掉 小 数 点 作 分 子 ， 能 约 分 的 要 约 分 。2. 分 数 化 成 小 数 ： 用 分 母 去 除 分 子 。 能 除 尽 的 就 化 成 有 限 小 数 ， 有 的 不能 除 尽 ， 不 能 化 成 有 限 小 数 的 ， 一 般 保 留 三 位 小 数 。 3. 一 个 最 简 分 数 ， 如 果 分 母 中 除 了 2 和 5 以 外 ， 不 含 有 其 他 的 质 因 数 ，这 个 分 数 就 能 化 成 有 限 小 数 ； 如 果 分 母 中 含 有 2 和 5 以 外 的 质 因 数 ， 这 个分 数 就 不 能 化 成 有 限 小 数 。4. 小 数 化 成 百 分 数 ： 只 要 把 小 数 点 向 右 移 动 两 位 ， 同 时 在 后 面 添 上 百 分号 。5. 百 分 数 化 成 小 数 ： 把 百 分 数 化 成 小 数 ， 只 要 把 百 分 号 去 掉 ， 同 时 把 小数 点 向 左 移 动 两 位 。 徐 公 子 亮 6. 分 数 化 成 百 分 数 ： 通 常 先 把 分 数 化 成 小 数 （ 除 不 尽 时 ， 通 常 保 留 三 位小 数 )， 再 把 小 数 化 成 百 分 数 。7. 百 分 数 化 成 小 数 ： 先 把 百 分 数 改 写 成 分 数 ， 能 约 分 的 要 约 成 最 简 分 数 。（ 四 ） 数 的 整 除1. 把 一 个 合 数 分 解 质 因 数 ， 通 常 用 短 除 法 。 先 用 能 整 除 这 个 合 数 的 质 数去 除 ， 一 直 除 到 商 是 质 数 为 止 ， 再 把 除 数 和 商 写 成 连 乘 的 形 式 。2. 求 几 个 数 的 最 大 公 约 数 的 方 法 是 ： 先 用 这 几 个 数 的 公 约 数 连 续 去 除 ，一 直 除 到 所 得 的 商 只 有 公 约 数 1 为 止 ， 然 后 把 所 有 的 除 数 连 乘 求 积 ， 这 个积 就 是 这 几 个 数 的 的 最 大 公 约 数 。3. 求 几 个 数 的 最 小 公 倍 数 的 方 法 是 ： 先 用 这 几 个 数 （ 或 其 中 的 部 分 数 ）的 公 约 数 去 除 ， 一 直 除 到 互 质 （ 或 两 两 互 质 ） 为 止 ， 然 后 把 所 有 的 除 数 和 商 连 乘 求 积 ， 这 个 积 就 是 这 几 个 数 的 最 小 公 倍 数 。4. 成 为 互 质 关 系 的 两 个 数 ： 1 和 任 何 自 然 数 互 质 ； 相 邻 的 两 个 自 然 数 互质 ； 当 合 数 不 是 质 数 的 倍 数 时 ， 这 个 合 数 和 这 个 质 数 互 质 ； 两 个 合 数 的公 约 数 只 有 1 时 ， 这 两 个 合 数 互 质 。（ 五 ） 约 分 和 通 分约 分 的 方 法 ： 用 分 子 和 分 母 的 公 约 数 （ 1 除 外 ） 去 除 分 子 、 分 母 ； 通 常 要除 到 得 出 最 简 分 数 为 止 。通 分 的 方 法 ： 先 求 出 原 来 的 几 个 分 数 分 母 的 最 小 公 倍 数 ， 然 后 把 各 分 数 化成 用 这 个 最 小 公 倍 数 作 分 母 的 分 数 。三 性 质 和 规 律（ 一 ） 商 不 变 的 规 律 商 不 变 的 规 律 ： 在 除 法 里 ， 被 除 数 和 除 数 同 时 扩 大 或 者 同 时 缩 小 相 同 的 倍 ，商 不 变 。