几何画板与动态型中考题的整合研究_本科毕业论文.doc

几何画板与动态型中考题的整合研究 1 中文摘要 随着几何画板在数学解题上的广泛应用，学生在理解动态型题目过程中 能轻松将抽象的数学语言转化为具体图像表达，但学生只是看到教师的演示， 缺少自己动手操作的过程。本文以全国各省市近三年典型动态型中考试题为 例，把题目主要分为旋转、翻折、平移三大类。借助几何画板制作出相应的 解题课件，师生能亲自动手操作，从而更好地分析这三类变换的解题特点。 本文结合几何画板课件，展现完整的探究过程，让师生在动态中体验这三类 变换的变与不变，获得清晰的解题思路。并记录了详细的课件制作步骤，图 文并茂，可作为简易教程供教师参考。 关键词 ：旋转，平移，翻折，几何画板，中考题，动态展示，简易教程 几何画板与动态型中考题的整合研究 2 abstract with the geometers sketchpad in mathematics problem solving on a wide range of applications, the students can easily translate the abstract mathematical language into specific image expression in order to understand the dynamic subject process. but the students just to see the teachers demonstration with the lack of their own operation process. in this paper as the various provinces and cities nationwide the typical dynamic type senior high school entrance examination questions in recent three years for example, the subject is mainly divided into rotation, folding, translation .using geometric sketchpad to produce corresponding solving courseware, teachers and students can hands-on operation, thereby better analys these three kinds of transform exercises. in this paper the geometers sketchpad courseware displays a full investigation process, making teachers and students experience the changed and unchanged of this three kind of transformations in a dynamic type and get a clear thinking. this paper record the details of the steps of making courseware illustrately. and it can be used as a simple tutorial for teachers. key words : rotation, translation, folding, the geometers 几何画板与动态型中考题的整合研究 3 sketchpad, senior high school entrance examination problem, dynamic display, simple tutorial 目录 1引言 4 2.翻折类问题 .4 2.1 例 1（2009 年鄂州市） 4 2.1.1 动态体现 5 2.1.2 探究过程展现 5 2.1.3 关键制作步骤： .7 2.1.4 满分解答 .10 2.2 例 2（2009 年福州市） .12 2.2.1 动态体现 .12 2.2.2 探究过程展现 .13 2.2.3 关键制作步骤 .17 2.2.4 满分解答 .24 3 旋转类问题 .26 3.1 例 3（2009 年山东德州） .27 3.1.1 动态体现 27 3.1.2 探究过程展现 .27 几何画板与动态型中考题的整合研究 4 3.1.3 课件制作步骤要点 .30 3.1.4 满分解答 .34 3.2 例 4（2010 湖南常德市） .35 3.2.1 动态体现 35 3.2.2 探究过程展现 35 3.2.3 课件制作步骤要点 38 3.2.4 满分解答 .42 4平移类问题 .44 4.1 例 5(2010 四川眉山) .44 4.1.1 动态体验 .45 4.1.2 探究过程展现 .45 4.1.3 课件制作步骤要点 48 4.1.4 满分解答 .51 4.2 例 6（2009 年浙江义乌） （平移与旋转结合） 52 4.2.1 动态体现 52 4.2.2 探究过程展现 .53 4.2.3 关键制作步骤 .56 4.2.4 满分解答 .63 几何画板与动态型中考题的整合研究 5 1引言 平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。