向量法证明正 弦定理(精选多篇)

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 向量法证明正弦定理(精选多篇) 向量法证明正弦定理 证明 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 任意三角形 abc,作 abc 的外接圆 o. 作直径 bd 交o 于 d.连接 da. 因为直径所对的圆周角是直角,所 以dab=90 度 因为同弧所对的圆周角相等,所以 d 等于c. 所以 c/sinc=c/sind=bd=2r 2 如图 1，abc 为锐角三角形，过 点 a 作单位向量 j 垂直于向量 ac，则 j 与向量 ab 的夹角为 90-a，j 与向量 cb 的夹角为 90-c -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 由图 1，ac+cb=ab 在向量等式两边同乘向量 j,得 jac+cb=jab jaccos90+jcbcos =jabcos asinc=csina a/sina=c/sinc 同理，过点 c 作与向量 cb 垂直 的单位向量 j，可得 c/sinc=b/sinb a/sina=b/sinb=c/sinc 2 步骤 1 记向量 i，使 i 垂直于 ac 于 c， abc 三边 ab,bc,ca 为向量 a,b,c a+b+c=0 则 i =ia+ib+ic =acos)+b0+ccos =-asinc+csina=0 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 接着得到正弦定理 其他 步骤 2. 在锐角abc 中，设 bc=a,ac=b,ab=c。作 chab 垂足为点 h ch=asinb ch=bsina asinb=bsina 得到 a/sina=b/sinb 同理，在abc 中， b/sinb=c/sinc 步骤 3. 证明 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 任意三角形 abc,作 abc 的外接圆 o. 作直径 bd 交o 于 d.连接 da. 因为直径所对的圆周角是直角,所 以dab=90 度 因为同弧所对的圆周角相等,所以 d 等于c. 所以 c/sinc=c/sind=bd=2r -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 类似可证其余两个等式。 3 用向量叉乘表示面积则 s=cb 叉 乘 ca=ac 叉乘 ab =absinc=bcsina =a/sina=c/sinc 2014-7-1817:16jinren92|三级 记向量 i，使 i 垂直于 ac 于 c， abc 三边 ab,bc,接着得到正弦定理其他步 骤 2.在锐角abc 中，证明 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形 abc, 4 过三角形 abc 的顶点 a 作 bc 边上 的高，垂足为 d.当 d 落在边 bc 上时， 向量 ab 与向量 ad 的夹角为 90-b，向 量 ac 与向量 ad 的夹角为 90-c，由于向 量 ab、向量 ac 在向量 ad 方向上的射影 相等，有数量积的几何意义可知向量 ab*向量 ad=向量 ac*向量 ad 即向量 ab 的绝对值*向量 ad 的绝对值 *cos=向量 的 ac 绝对值*向量 ad 的绝对值*cos 所 以 csinb=bsinc 即 b/sinb=c/sinc 当 d 落在 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 bc 的延长线上时，同样可以证得 用向量法证明正弦定理教学设计 一、 教学目标 1、知识与技能：掌握正弦定理 的内容及其证明方法；会运用正弦定理 解决一 些简单的三角形度量问题。 2、过程与方法：让学生通过向 量方法证明正弦定理，了解知识之间的 联系， 让学生在应用定理解决问题的过 程中更深入地理解定理及其作用。 3、情感、态度与价值观：通过 正弦定理的发现与证明过程体验数学的 探索 性与创造性，让学生体验成功的 喜悦。 二、教学重难点分析 重点：正弦定理的向量证明过程 并运用正弦定理解决一些简单的三角形 度量问 题。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 难点：正弦定理的发现并证明过 程以及已知两边以及其中一边的对角解 三角形 时解的个数的判断。 三、教学过程 1.借助 rtabc，中找出边角关系。 在 rt?abc 中，设 bc=a, ac=b, ab=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有 sin a=,sinb=,sinc=, 则在 这三个式子中，能得到 c=从 而在直角三角 abc 形 abc 中， ?c sinsinsin2.