（ 二 ） 小 数 的 性 质小 数 的 性 质 ： 在 小 数 的 末 尾 添 上 零 或 者 去 掉 零 小 数 的 大 小 不 变 。（ 三 ） 小 数 点 位 置 的 移 动 引 起 小 数 大 小 的 变 化1. 小 数 点 向 右 移 动 一 位 ， 原 来 的 数 就 扩 大 10 倍 ； 小 数 点 向 右 移 动 两 位 ， 徐 公 子 亮 原 来 的 数 就 扩 大 100 倍 ； 小 数 点 向 右 移 动 三 位 ， 原 来 的 数 就 扩 大 1000倍 2. 小 数 点 向 左 移 动 一 位 ， 原 来 的 数 就 缩 小 10 倍 ； 小 数 点 向 左 移 动 两 位 ，原 来 的 数 就 缩 小 100 倍 ； 小 数 点 向 左 移 动 三 位 ， 原 来 的 数 就 缩 小 1000倍 3. 小 数 点 向 左 移 或 者 向 右 移 位 数 不 够 时 ， 要 用 “ 0“补 足 位 。（ 四 ） 分 数 的 基 本 性 质分 数 的 基 本 性 质 ： 分 数 的 分 子 和 分 母 都 乘 以 或 者 除 以 相 同 的 数 （ 零 除 外 ） ，分 数 的 大 小 不 变 。（ 五 ） 分 数 与 除 法 的 关 系 1. 被 除 数 除 数 = 被 除 数 /除 数2. 因 为 零 不 能 作 除 数 ， 所 以 分 数 的 分 母 不 能 为 零 。3. 被 除 数 相 当 于 分 子 ， 除 数 相 当 于 分 母 。四 运 算 的 意 义（ 一 ） 整 数 四 则 运 算1 整 数 加 法 ： 把 两 个 数 合 并 成 一 个 数 的 运 算 叫 做 加 法 。- 在 加 法 里 ， 相 加 的 数 叫 做 加 数 ， 加 得 的 数 叫 做 和 。 加 数 是 部 分 数 ， 和 是总 数 。- 加 数 +加 数 =和 一 个 加 数 =和 另 一 个 加 数2 整 数 减 法 ： 已 知 两 个 加 数 的 和 与 其 中 的 一 个 加 数 ， 求 另 一 个 加 数 的 运 算 叫 做 减 法 。- 在 减 法 里 ， 已 知 的 和 叫 做 被 减 数 ， 已 知 的 加 数 叫 做 减 数 ， 未 知 的 加 数 叫做 差 。 被 减 数 是 总 数 ， 减 数 和 差 分 别 是 部 分 数 。- 加 法 和 减 法 互 为 逆 运 算 。3 整 数 乘 法 ： 求 几 个 相 同 加 数 的 和 的 简 便 运 算 叫 做 乘 法 。- 在 乘 法 里 ， 相 同 的 加 数 和 相 同 加 数 的 个 数 都 叫 做 因 数 。 相 同 加 数 的 和 叫做 积 。 徐 公 子 亮 - 在 乘 法 里 ， 0 和 任 何 数 相 乘 都 得 0. 1 和 任 何 数 相 乘 都 的 任 何 数 。- 一 个 因 数 一 个 因 数 =积 一 个 因 数 =积 另 一 个 因 数4 整 数 除 法 ： 已 知 两 个 因 数 的 积 与 其 中 一 个 因 数 ， 求 另 一 个 因 数 的 运 算 叫做 除 法 。- 在 除 法 里 ， 已 知 的 积 叫 做 被 除 数 ， 已 知 的 一 个 因 数 叫 做 除 数 ， 所 求 的 因数 叫 做 商 。- 乘 法 和 除 法 互 为 逆 运 算 。- 在 除 法 里 ， 0 不 能 做 除 数 。 