所谓几何变换就是根据确 定的法则，对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形 中分析有关图形之间的关系。这类实体的特点是：结论开放，研究目标不确 定，注重考查学生的猜想、探索能力，因此时常使学生无从下手。 而几何画板具有动态演示交互、计算精确等特点，非常适合于解决平移、旋 转和翻折这三大类动态型问题。本文结合几何画板课件，通过展现完整的探 究过程， ，轻松突破了以上难点。通过几何画板这个工具，一来能让我们直 观地感知题目条件，快速清晰地理解题意；二来提供一个实验探究平台，利 用它学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索、发现 的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有 助于学生对题目的理解和证明，使学生从过去的“听数学“转变为现在的“做 数学“。 2.翻折类问题 翻折：翻折是指把一个图形按某一直线翻折 180 后所形成的新的图形的变 化。 翻折特征：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如 果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直 线就是对称轴。 解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素。 几何画板与动态型中考题的整合研究 6 2.1 例 1（2009 年鄂州市） 如图 27 所示，将矩形 oabc 沿 ae 折叠，使点 o 恰好落在 bc 上 f 处，以 cf 为边作正方形 cfgh，延长 bc 至 m，使 cmcfeo，再以 cm、co 为边作 矩形 cmno (1)试比较 eo、ec 的大小，并说明理由。 (2)令 ，请问 m 是否为定值？若是，请求出 m 的值；若不是，请；四 边 形四 边 形 cnmfghsm 说明理由。 (3)在(2)的条件下，若 co1，ce ，q 为 ae 上一点且 qf ，抛物线3132 ymx 2+bx+c 经过 c、q 两点，请求出此抛物线的解析式。 (4)在(3)的条件下，若抛物线 ymx 2+bx+c 与线段 ab 交于点 p，试问在直 线 bc 上是否存在点 k，使得以 p、b、k 为顶点的三角形与aef 相似?若存 在，请求直线 kp 与 y 轴的交点 t 的坐标?若不存在，请说明理由。 2.1.1 动态体现 请打开几何画板文件名“翻折 1”。 2.1.2 探究过程展现 几何画板与动态型中考题的整合研究 7 该题的主要变量是矩形 oabc 的大小，主要不变量是aoe 的翻折。 （1）翻折的动态演示。点击“翻折”按钮，可观察到翻折的动态过程。点 击“返回”按钮，可看到三角形返回的过程。同时下面设置了两个按钮，可 随意改变矩形 oabc 的大小。 图 2-1-2.1 (2)对于第一问：试比较 eo、ec 的大小，并说明理由。 这是翻折后的图形，此时可以观察到 eo 的长度ec 的长度。如图 2-1-2.2 。 点击“改变 c”或者“改变 a”按钮，改变点 f 在 bc 上的位置。再度观察 eo 与 ec 的长度。在这个过程中会发现：当点 f 越来越靠近点 c 时，ce 与 eo 的 长度会越来越接近。只有当点 f 与点 c 重合时，eo 与 ec 的长度相等，其他 情况 eo 的长度ec 的长度。如图 2-1-2.3。 几何画板与动态型中考题的整合研究 8 图 2-1-2.2 图 2-1-2.3 (3)对于第二问：令 ，请问 m 是否为定值？若是，请求出 m 的；四 边 形 四 边 形 cnmfghsm 值；若不是，请说明理由。 用几何画板操作时，我发现题目有 2 个地方都出错了。第一处错得地方是该 比值： ，分母是四边形 cnmn 应改为四边形 cnmo. ；四 边 形 四 边 形 cnmfghsm 第二处错误的地方是：按照题目让 cmcfeo是不行的。算出来的 m 不 是一个定值，它会随着矩形 oabc 的改变而改变。如图 2-1-2.4 与图 2-1- 2.5。 