利用导数证明 不等式(精选多篇)

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 利用导数证明不等式(精选多篇) 利用导数证明不等式 没分都没 人答埃。 。觉得可以就给个好评! 最基本的方法就是将不等式的的 一边移到另一边，然后将这个式子令为 一个函数 f.对这个函数求导，判断这个 函数这各个区间的单调性，然后证明其 最大值大于 0.这样就能说明原不等式了 成立了! 1.当 x1 时,证明不等式 xln 设函数 f=x-ln 求导，f=1-1/=x/0 所以 f 在上为增函数 ff=1-ln2o 所以 xln=a-a f=1-2a -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 当 00;当 1/2 因此，fmin=f=1/40 即有当 00 3.x0,证明：不等式 x-x/6 先证明 sinx 因为当 x=0 时，sinx-x=0 如果当函数 sinx-x 在 x0 是减函 数，那么它一定 求导数有 sinx-x 的 导数是 cosx-1 因为 cosx-10 所以 sinx-x 是减函数，它在 0 点 有最大值 0， 知 sinx 再证 x-x/6 对于函数 x-x/6-sinx 当 x=0 时，它的值为 0 对它求导数得 1-x/2-cosx 如果它 要证 x/2+cosx-10x0 再次用到函数关系，令 x=0 时， x/2+cosx-1 值为 0 再次对它求导数得 x-sinx -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 根据刚才证明的当 x0sinx x/2-cosx-1 是减函数，在 0 点有 最大值 0 x/2-cosx-10 所以 x-x/6-sinx 是减函数，在 0 点有最大值 0 得 x-x/6 利用函数导数单调性证明不等式 x-x0，x成立 令 f=x-xx 则 f=1-2x 当 x时,f0,f 单调递增 当 x时,f 故 f 的最大值在 x=1/2 处取得，最小值在 x=0 或 1 处取 得 f=0,f=0 故 f 的最小值为零 故当 xf=x-x0。 i、m、n 为正整数，且 1 克维教育中考、高考培训专家铸 就孩子辉煌的未来 函数与导数 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 核心考点五、利用导数证明不等 式 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括 为：证明不等式 f?g 的问题转化为证明 f?g?0，进而构造辅助函数 h?f?g，然后 利用导数证明函数 h 的单调性或证明函 数 h 的最小值大于或等于零。 例 1、已知函数 f?lnx?ax2?x 讨论函数 f 的单调性； 设 a?0，证明：当 0?x?111 时， f?f； aaa 若函数 f 的图像与 x 轴交于 a、b 两点，线段 ab 中点的横坐标为 x0， 证明：f?0 已知函数 f?ln?x，求证：恒有 1?1?ln?x 成立。 x?1 xx?0，证明： e?1?x x2 ?lnx?0 时，求证： x?2 二、常数类不等式证明 常数类不等式证明的通法可概括 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 为：证明常数类不等式的问题等价转化 为证明不等式 f?f 的问题，在根据 a,b 的不等式关系和函数 f 的单调性证明不 等式。 例 2、已知 m?n?e,，求证：n?m 例 3、已知函数 f?ln? 求 f 的极小值； 若 a,b?0，求证：lna?lnb?1? mnx， 1?xb a 已知 f?lnx，g?127，直线 l 与函 数 f、g 的 x?mx?22 图像都相切，且与函数 f 的图像 的切点的横坐标为 1 求直线 l 的方程及 m 的值； 若 h?f?g?，求函数 h 的最大值； 当 0?b?a 时，求证：f?f?b?a 2a 求证： b?ab?lnba?b?aa 1?x)?x?0 证明： ln 求证： 2?2?2? 23n2 当 t?1 时，证明：1?lnt?t?1 1t x21，各项不为零的数列?an?满 足 4sn?f?1， 已知函数 f?an2 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 1n?11 求证：?ln?