因 为 0 和 任 何 数 相 乘 都 得 0， 所 以 任 何 一 个数 除 以 0， 均 得 不 到 一 个 确 定 的 商 。- 被 除 数 除 数 =商 除 数 =被 除 数 商 被 除 数 =商 除 数（ 二 ） 小 数 四 则 运 算 1. 小 数 加 法 ： 小 数 加 法 的 意 义 与 整 数 加 法 的 意 义 相 同 。 是 把 两 个 数 合 并成 一 个 数 的 运 算 。2. 小 数 减 法 ： 小 数 减 法 的 意 义 与 整 数 减 法 的 意 义 相 同 。 已 知 两 个 加 数 的和 与 其 中 的 一 个 加 数 ， 求 另 一 个 加 数 的 运 算 .3. 小 数 乘 法 ： 小 数 乘 整 数 的 意 义 和 整 数 乘 法 的 意 义 相 同 ， 就 是 求 几 个 相同 加 数 和 的 简 便 运 算 ； 一 个 数 乘 纯 小 数 的 意 义 是 求 这 个 数 的 十 分 之 几 、 百分 之 几 、 千 分 之 几 是 多 少 。4. 小 数 除 法 ： 小 数 除 法 的 意 义 与 整 数 除 法 的 意 义 相 同 ， 就 是 已 知 两 个 因数 的 积 与 其 中 一 个 因 数 ， 求 另 一 个 因 数 的 运 算 。5. 乘 方 求 几 个 相 同 因 数 的 积 的 运 算 叫 做 乘 方 。 例 如 3 3 =32（ 三 ） 分 数 四 则 运 算 1. 分 数 加 法 ： 分 数 加 法 的 意 义 与 整 数 加 法 的 意 义 相 同 。 是 把 两 个 数 合 并成 一 个 数 的 运 算 。2. 分 数 减 法 ： 分 数 减 法 的 意 义 与 整 数 减 法 的 意 义 相 同 。 已 知 两 个 加 数 的和 与 其 中 的 一 个 加 数 ， 求 另 一 个 加 数 的 运 算 。3. 分 数 乘 法 ： 分 数 乘 法 的 意 义 与 整 数 乘 法 的 意 义 相 同 ， 就 是 求 几 个 相 同加 数 和 的 简 便 运 算 。4. 乘 积 是 1 的 两 个 数 叫 做 互 为 倒 数 。 徐 公 子 亮 5. 分 数 除 法 ： 分 数 除 法 的 意 义 与 整 数 除 法 的 意 义 相 同 。 就 是 已 知 两 个 因数 的 积 与 其 中 一 个 因 数 ， 求 另 一 个 因 数 的 运 算 。（ 四 ） 运 算 定 律1. 加 法 交 换 律 ： 两 个 数 相 加 ， 交 换 加 数 的 位 置 ， 它 们 的 和 不 变 ， 即a+b=b+a 。2. 加 法 结 合 律 ： 三 个 数 相 加 ， 先 把 前 两 个 数 相 加 ， 再 加 上 第 三 个 数 ； 或者 先 把 后 两 个 数 相 加 ， 再 和 第 一 个 数 相 加 它 们 的 和 不 变 ， 即（ a+b)+c=a+(b+c) 。3. 乘 法 交 换 律 ： 两 数 相 乘 ， 交 换 因 数 位 置 它 们 的 积 不 变 ， 即 a b=b a。4. 乘 法 结 合 律 ： 三 数 相 乘 ， 先 把 前 两 数 相 乘 ， 再 乘 以 第 三 数 ； 或 者 先 把后 两 数 相 乘 ， 再 和 第 一 数 相 乘 ， 它 们 的 积 不 变 ， 即 (a b) c=a (b c) 。 5. 乘 法 分 配 律 ： 两 个 数 的 和 与 一 个 数 相 乘 ， 可 以 把 两 个 加 数 分 别 与 这 个数 相 乘 再 把 两 个 积 相 加 ， 即 (a+b) c=a c+b c 。