图 2-1-2.4 图 2-1-2.5 因此 cmcfeo肯定是不对的。那么 cm 到底等于多少呢？直觉告诉我， 几何画板与动态型中考题的整合研究 9 cm=ceeo. 果然，试验了一下成功了。任意改变矩形 oabc 的大小，m 始终等于 1。如图 2-1-2.6 与 图 2-1-2.7。 图 2-1-2.6 图 2-1-2.7 如果不是有了几何画板的探究，不管是学生还是老师，也许将耗费很多的时 间在该题上依旧一无所获。所以用几何画板去探究题目，不仅直观，而且是 检验题目的正确性的一个很好的工具。因此用几何画板解题是很有必要的。 (4)第三问、第四问，略。 2.1.3 关键制作步骤： （1）建立直角坐标系，分别在横轴与纵轴上取一段线段，再在上面分别取 一点，分别命名为 c 和 a。建立点 c 和点 a 的动画点。这样就能随意改变矩 形 abco 的大小。成功构造出变量。如图 2-1-3.1。 几何画板与动态型中考题的整合研究 10 图 2-1-3.1 （2）为了确定折痕的位置，如图 2-1-3.2 所示，设 oe=x,bc=b，co=a,则 解得 x=oe= 。 2axbax22ba 图 2-1-3.2 则以 o 为圆心， 为半径作圆，交 oc 于点 e.如图 2-1-3.3 所示，找出折痕点 e。 几何画板与动态型中考题的整合研究 11 图 2-1-3.3 （3）连接 ae，连接 ef，of，则aef 是aeo 沿着线段 ae 翻折得到的。如 图 2-1-3.4。 图 2-1-3.4 （4）如图 2-1-3.5，以 of 的中点 g 为圆心，og 为半径作圆。在圆上取点 i，连接 ei,ia.分别作 i 移动到点 o 得动画，命名为“返回”。作 i 移动到 f 的动画，命名为“翻折”。此步骤是为了构造出翻折效果。而这一步的关 几何画板与动态型中考题的整合研究 12 键是找到一个大小适中的圆。 图 2-1-3.5 （5）如图 2-1-3.6，隐藏圆与线段 of，度量出 ce 与 eo 的长度。从而能使 学生第一时间直观感知 ce 与 eo 的相对大小，可让学生从结论出发，思考解 答思路。完成第一问。 几何画板与动态型中考题的整合研究 13 图 2-1-3.6 （6）制作第二问：计算出|ce-eo|的大小。且以 c 为原点，|ce-eo|的长度 为半径作圆。作直线 cf，交圆于点 m。过 m 作 cf 的垂线交 x 轴于 n。作正方 形 cfgh. 如图 2-1-3.7。 图 2-1-3.7 （7）构造四边形 cmno 与四边形 cfgh，度量出其面积比 m,完成。如图 2-1- 3.8。 几何画板与动态型中考题的整合研究 14 图 2-1-3.8 2.1.4 满分解答 （1）eoec，理由如下： 由折叠知，eo=ef，在 rtefc 中，ef 为斜边，efec， 故 eoec （2）m 为定值 s 四边形 cfgh=cf2=ef2ec 2=eo2ec 2=(eo+ec)(eoec)=co(eoec) s 四边形 cmno=cmco=|ceeo|co=(eoec) co 1cmnofghm四 边 形四 边 形 （3）co=1， ef=eo=32qfe， qf321 cosfec= fec=60，21 0608eaofa， efq 为等边三角形， 32q 作 qieo 于 i，ei= ，iq=13 几何画板与动态型中考题的整合研究 15 io= q 点坐标为 312)31,( 抛物线 y=mx2+bx+c 过点 c(0，1)， q ，m=1),( 可求得 ，c=13b 抛物线解析式为 132xy （4）由（3）， eoa 当 时， ab2x 3)3(2y p 点坐标为 1, bp= ao321 方法 1：若pbk 与aef 相似，而aefaeo，则分情况如下： 时， k 点坐标为 或32bk932b)1,934(),8( 时， k 点坐标为 或3),3(1,0( 故直线 kp 与 y 轴交点 t 的坐标为 )1,0(3,() 7,035,(或或或 方法 2：若bpk 与aef 相似，由（3）得：bpk=30或 60，过 p 作 pry 轴于 r，则rtp=60或 30 当rtp=30时， 23t 当rtp=60时， r 几何画板与动态型中考题的整合研究 16 )1,0()3,()5,0()37,( 421 tt， 2.2 例 2（2009 年福州市） 已知：如图 12，在直角梯形 abcd 中， adbc，bc5cm，cd6cm，dcb60，abc90。等边三角形 mpn（n 为不动点）的边长为 cm，边 mn 和直角梯形 abcd 的底边 bc 都在直a 线 上，nc8cm。将直角梯形 abcd 向左翻折 180，翻折一次得到图形，l 翻折二次得图形，如此翻折下去。 （1）将直角梯形 abcd 向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长 a2cm， 这时两图形重叠部分的面积是多少？ （2）将直角梯形 abcd 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等 边三角形重叠部分的面积等于直角梯形 abcd 的面积，这时等边三角形的边 长 a 至少应为多少？ （3）将直角梯形 abcd 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等 边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长 应为多少？ i p 12 m ad c bn 几何画板与动态型中考题的整合研究 17 2.2.1 动态体现 请打开几何画板文件名“翻折 2”。 2.2.2 探究过程展现 该题的主要变量是：等边三角形 mnp 的大小，主要不变量是：直角梯形 abcd 的大小。 对于第一问：将直角梯形 abcd 向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长 a2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？ （1）如图 2-2-2.1，图 2-2-2.2。在 gh 直线上.移动点 h 或选中 h 点按“左 右键”，即可改变等边三角形 pmn 的边长，因为 gh 的长度就是等边三角形 pmn 的边长大小。同时可观察到当 a2cm 时，重叠部分的面积不会改变。从 而为学生解题提供结论性的帮助。 几何画板与动态型中考题的整合研究 18 图 2-2-2.1 图 2-2-2.2 （2）如图 2-2-2.3 与 图 2-2-2.4。可以发现当 a=2 时，三角形的边 pm 与梯 形的斜边重合。因此 a=2 是一个临界点，当 a6.58 时，重叠部分面积梯形面积的一半。如图 2-2-2.10。 图 2-2-2.8 图 2-2-2.9 几何画板与动态型中考题的整合研究 23 图 2-2-2.10 2.2.3 关键制作步骤 （1）建立平面直角坐标系，以 c 为原点，按题目要求画出直角梯形。如图 2-2-3.1。 图 2-2-3.1 （2）双击 y 轴，是 y 轴成为对称轴。作直角梯形 abcd 的反射图形 ab 几何画板与动态型中考题的整合研究 24 cd。 如图 2-2-3.2。 图 2-2-3.2 （3）制作翻折效果。在 y 轴上找一点 m，cmcb.度量出 cm 与 cb 的坐标距离。 以 c 为中心，cb 为长轴、cm 为短轴构造椭圆。先写出椭圆的解析式， .如图 2-2-3.3。 2()(1)xfxmb 图 2-2-3.3 几何画板与动态型中考题的整合研究 25 （4）在椭圆上找一点 h，连接 ch。过点 h 作 ho 垂直于 cb 且 ho 等于 ab，且 过点 o 作 ch 的平行线，且使 op=ad。连接 cp。如图 2-2-3.4。 图 2-2-3.4 （5）隐藏椭圆，制作动画按钮。先制作隐藏直角梯形 abcd按钮，再 制作“hb”的按钮，然后制作显示直角梯形 abcd按钮，最后先后 选中它们，制作顺序 3 个动作。 图 2-2-3.5 几何画板与动态型中考题的整合研究 26 （6）将刚才的“顺序 3 个动作”更名为“翻折 1”。同样方法制作“返回 1”按钮。如图 2-2-3.6。. 图 2-2-3.6 （7）用同样地方法，构造第二个椭圆。此时的椭圆的位置比之前的椭圆对 比，应该向左移动 5 个单位。因此函数解析式为 。接 22(5)()1xfxcmbg 着制造会动的梯形。如图 2-2-3.7。 图 2-2-3.7 几何画板与动态型中考题的整合研究 27 （8）按上述方法制作“翻折 2”与“返回 2”按钮。完成翻折效果图。如图 2-2-3.8。 图 2-2-3.8 （9）对于第一问：将直角梯形 abcd 向左翻折二次，如果此时等边三角形的 边长 a2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？ 构造线段 gh,h 点可在直线上运动从而改变 gh 的长度。使 a=gh 的长度，构 造等边三角形。如图 2-2-3.9。 几何画板与动态型中考题的整合研究 28 图 2-2-3.9 （10）构造三角形 icn 的内部，度量出它的面积。完成第一问。如图 2-2- 3.10。 图 2-2-3.10 （11）对于第二问。构造出梯形 abcd 第三次翻折得到的图。如图 2-2- 3.11。 几何画板与动态型中考题的整合研究 29 图 2-2-3.11 （12）移动点 h，发现当 gh10cm 时，等边三角形包围了梯形。如图图 2- 2-3.12，图 2-2-3.13。因此在直线 gh 上再找一个点 m，移动 m，使 gm=10cm。制造“hm”的按钮，更名为“目标”。