那 么在任意三角形中这个结论是否成立？ 通过向量进行证明。 过点 a 作单位向量 j?ac，由向量 的加法可得 ab?ac?cb ? 则 j?ab?j? ?j?ab?j?ac?j?cb? -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 ? ?jabcos?900?a?0?jcbcos?900?c? ac?csina?asinc ，即 bc?n 同理，过点 c 作 j?bc，可得从而 a sian?b?sbinsin c 从上面的研探过程，可得以下定 理 3.正弦定理：在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等，即 abc?sinasinbsinc 4.总结正弦定理适用范围 范围 a：已知三角形的两边及其 中一边的对角，求另外一边的对角 范围 b：已知三角形两角一边求 出另外一边 5.定理变形： a:b:c=sina:sinb:sinc 6.例题讲解 例 1：在abc 中，已知 a=32.0， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 b=81.8，a=42.9cm，解三角形。 评述：此类问题结果为唯一解， 学生较易掌握，先利用内角和 180求出 第三角，再利用正弦定理. 7.能力提升 例 2：在abc 中， ，a=2,求 b,b,c。 评述：此类问题结果为多解，学 生容易产生漏解的情况，在此题的解题 过程 中，让学生自主练习，然后在课 堂上讨论，通过相互交流，总结出存在 多解的情况，应与大边对大角结合分情 况讨论，培养学生分类讨论的思想。 8.课堂总结 总结本堂课的内容：正弦定理、 正弦定理适用范围、正弦定理应该注意 的问题 9.课后作业 在?abc 中，已知角 ?b?45?，c?22,b?43，则角 a 的 值是 ?a.15b.75c.105d.75 或 15 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 在 abc 中,若 a?30?,b?60?,则 a:b:c? ?b?60，b?76,a?14，则 a=?abc 在 中，若 ?a?,b?2,b?45?abc 在中，已知， 解三角形。 向量证明正弦定理 表述：设 三面角p-abc 的三个面角 bpc，cpa，apb 所对的二面角依 次为pa， pb，pc ，则 sinpa/sinbpc=sinpb/sincpa=sin pc/sinapb。 目录 1 证明 2 全向量证明 证明 过 a 做 oa平面 bpc 于 o。过 o 分别做 ombp 于 m 与 onpc 于 n。连 结 am、an。显然， pb=amo， sinpb=ao/am;pc=an o，sin pc=ao/an。另外， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 sincpa=an/ap ，sinapb=am/ap。则 sinpb/sin cpa=aoap/=sinpc/sina pb。同理可证 sinpa/sinbpc=sinpb/sincpa。即 可得证三面角正弦定理。 全向量证明 如图 1，abc 为锐角三角形，过 点 a 作单位向量 j 垂直于向量 ac，则 j 与向量 ab 的夹角为 90-a，j 与向量 cb 的夹角为 90-c 由图 1，ac+cb=ab 在向量等式两边同乘向量 j,得 jac+cb=jab jaccos90+jcbcos =jabcos asinc=csina a/sina=c/sinc 同理，过点 c 作与向量 cb 垂直 的单位向量 j，可得 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 c/sinc=b/sinb a/sina=b/sinb=c/sinc 2 步骤 1 记向量 i，使 i 垂直于 ac 于 c， abc 三边 ab,bc,ca 为向量 a,b,c a+b+c=0 则 i =ia+ib+ic =acos)+b0+ccos =-asinc+csina=0 接着得到正弦定理 其他 步骤 2. 在锐角abc 中，设 bc=a,ac=b,ab=c。作 chab 垂足为点 h ch=asinb ch=bsina asinb=bsina 得到 a/sina=b/sinb 同理，在abc 中， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 b/sinb=c/sinc 步骤 3. 证明 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 任意三角形 abc,作 abc 的外接圆 o. 作直径 bd 交o 于 d.