6. 减 法 的 性 质 ： 从 一 个 数 里 连 续 减 去 几 个 数 ， 可 以 从 这 个 数 里 减 去 所 有减 数 的 和 ， 差 不 变 ， 即 a-b-c=a-(b+c) 。（ 五 ） 运 算 法 则1. 整 数 加 法 计 算 法 则 ： 相 同 数 位 对 齐 ， 从 低 位 加 起 ， 哪 一 位 上 的 数 相 加满 十 ， 就 向 前 一 位 进 一 。2. 整 数 减 法 计 算 法 则 ： 相 同 数 位 对 齐 ， 从 低 位 加 起 ， 哪 一 位 上 的 数 不 够减 ， 就 从 它 的 前 一 位 退 一 作 十 ， 和 本 位 上 的 数 合 并 在 一 起 ， 再 减 。3. 整 数 乘 法 计 算 法 则 ： 先 用 一 个 因 数 每 一 位 上 的 数 分 别 去 乘 另 一 个 因 数 各 个 数 位 上 的 数 ， 用 因 数 哪 一 位 上 的 数 去 乘 ， 乘 得 的 数 的 末 尾 就 对 齐 哪 一位 ， 然 后 把 各 次 乘 得 的 数 加 起 来 。4. 整 数 除 法 计 算 法 则 ： 先 从 被 除 数 的 高 位 除 起 ， 除 数 是 几 位 数 ， 就 看 被除 数 的 前 几 位 ； 如 果 不 够 除 ， 就 多 看 一 位 ， 除 到 被 除 数 的 哪 一 位 ， 商 就写 在 哪 一 位 的 上 面 。 如 果 哪 一 位 上 不 够 商 1， 要 补 “ 0” 占 位 。 每 次 除 得的 余 数 要 小 于 除 数 。5. 小 数 乘 法 法 则 ： 先 按 照 整 数 乘 法 的 计 算 法 则 算 出 积 ， 再 看 因 数 中 共 有 徐 公 子 亮 几 位 小 数 ， 就 从 积 的 右 边 起 数 出 几 位 ， 点 上 小 数 点 ； 如 果 位 数 不 够 ， 就 用“ 0” 补 足 。6. 除 数 是 整 数 的 小 数 除 法 计 算 法 则 ： 先 按 照 整 数 除 法 的 法 则 去 除 ， 商 的小 数 点 要 和 被 除 数 的 小 数 点 对 齐 ； 如 果 除 到 被 除 数 的 末 尾 仍 有 余 数 ， 就 在余 数 后 面 添 “ 0” ， 再 继 续 除 。7. 除 数 是 小 数 的 除 法 计 算 法 则 ： 先 移 动 除 数 的 小 数 点 ， 使 它 变 成 整 数 ，除 数 的 小 数 点 也 向 右 移 动 几 位 （ 位 数 不 够 的 补 “ 0” ） ， 然 后 按 照 除 数 是整 数 的 除 法 法 则 进 行 计 算 。8. 同 分 母 分 数 加 减 法 计 算 方 法 :同 分 母 分 数 相 加 减 ， 只 把 分 子 相 加 减 ， 分母 不 变 。9. 异 分 母 分 数 加 减 法 计 算 方 法 :先 通 分 ， 然 后 按 照 同 分 母 分 数 加 减 法 的 的 法 则 进 行 计 算 。10. 带 分 数 加 减 法 的 计 算 方 法 :整 数 部 分 和 分 数 部 分 分 别 相 加 减 ， 再 把 所得 的 数 合 并 起 来 。11. 分 数 乘 法 的 计 算 法 则 :分 数 乘 整 数 ， 用 分 数 的 分 子 和 整 数 相 乘 的 积 作分 子 ， 分 母 不 变 ； 分 数 乘 分 数 ， 用 分 子 相 乘 的 积 作 分 子 ， 分 母 相 乘 的 积 作分 母 。