隐藏点 m。完成第二问。 如图 2-2-3.14。 图 2-2-3.12 图 2-2-3.13 几何画板与动态型中考题的整合研究 30 图 2-2-3.14 （13）度量出直角梯形 abcd 的面积的一半。再度量出翻折 3 次后的梯形与 等边三角形的面积。完成。如图 2-2-3.15。 图 2-2-3.15 几何画板与动态型中考题的整合研究 31 2.2.4 满分解答 解： （1） 图 2-2-4.1 如图 2-2-4.1。 因为 cb=5， =10，cn=8 所以 =2ccn 又因为dcb=60且 =60i 所以 为正三角形.in 所以 的高为 h=c3 所以 = 2 =insv12 （2） 图 2-2-4.2 在直角梯形 abcd 中 几何画板与动态型中考题的整合研究 32 因为 cd=6，dcb=60 所以 ab=3 cm3 当直角梯形在第三次翻折后，刚好跟等边三角形的 pm 边有一个交点时能满 足重叠部分的面积等于直角梯形 abcd 的面积，设这个交点为 k，如图 2-2- 4.2。 在 rt 中，tan30=“kmb“mbk =3 =3“3 所以 mn= + + =3+5+2=10 cm “bcn （3） = （2+5）3 =abcds梯 形 12321 当 m 与 重合时，交 于 v .如图 2-2-4.3。“ 图 2-2-4.3 则 = s 梯形 abcdmvcs153241 几何画板与动态型中考题的整合研究 33 图 2-2-4.4 所以 mc5，设 mc=x，则有 h= x，如图 2-2-4.4。32 所以令 = x x=s公 共 部 分 12g314 解得 x= 因为 =2cn 所以等边三角形 mnp 的边长 a 为（ +2）cm21 一平面图形经过翻折后成为空间图形,由于位置关系变了,有些元素在位 置关系的变化中发生了变化,有些元素的数量关系并不改变。翻折类题型的 解法的关键是要抓住这些变动着的量和保持不变的量之间的关系，搞清楚变 化的量在翻折过程中的空间关系的位置变化。利用几何画板进行翻折类题型 的动态展示，更清晰地看清平面图形翻折过程中的动态变化。变化的量在变 化的过程中通过几何画板有一个很直观的动态展示，能更好地理解题目。 3 旋转类问题 旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原 来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心， 图形转动的角叫做旋转角。 几何画板与动态型中考题的整合研究 34 旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋 转角。 这是图形变换最基本的一种，我选取了比较有代表性的 2009 年山东德州中 考第 23 题为例子，详解如下： 3.1 例 3（2009 年山东德州） 已知正方形 abcd 中， e 为对角线 bd 上一点，过 e 点作 ef bd 交 bc 于 f， 连接 df， g 为 df 中点，连接 eg， cg （1）求证： eg=cg； （2）将图中 bef 绕 b 点逆时针旋转 45，如图所示，取 df 中点 g，连 接 eg， cg问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成 立，请说明理由 （3）将图中 bef 绕 b 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段， 问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要 求证明） fb a d c e g 第 23 题图 f b a d c e g 第 23 题图 f b a c e 第 23 题图 几何画板与动态型中考题的整合研究 35 3.1.1 动态体现 请打开几何画板文件名“旋转 1”。 3.1.2 探究过程展现 该题的主要变量是：bef 的大小，主要不变量是：线段 eg 与线段 gc 的位 置。 （1）对于第一问：求证： eg=cg； 点击“动点 e”按钮，可改变线段 be 的长度，从而改变bef 的大小。如图 3-1-2.1 和图 3-1-2.2。在这个过程中，eg 与 gc 的长度虽然随时改变，但能 清晰地观察到 eg 与 gc 的长度始终相等。从课件中让学生初步感知到“变” 与“不变”。 图 3-1-2.1 几何画板与动态型中考题的整合研究 36 图 3-1-2.2 （2）对于第二问：将图中 bef 绕 b 点逆时针旋转 45，如图所示，取 df 中点 g，连接 eg， cg问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出 证明；若不成立，请说明理由 点击“逆时针旋转”按钮，即能让学生看到bef 整个旋转过程。