； an?1nan 设 bn?1，tn 为数列 ?bn?的前 n 项和，求证：t2014?1?ln2014?t2014。 an 导 数 的 应 用 -利用导数证明 不等式 1、利用导数判断函数的单调性； 2、利用导数求函数的极值、最 值； 引言：导数是研究函数性质的一 种重要工具例如：求函数的单调区间、 求函数的最大值、求函数的值域等 等然而，不等式是历年高考重点考查 的内容之一.尤其是在解答题中对其的考 查，更是学生感到比较棘手的一个题.因 而在解决一些不等式问题时，如能根据 不等式的特点，恰当地构造函数，运用 导数证明或判断该函数的单调性, 出该 函数的最值；由当该函数取最大值时不 等式都成立，可得该不等式恒成立，从 而把证明不等式问题转化为函数求最值 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 问题然后用函数单调性去解决不等式 的一些相关问题，可使问题迎刃而解. 因此，很多时侯可以利用导数作为工具 得出函数性质，从而解决不等式问题 下面具体讨论导数在解决与不等式有关 的问题时的作用 三、例题分析 1、利用导数得出函数单调性来 证明不等式 x2 例 1：当 x0 时,求证：x?ln . 2 x2x2 证明：设 f= x?ln, 则 f=? 21?x x0,f x2 所以 x0 时,f 小结：把不等式变形后构造函数，然后 用导数证明该函数的单调性，达到证明 不等式的目的 随堂练习：课本 p32：b 组第一 题第 3 小题 2、利用导数解决不等式恒成立 问题 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 1 例已知函数 f?aex?x2 2 若 f 在 r 上为增函数,求 a 的取值 范围; 若 a=1,求证:x0 时 ,f1+x 解：f aex， 在上为增函数，f对 恒成立， 即-对恒成立 记-，则- -=e-x， 当时，当 时， 知在上为增函数,在上为减函数, g 在 x=1 时,取得最大值，即 gmax=g=1/e, a1/e, 即 a 的取值范围是?lnx?lna?x. 22 当 0?x?a 时，f?0,因此 f 在内为 减函数. 当 x?a 时,f?0, 因此 f 在上为增函 数. 从而当 x?a 时, f 有极小值 f. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 因为 f?0,b?a,所以 f?0,即 g?g?2g?0. 2 又设 g?f?ln2.则 g? lnx?lna?x?ln2?lnx?ln. 当 x?0 时,g?0.因此 g 在上为减函 数. 因为 g?0,b?a,所以 g?0,即 g?g?2g?ln2. 2 综上结论得证。 对于看起来无法下手的一个不等 式证明，对其巧妙地构造函数后，运用 导数研 究了它的单调性后，通过利用函 数的单调性比较函数值的大小,使得问题 得以简单解决. 四、课堂小结 1、利用导数证明不等式或解决 不等式恒成立问题,关键是把不等式变形 后构造恰当的函数，然后用导数判断该 函数的单调性或求出最值，达到证明不 等式的目的； 2、利用导数解决不等式恒成立 问题，应特别注意区间端点是否取得到； -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 3、学会观察不等式与函数的内 在联系，学会变主元构造函数再利用导 数证明不等式； 总之，无论是证明不等式，还是 解不等式，我们都可以构造恰当的函数， 利用到函数的单调性或最值，借助导数 工具来解决，这种解题方法也是转化与 化归思想在中学数学中的重要体现 五、思维拓展 ax2 x?e； 已知函数 f?e?x?1，g?2x 求证：当 a?1 时对于任意正实数 x, f 的 图象总不会在 g 图象的上方； 对于在上任意的 a 值，问是否存 在正实数 x 使得 f?g 成立？ 如果存在，求出符合条件的 x 的 一个取值；否则说明理由。 导 数 的 应 用 -利用导数证明不等式 教学目标：1、进一步熟练并加 深导数在函数中的应用并学会利用导数 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 证明不等式 2、培养学生的分析问题、解决 问题及知识的综合运用能力； 教学重 点：利用导数证明不等式 教学难点：利用导数证明不等式 教学过程： 一、复习回顾 1、利用导数判断函数的单调性； 2、利用导数求函数的极值、最 值； 二、新课引入 引言：导数是研究函数性质的一 种重要工具例如：求函数的单调区间、 求函数的最大值、求函数的值域等 等然而，不等式是历年高考重点考查 的内容之一.