12. 分 数 除 法 的 计 算 法 则 :甲 数 除 以 乙 数 （ 0 除 外 ） ， 等 于 甲 数 乘 乙 数 的倒 数 。（ 六 ） 运 算 顺 序1. 小 数 四 则 运 算 的 运 算 顺 序 和 整 数 四 则 运 算 顺 序 相 同 。2. 分 数 四 则 运 算 的 运 算 顺 序 和 整 数 四 则 运 算 顺 序 相 同 。 3. 没 有 括 号 的 混 合 运 算 :同 级 运 算 从 左 往 右 依 次 运 算 ； 两 级 运 算 先 算 乘 、除 法 ， 后 算 加 减 法 。4. 有 括 号 的 混 合 运 算 :先 算 小 括 号 里 面 的 ， 再 算 中 括 号 里 面 的 ， 最 后 算 括号 外 面 的 。5. 第 一 级 运 算 ： 加 法 和 减 法 叫 做 第 一 级 运 算 。6. 第 二 级 运 算 ： 乘 法 和 除 法 叫 做 第 二 级 运 算 。 徐 公 子 亮 五 应 用（ 一 ） 整 数 和 小 数 的 应 用1 简 单 应 用 题（ 1） 简 单 应 用 题 ： 只 含 有 一 种 基 本 数 量 关 系 ， 或 用 一 步 运 算 解 答 的 应 用题 ， 通 常 叫 做 简 单 应 用 题 。（ 2） 解 题 步 骤 ：a 审 题 理 解 题 意 ： 了 解 应 用 题 的 内 容 ， 知 道 应 用 题 的 条 件 和 问 题 。 读 题 时 ，不 丢 字 不 添 字 边 读 边 思 考 ， 弄 明 白 题 中 每 句 话 的 意 思 。 也 可 以 复 述 条 件 和问 题 ， 帮 助 理 解 题 意 。b 选 择 算 法 和 列 式 计 算 ： 这 是 解 答 应 用 题 的 中 心 工 作 。 从 题 目 中 告 诉 什 么 ，要 求 什 么 着 手 ， 逐 步 根 据 所 给 的 条 件 和 问 题 ， 联 系 四 则 运 算 的 含 义 ， 分 析 数 量 关 系 ， 确 定 算 法 ， 进 行 解 答 并 标 明 正 确 的 单 位 名 称 。C 检 验 ： 就 是 根 据 应 用 题 的 条 件 和 问 题 进 行 检 查 看 所 列 算 式 和 计 算 过 程 是否 正 确 ， 是 否 符 合 题 意 。 如 果 发 现 错 误 ， 马 上 改 正 。d 答 案 ： 根 据 计 算 的 结 果 ， 先 口 答 ， 逐 步 过 渡 到 笔 答 。( 3 ) 解 答 加 法 应 用 题 ：a 求 总 数 的 应 用 题 ： 已 知 甲 数 是 多 少 ， 乙 数 是 多 少 ， 求 甲 乙 两 数 的 和 是 多少 。b 求 比 一 个 数 多 几 的 数 应 用 题 ： 已 知 甲 数 是 多 少 和 乙 数 比 甲 数 多 多 少 ， 求乙 数 是 多 少 。(4 ) 解 答 减 法 应 用 题 ：a 求 剩 余 的 应 用 题 ： 从 已 知 数 中 去 掉 一 部 分 ， 求 剩 下 的 部 分 。 -b 求 两 个 数 相 差 的 多 少 的 应 用 题 ： 已 知 甲 乙 两 数 各 是 多 少 ， 求 甲 数 比 乙数 多 多 少 ， 或 乙 数 比 甲 数 少 多 少 。c 求 比 一 个 数 少 几 的 数 的 应 用 题 ： 已 知 甲 数 是 多 少 ， ， 乙 数 比 甲 数 少 多 少 ，求 乙 数 是 多 少 。