如图 3-1- 2.3 到图 3-1-2.4。学生能全程看到线段 eg 和线段 gc 的长度始终不变，从 而进一步思考原因。观察后按“三角形返回”按钮，使三角形恢复旋转前位 置。 图 3-1-2.3 图 3-1-2.4 （3）除此之外，可点击“e 点运动”按钮，随意改变线段 be 的长度再行观 几何画板与动态型中考题的整合研究 37 察。如图 3-1-2.5。 图 3-1-2.5 （3）对于第三问：将图中 bef 绕 b 点旋转任意角度，如图所示，再连 接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么 结论？ 如图 3-1-2.6 至 3-1-2.8。点击“任意角度旋转点 e”按钮，即可对bef 进 行任意角度旋转，此时可随时观察到 eg 与 gc 各自的长度虽然改变，但始终 相等。点击“三角形返回”即可恢复旋转前的位置。 图 3-1-2.6 图 3-1-2.7 几何画板与动态型中考题的整合研究 38 图 3-1-2.8 （4）跟前两问一样，点击“动点 e”按钮，可随意改变线段 be 的长度，进 而改变 bef 的大小，进行再次观察。 （5）当然，可以将三个小问整合在同一个图中展现出来。如图 3-1-2.9。 图 3-1-2.9 几何画板与动态型中考题的整合研究 39 3.1.3 课件制作步骤要点 （1）画出正方形 abcd，与对角线 bd，作 bd 的中点 i，构造线段 bi，在 bi 上作一个点 e。然后隐藏点 i。如图 3-1-3.1。 图 3-1-3.1 （2）制作点 e 的动画点。使点 e 在线段 bi 上来回运动。这样便构造会改变 大小的bef. 图 3-1-3.2 （3）按照题目的条件画出下图。但很快发现这样bef 是不能够旋转的。 几何画板与动态型中考题的整合研究 40 图 3-1-3.3 （4）为使bef 能够绕点 b 旋转，以点 b 为圆心，分别以 be 与 bf 的长度为 半径画圆。在小圆上作点 n，过点 n 作 bn 的垂线，交大圆于 o。如图 3-1- 3.4。 图 3-1-3.4 （5）作点 n 移动到点 e 的操作按钮，命名为“三角形返回”。 几何画板与动态型中考题的整合研究 41 图 3-1-3.5 （6）作小圆与 ab 的交点 p，作点 n 移动到点 p 的操作按钮，命名为“逆时 针旋转”。 图 3-1-3.6 （7）作点 n 的动画点，使点 n 能在小圆上逆时针旋转任意角度。将按钮更 名为“任意角度旋转”。 几何画板与动态型中考题的整合研究 42 图 3-1-3.8 （8）隐藏该隐藏的，将点 n，o 更名为点 e 与点 f。 图 3-1-3.9 （9）连接 fd，作 fd 的中点 g，连接 eg 与 gc。度量出 eg 与 gc 的长度。完 成。 图 3-1-3.10 几何画板与动态型中考题的整合研究 43 3.1.4 满分解答 解：（1）证明：在 rt fcd 中， g 为 df 的中点， cg= 12fd 同理，在 rt def 中， eg= 12fd cg=eg （2） （1）中结论仍然成立，即 eg=cg 证法一：连 接 ag，过 g 点作 mn ad 于 m，与 ef 的延长线交于 n 点来源: 学#科#网 z#x#x#k 在 dag 与 dcg 中， ad=cd， adg= cdg， dg=dg， dag dcg ag=cg 在 dmg 与 fng 中， dgm= fgn， fg=dg， mdg= nfg， dmg fng mg=ng f b a d c e g m n n 图 （一） 几何画板与动态型中考题的整合研究 44 在矩形 aenm 中， am=en 在 rt amg 与 rt eng 中， am=en， mg=ng， amg eng ag=eg eg=cg 证法二：延长 cg 至 m,使 mg=cg， 连接 mf， me， ec 在 dcg 与 fmg 中， fg=dg， mgf= cgd， mg=cg， dcg fmg mf=cd， fmg dcg mf cd ab efm 在 rt mfe 与 rt cbe 中， mf=cb， ef=be， mfe cbe mefcb mec mef fec ceb cef90 mec 为直角三角形 mg = cg， eg= 21mc f b a d c e 图 g f b a d c e g m 图 （二） 几何画板与动态型中考题的整合研究 45 egc （3） （1）中的结论仍然成立， 即 eg=cg其他的结论还有: eg cg 3.2 例 4（2010 湖南常德市） 如图 10，若四边形 abcd、四边形 cfed 都是正方形，显然图中有 ag=ce，agce. (1)当正方形 gfed 绕 d 旋转到如图 11 的位置时，ag=ce 是否成立？