尤其是在解答题中对其的考 查，更是学生感到比较棘手的一个题.因 而在解决一些不等式问题时，如能根据 不等式的特点，恰当地构造函数，运用 导数证明或判断该函数的单调性, 出该 函数的最值；由当该函数取最大值时不 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 等式都成立，可得该不等式恒成立，从 而把证明不等式问题转化为函数求最值 问题然后用函数单调性去解决不等式 的一些相关问题，可使问题迎刃而解. 因此，很多时侯可以利用导数作为工具 得出函数性质，从而解决不等式问题 下面具体讨论导数在解决与不等式有关 的问题时的作用 三、新知探究 1、利用导数得出函数单调性来 证明不等式 x2 例 1：当 x0 时,求证：x?ln . 2 x2x2 证明：设 f= x?ln, 则 f=? 21?x x0,f x2 所以 x0 时,f 小结：把不等式变形后构造函数，然后 用导数证明该函数的单调性，达到证明 不等式的目的 随堂练习：课本 p32：b 组第一 题第 3 小题 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 13 2、利用导数解决不等式恒成立 问题 1 例已知函数 f?aex?x2 2 若 f 在 r 上为增函数,求 a 的取值 范围; 若 a=1,求证:x0 时 ,f1+x 解：f aex， 在上为增函数，f对 恒成立， 即-对恒成立 记-，则- -=e-x， 当时，当 时， 知在上为增函数,在上为减函数, g 在 x=1 时,取得最大值，即 gmax=g=1/e, a1/e, 即 a 的取值范围是?lnx?lna?x. 22 当 0?x?a 时，f?0,因此 f 在内为 减函数. 当 x?a 时,f?0, 因此 f 在上为增函 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 14 数. 从而当 x?a 时, f 有极小值 f. 因为 f?0,b?a,所以 f?0,即 g?g?2g?0. 2 又设 g?f?ln2.则 g? lnx?lna?x?ln2?lnx?ln. 当 x?0 时,g?0.因此 g 在上为减函 数. 因为 g?0,b?a,所以 g?0,即 g?g?2g?ln2. 2 综上结论得证。 对于看起来无法下手的一个不等 式证明，对其巧妙地构造函数后，运用 导数研究了它的单调性后，通过利用函 数的单调性比较函数值的大小,使得问题 得以简单解决. 四、课堂小结 1、利用导数证明不等式或解决 不等式恒成立问题,关键是把不等式变形 后构造恰当的函数，然后用导数判断该 函数的单调性或求出最值，达到证明不 等式的目的； 2、利用导数解决不等式恒成立 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 15 问题，应特别注意区间端点是否取得到； 3、学会观察不等式与函数的内 在联系，学会变主元构造函数再利用导 数证明不等式； 总之，无论是证明不等式，还是 解不等式，我们都可以构造恰当的函数， 利用到函数的单调性或最值，借助导数 工具来解决，这种解题方法也是转化与 化归思想在中学数学中的重要体现 五、思维拓展 ax2 x?e； 已知函数 f?e?x?1，g?2x 求证：当 a?1 时对于任意正实数 x, f 的 图象总不会在 g 图象的上方； 对于在上任意的 a 值，问是否存 在正实数 x 使得 f?g 成立？ 如果存在，求出符合条件的 x 的 一个取值；否则说明理由。 利用导数证明不等式的常见题型 及解题技巧 技巧精髓 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 16 1、利用导数研究函数的单调性， 再由单调性来证明不等式是函数、导数、 不等式综合中的一个难点，也是近几年 高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数， 把不等式的证明转化为利用导数研究函 数的单调性或求最值，从而证得不等式， 而如何根据不等式的结构特征构造一个 可导函数是用导数证明不等式的关键。 