连接 da. 因为直径所对的圆周角是直角,所 以dab=90 度 因为同弧所对的圆周角相等,所以 d 等于c. 所以 c/sinc=c/sind=bd=2r 类似可证其余两个等式。 3 用向量叉乘表示面积则 s=cb 叉 乘 ca=ac 叉乘 ab =absinc=bcsina =a/sina=c/sinc 2014-7-1817:16jinren92|三级 记向量 i，使 i 垂直于 ac 于 c， abc 三边 ab,bc,接着得到正弦定理其他步 骤 2.在锐角abc 中，证明 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 13 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形 abc, 4 过三角形 abc 的顶点 a 作 bc 边上 的高，垂足为 d.当 d 落在边 bc 上时， 向量 ab 与向量 ad 的夹角为 90-b，向 量 ac 与向量 ad 的夹角为 90-c，由于向 量 ab、向量 ac 在向量 ad 方向上的射影 相等，有数量积的几何意义可知向量 ab*向量 ad=向量 ac*向量 ad 即向量 ab 的绝对值*向量 ad 的绝对值 *cos=向量 的 ac 绝对值*向量 ad 的绝对值*cos 所 以 csinb=bsinc 即 b/sinb=c/sinc 当 d 落在 bc 的延长线上时，同样可以证得 用向量证明正弦定理 如图 1，abc 为锐角三角形，过点 a 作单位 向量 j 垂直于向量 ac，则 j 与向量 ab 的 夹角为 90-a，j 与向量 cb 的夹角为 90 -c 由图 1，ac+cb=ab 在向量等式两边同乘向量 j,得 jac+cb=jab -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 14 jaccos90+jcbcos =jabcos asinc=csina a/sina=c/sinc 同理，过点 c 作与向量 cb 垂直 的单位向量 j，可得 c/sinc=b/sinb a/sina=b/sinb=c/sinc 2 步骤 1 记向量 i，使 i 垂直于 ac 于 c， abc 三边 ab,bc,ca 为向量 a,b,c a+b+c=0 则 i =ia+ib+ic =acos)+b0+ccos =-asinc+csina=0 接着得到正弦定理 其他 步骤 2. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 15 在锐角abc 中，设 bc=a,ac=b,ab=c。作 chab 垂足为点 h ch=asinb ch=bsina asinb=bsina 得到 a/sina=b/sinb 同理，在abc 中， b/sinb=c/sinc 步骤 3. 证明 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 任意三角形 abc,作 abc 的外接圆 o. 作直径 bd 交o 于 d.连接 da. 因为直径所对的圆周角是直角,所 以dab=90 度 因为同弧所对的圆周角相等,所以 d 等于c. 所以 c/sinc=c/sind=bd=2r 类似可证其余两个等式。 3 用向量叉乘表示面积则 s=cb 叉 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 16 乘 ca=ac 叉乘 ab =absinc=bcsina =a/sina=c/sinc 2014-7-1817:16jinren92|三级 记向量 i，使 i 垂直于 ac 于 c， abc 三边 ab,bc,接着得到正弦定理其他步 骤 2.在锐角abc 中，证明 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形 abc, 4 过三角形 abc 的顶点 a 作 bc 边上 的高，垂足为 d.当 d 落在边 bc 上时， 向量 ab 与向量 ad 的夹角为 90-b，向 量 ac 与向量 ad 的夹角为 90-c，由于向 量 ab、向量 ac 在向量 ad 方向上的射影 相等，有数量积的几何意义可知向量 ab*向量 ad=向量 ac*向量 ad 即向量 ab 的绝对值*向量 ad 的绝对值 *cos=向量 的 ac 绝对值*向量 ad 的绝对值*cos 所 以 csinb=bsinc 即 b/sinb=c/sinc 当 d 落在 bc 的延长线上时，同样可以证得 用正弦定理证明三重向量积 作者：光信 1002 班 李立 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 17 内容：通过对问题的讨论和转化， 最后用正弦定理来证明三重向量积的公 式?c?a?b。 首先，根据叉乘的定义， a、b