若成立， 请给出证明；若不成立，请说明理由. (2)当正方形 gfed 绕 d 旋转到如图 12 的位置时，延长 ce 交 ag 于 h，交 ad 于 m. 求证：agch; 当 ad=4，dg= 时，求 ch 的长。2 a b c d ef 图 10 g a d 图 11 f e b c g a d b c e f h m 图 12 几何画板与动态型中考题的整合研究 46 3.2.1 动态体现 请打开几何画板文件名“旋转 2”。 3.2.2 探究过程展现 该题的主要变量是：正方形 abcd 与正方形 defg 的大小,以及正方形 defg 的 位置。主要不变量是：ce 与 ag 的构造。 对于第一问：当正方形 gfed 绕 d 旋转到如图 11 的位置时，ag=ce 是否成立？ 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. （1）如图 3-2-2.1 和图 3-2-2.2。点击“转动”按钮，正方形 defg 会逆时 针转动。再次按下按钮，即停止，此时可观察到 ag 与 ce 的长度虽然时刻在 改变，但始终相等。 图 3-2-2.1 图 3-2-2.2 几何画板与动态型中考题的整合研究 47 （2）也可以拉动点 c 或点 p 改变正方形 abcd 与正方形 defg 的大小再行观 察。线段 pv 的长度为正方形 defg 的边长。如下图。 图 3-2-2.3 图 3-2-2.4 对于第二问第小题：当正方形 gfed 绕 d 旋转到如图 12 的位置时，延长 ce 交 ag 于 h，交 ad 于 m. 求证：agch （3）点击“移动到目标”按钮，则正方形移动到目标位置。停止后观察 ahc 大小。如图 3-2-2.5，可观察到ahc=90，即 agch。 几何画板与动态型中考题的整合研究 48 图 3-2-2.5 （4）对于第小题：当 ad=4，dg= 时，求 ch 的长。2 点击“第三问”按钮，会发现正方形 abcd 与 dgfe 的大小发生改变，使 ad=4，dg= 。此时可观察 hc 的坐标距离为 5.06. 如图 3-2-2.6。2 几何画板与动态型中考题的整合研究 49 图 3-2-2.6 3.2.3 课件制作步骤要点 （1）建立平面直角坐标系，构造正方形 abcd。此时点 a 与点 c 能在轴上运 动，改变正方形 abcd 的大小。 图 3-2-3.1 （2）在 x 轴上任意找一点 v，过 v 点构造 x 轴的垂线，在垂线上找一点 p， 度量 vp 的坐标距离，以此为半径，点 d 为圆心构造圆，交 ad 于 i。这样便 能通过改变 vp 的程度，改变正方形 edfg 的大小。 几何画板与动态型中考题的整合研究 50 图 3-2-3.2 （3）以 id 为边构造正方形。 图 3-2-3.3 （4）连接对角线 dd，以 d 为圆心，dd为半径构造圆，交 ad 于 j。在圆 上找一点 f，连接 df。 几何画板与动态型中考题的整合研究 51 图 3-2-3.4 （5）构造 fd 的中点 l,过 l 作中垂线，以 d 为圆心，di 为半径构造圆，交 中垂线于点 g 与点 e。连接 dg、gf、de、ef。 图 3-2-3.5 （6）隐藏该隐藏的，连接 ag 与 ce，并度量出 ag 与 ce 的长度。完成第一问。 几何画板与动态型中考题的整合研究 52 图 3-2-3.6 （7）构造 f j 的按钮，命名为“移动到目标”。按下按钮，使 f、j 重合。 构造直线 ce，叫 ad 于 m，交 ag 于 h。构造线段 eh，使之为虚线。度量出 ahc 的大小。完成第二问。 图 3-2-3.7 几何画板与动态型中考题的整合研究 53 （8）构造点 q（4,0）与 r（11， ）,则 br=4，rv= .构造按钮使 c 移动22 到 q，p 移动到 r。度量出 ch 的坐标距离。完成。 图 3-2-3.8 3.2.4 满分解答 解：（1） 成立agce 四边形 、四边形 是正方形，bdefg ,ac .ge90 90- ded .ac .ge （2）类似（1）可得 ，agdce 12 a b c d e f g 图 11 b a c d e f g 1 2 图 12 h pm 几何画板与动态型中考题的整合研究 54 又 .hmadc .90 即 .g 解法一: 过 作 于 ,gpad 由题意有 ,2sin451 ，则 1 .3apta3 而12， 2 1 .n dmctan13 ，即 . 43dm83a 在 rt 中， c22d 24103 而 , , 即 amh ahmc84103ah . 4105 再连接 ，显然有 ,ac42a 221085h 所求 的长为c 8 解法二：研究四边形 acdg 的面积 过 作 于 ,gpad 由题意有 ,2sin451o ,3 10 而以 cd 为底边的三角形 cdg 的高=pd=1, b a c d e f g 1 2 图 12 h pm 几何画板与动态型中考题的整合研究 55 ,agdcacgddsss四 边 形 41+44= ch+4 1.10 =h5 8 注：本题算法较多。 