(5 ) 解 答 乘 法 应 用 题 ：a 求 相 同 加 数 和 的 应 用 题 ： 已 知 相 同 的 加 数 和 相 同 加 数 的 个 数 ， 求 总 数 。 徐 公 子 亮 b 求 一 个 数 的 几 倍 是 多 少 的 应 用 题 ： 已 知 一 个 数 是 多 少 ， 另 一 个 数 是 它 的几 倍 ， 求 另 一 个 数 是 多 少 。( 6) 解 答 除 法 应 用 题 ：a 把 一 个 数 平 均 分 成 几 份 ， 求 每 一 份 是 多 少 的 应 用 题 ： 已 知 一 个 数 和 把 这个 数 平 均 分 成 几 份 的 ， 求 每 一 份 是 多 少 。b 求 一 个 数 里 包 含 几 个 另 一 个 数 的 应 用 题 ： 已 知 一 个 数 和 每 份 是 多 少 ， 求可 以 分 成 几 份 。C 求 一 个 数 是 另 一 个 数 的 的 几 倍 的 应 用 题 ： 已 知 甲 数 乙 数 各 是 多 少 ， 求 较大 数 是 较 小 数 的 几 倍 。d 已 知 一 个 数 的 几 倍 是 多 少 ， 求 这 个 数 的 应 用 题 。（ 7） 常 见 的 数 量 关 系 ： - 总 价 = 单 价 数 量- 路 程 = 速 度 时 间- 工 作 总 量 =工 作 时 间 工 效- 总 产 量 =单 产 量 数 量2 复 合 应 用 题（ 1） 有 两 个 或 两 个 以 上 的 基 本 数 量 关 系 组 成 的 ， 用 两 步 或 两 步 以 上 运 算解 答 的 应 用 题 ， 通 常 叫 做 复 合 应 用 题 。（ 2） 含 有 三 个 已 知 条 件 的 两 步 计 算 的 应 用 题 。- 求 比 两 个 数 的 和 多 （ 少 ） 几 个 数 的 应 用 题 。- 比 较 两 数 差 与 倍 数 关 系 的 应 用 题 。（ 3） 含 有 两 个 已 知 条 件 的 两 步 计 算 的 应 用 题 。 - 已 知 两 数 相 差 多 少 （ 或 倍 数 关 系 ） 与 其 中 一 个 数 ， 求 两 个 数 的 和 （ 或 差 ） 。- 已 知 两 数 之 和 与 其 中 一 个 数 ， 求 两 个 数 相 差 多 少 （ 或 倍 数 关 系 ） 。（ 4） 解 答 连 乘 连 除 应 用 题 。（ 5） 解 答 三 步 计 算 的 应 用 题 。（ 6） 解 答 小 数 计 算 的 应 用 题 ： 小 数 计 算 的 加 法 、 减 法 、 乘 法 和 除 法 的 应用 题 ， 他 们 的 数 量 关 系 、 结 构 、 和 解 题 方 式 都 与 正 式 应 用 题 基 本 相 同 ， 只是 在 已 知 数 或 未 知 数 中 间 含 有 小 数 。 徐 公 子 亮 3 典 型 应 用 题具 有 独 特 的 结 构 特 征 的 和 特 定 的 解 题 规 律 的 复 合 应 用 题 ， 通 常 叫 做 典 型 应用 题 。（ 1） 平 均 数 问 题 ： 平 均 数 是 等 分 除 法 的 发 展 。- 解 题 关 键 ： 在 于 确 定 总 数 量 和 与 之 相 对 应 的 总 份 数 。- 算 术 平 均 数 ： 已 知 几 个 不 相 等 的 同 类 量 和 与 之 相 对 应 的 份 数 ， 求 平 均 每份 是 多 少 。 数 量 关 系 式 ： 数 量 之 和 数 量 的 个 数 =算 术 平 均 数 。