一、利用题目所给函数证明 已知函数 f?ln?x，求证：当 x?1 时，恒有 1?1?ln?x x?1 分析：本题是双边不等式，其右 边直接从已知函数证明，左边构造函数 1?1，从其导数入手即可证明。 x?1 1xf?1?x?1x?1g?ln? 当?1?x?0 时，f?0，即 f 在 x? 上为增函数 当 x?0 时，f?0 ，即 f 在 x?上为 减函数 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 17 故函数 f 的单调递增区间为，单 调递减区间 于是函数 f 在上的最大值为 fmax?f?0，因此，当 x?1 时，f?f?0，即 ln?x?0ln?x ， 现证左面，令 g?ln?11x1? ?1， 则 g?22x?1x?1 当 x?时 ,g?0;当 x?时,g?0 ， 即 g 在 x?上为减函数，在 x?上 为增函数， 故函数 g 在上的最小值为 gmin?g?0， 1?1?0 x?1 11ln?1? ，综上可知，当 x?1 时,有?1?ln?xx?1x?1 如果 f 是函数 f 在区间上的最大 值，则有 f?f， 那么要证不等式，只要求函数的 最大值不超过 0 就可得证 当 x?1 时，g?g?0，即 ln? 2、直接作差构造函数证明 已知函数 f? -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 18 图象的下方； 第 1 页 共 4 页 122x?lnx. 求 证：在区间上，函数 f 的图象在函数 g?x3 的 23 分析：函数 f 的图象在函数 g 的 图象的下方? 不等式 f?g 问题， 12212x?lnx?x3，只需证明在区间上，恒 有 x2?lnx?x3 成立，设 2323 1f?g?f，x? ，考虑到 f?0 6 要证不等式转化变为：当 x?1 时， f?f，这只要证明： g 在区间是增函数 即可。 21 设 f?g?f，即 f?x3?x2?lnx， 32 即 1 则 f?2x?x?= xx2 当 x?1 时，f?= x 从而 f 在上为增函数，f?f? 当 x?1 时 g?f?0，即 f?g， 故在区间上，函数 f 的图象在函 数 g?1?0 623x 的图象的下方。 3 本题首先根据题意构造出一个函 数， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 19 并利用导数判断所设函数的单调 性，再根据函数单调性的定义，证明要 证的不等式。读者也可以设 f?f?g 做一 做，深刻体会其中的思想方法。 3、换元后作差构造函数证明 111 都成立. ?nn2n3 1 分析：本题是山东卷的第问， 从所证结构出发，只需令?x，则问题转 化为：当 x?0 时，恒 n 证明：对任意的 正整数 n，不等式 ln? 有 ln?x?x 成立，现构造函数 h?x?x?ln，求导即可达到证明。 令 h?x?x?ln， 322332 13x3?2 ?则 h?3x?2x?在 x?上恒正， x?1x?12 所以函数 h 在上单调递增，x? 时，恒有 h?h?0， 即 x?x?ln?0，ln?x?x 对任意正整数 n，取 x?32231111?， 则有 ln?2?3 nnnn 我们知道，当 f 在上单调递增， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 20 则 x?a 时，有 f?f如果 f?，要证明当 x?a 时，f? ，那么，只要令 ff?，就 可以利用 f 的单调增性来推导也就是 说，在 f 可导的前提下，只要证明 f? 即可 4、从条件特征入手构造函数证 明 若函数 y=f 在 r 上可导且满足不 等式 xf?f 恒成立，且常数 a，b 满足 ab，求 证：afbf 由已知 xf?+f0 构造函数 f?xf， 则 f? xf?+f0， 从而 f 在 r 上为 增函数。 ?a?b f?f 即 afbf 由条件移项后 xf?f，容易想到是 一个积的导数，从而可以构造函数 f?xf， 求导即可完成证明。若题目中的 条件改为 xf?f，则移项后 xf?f，要想 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 21 到 是一个商的导数的分子，平时解 题多注意总结。 21、 设 a?0,f?x?1?lnx?2alnx