- 加 权 平 均 数 ： 已 知 两 个 以 上 若 干 份 的 平 均 数 ， 求 总 平 均 数 是 多 少 。- 数 量 关 系 式 （ 部 分 平 均 数 权 数 ） 的 总 和 （ 权 数 的 和 ） =加 权 平 均 数 。- 差 额 平 均 数 ： 是 把 各 个 大 于 或 小 于 标 准 数 的 部 分 之 和 被 总 份 数 均 分 ，求 的 是 标 准 数 与 各 数 相 差 之 和 的 平 均 数 。 - 数 量 关 系 式 ： （ 大 数 小 数 ） 2=小 数 应 得 数 最 大 数 与 各 数 之 差 的 和 总 份 数 =最 大 数 应 给 数 最 大 数 与 个 数 之 差 的 和 总 份 数 =最 小 数 应得 数 。例 ： 毓 毓 开 汽 车 以 每 小 时 100 千 米 的 速 度 从 甲 地 开 往 乙 地 ， 又 以 每 小时 60 千 米 的 速 度 从 乙 地 开 往 甲 地 。 求 这 辆 车 的 平 均 速 度 。分 析 ： 求 汽 车 的 平 均 速 度 同 样 可 以 利 用 公 式 。 此 题 可 以 把 甲 地 到 乙 地 的 路程 设 为 “ 1 ” ， 则 汽 车 行 驶 的 总 路 程 为 “ 2 ” ， 从 甲 地 到 乙 地 的 速 度 为 100 ，所 用 的 时 间 为 1 100 =1/100（ 小 时 ） ， 汽 车 从 乙 地 到 甲 地 速 度 为 60 千米 ， 所 用 的 时 间 是 1 60 =1/60（ 小 时 ） ， 汽 车 共 行 的 时 间 为1/100+1/60 =2/75(小 时 ), 汽 车 的 平 均 速 度 为 2 2/75 =75（ 千 米 /小 时 ）（ 2） 归 一 问 题 ： 已 知 相 互 关 联 的 两 个 量 ， 其 中 一 种 量 改 变 ， 另 一 种 量 也 随 之 而 改 变 ， 其 变 化 的 规 律 是 相 同 的 ， 这 种 问 题 称 之 为 归 一 问 题 。- 根 据 求 “ 单 一 量 ” 的 步 骤 的 多 少 ， 归 一 问 题 可 以 分 为 一 次 归 一 问 题 ， 两次 归 一 问 题 。- 根 据 球 痴 单 一 量 之 后 ， 解 题 采 用 乘 法 还 是 除 法 ， 归 一 问 题 可 以 分 为 正 归一 问 题 ， 反 归 一 问 题 。- 一 次 归 一 问 题 ， 用 一 步 运 算 就 能 求 出 “ 单 一 量 ” 的 归 一 问 题 。 又 称 “ 单归 一 。 ” 徐 公 子 亮 - 两 次 归 一 问 题 ， 用 两 步 运 算 就 能 求 出 “ 单 一 量 ” 的 归 一 问 题 。 又 称 “ 双归 一 。 ”- 正 归 一 问 题 ： 用 等 分 除 法 求 出 “ 单 一 量 ” 之 后 ， 再 用 乘 法 计 算 结 果 的 归一 问 题 。- 反 归 一 问 题 ： 用 等 分 除 法 求 出 “ 单 一 量 ” 之 后 ， 再 用 除 法 计 算 结 果 的 归一 问 题 。- 解 题 关 键 ： 从 已 知 的 一 组 对 应 量 中 用 等 分 除 法 求 出 一 份 的 数 量 （ 单 一 量 ） ，然 后 以 它 为 标 准 ， 根 据 题 目 的 要 求 算 出 结 果 。数 量 关 系 式 ： 单 一 量 份 数 =总 数 量 （ 正 归 一 ）- 总 数 量 单 一 量 =份 数 （ 反 归 一 ）例