旋转不改变图形的形状与大小，只是位置发生变化，使图中的相关条件 发生了新的联系，这类题型的解法的关键还是要抓住这些变动着的量和保持 不变的量之间的关系，搞清楚变化的量在旋转过程中的平面关系的位置变化。 利用几何画板可以更直观观察图形在旋转时发生变化的量的动态变化过程， 变化的量发生了怎样的变化，能更清晰地理解题目。 4平移类问题 平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动 称为平移。“一定的方向”称为平移方向，“一定的距离”称为平移距离。 平移特征：图形平移时，图形中的每一点的平移方向都相同，平移距离都相 等。 4.1 例 5(2010 四川眉山) 如图， rt abo 的两直角边 oa、 ob 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上， o 为坐标原点， a、 b 两点的坐标分别为（ ，0）、（0，4），抛物线3 经过 b 点，且顶点在直线 上23yxbc 52x （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若 dce 是由 abo 沿 x 轴向右平移得到的，当四边形 abcd 是菱形时， 几何画板与动态型中考题的整合研究 56 enmd cb ao y x 试判断点 c 和点 d 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）若 m 点是 cd 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 m 作 mn 平行 于 y 轴交 cd 于点 n设点 m 的横坐标为 t， mn 的长度为 l求 l 与 t 之间的 函数关系式，并求 l 取最大值时，点 m 的坐标 4.1.1 动态体验 请打开几何画板文件名“平移 1”。 4.1.2 探究过程展现 该题的主要变量是：线段 ad 的大小。主要不变量是：rtcde 的形状、大小， 抛物线的图像。 （1）对于第一问，根据题意可求出抛物线的解析式为 。21043yx 几何画板与动态型中考题的整合研究 57 （2）对于第二问，点击“向右平移”按钮，rtdce 向右平移，得到四边形 abcd 为菱形。平移后可观察 ab 与 da 的长度即可知，ab=da。如图 4-1-2.1 和图 4-1-2.2。 图 4-1-2.1 图 4-1-2.2 （3）点击“返回”按钮即可返回。这时两三角形重合。 图 4-1-2.3 （4）观察右方 c 点的坐标，可发现当四边形 abcd 为菱形时，把 c 点的横坐 几何画板与动态型中考题的整合研究 58 标代入函数 的解析式，得到的数值刚好等于 c 点的纵坐标。21043yx 从而得知 c 点落在抛物线上。这时 d 点同样也可知落在抛物线上。如图 4-1- 2.5，可与图 4-1-2.4 比较。 图 4-1-2.4 图 4-1-2.5 （4）对于第三问，点击“第三问”按钮，会显示出点 m、n、动点 v，与 l 与 t 之间的函数图像。可以得知是一段抛物线。如下图。 几何画板与动态型中考题的整合研究 59 图 4-1-2.6 （5）发现第三问是在第二问的条件下提出的（而题目并没有这么说）。因 为如果不是在第二问的条件下提出则有两个变量。一个是点 m 的位置变化， 一个是点 d 的变化（即 rtcde 的位置变化）。那是前者还是后者呢？如果 是后者，它的轨迹如图 4-1-2.7。经过比较，得到变量应该是 m 的位置变化。 图 4-1-2.7 几何画板与动态型中考题的整合研究 60 （5）点击“移动 m”按钮，或选中 n 点，上下拉动之，便可改变 m 点的位置， 追踪轨迹。 图 4-1-2.8 （6）发现当 m 点的横坐标为 3.5 时，mn 的值最大，也就是 l 的值最大。如 图 4-1-2.9。可结合图 4-1-2.10，图 4-1-2.11 对比之。 图 4-1-2.9 几何画板与动态型中考题的整合研究 61 图 4-1-2.10 图 4-1-2.11 4.1.3 课件制作步骤要点 （1）根据题意，容易找出抛物线 的解析式为： 23yxbc21043yx 并构造函数。画出 rtaob 与 rtdce。其中 rtdce 能在 x 轴上左右移动。 如图 4-1-3.1 图 4-1-3.1 几何画板与动态型中考题的整合研究 62 （2）为使平行四边形 abcd 成为菱形，以 a 为原点，ab 为半径构造圆，a 与 x 轴的交点为 a。制造“da”的移动按钮，命名为“向右平移”。 制造“da”的移动按钮，命名为“返回”。如图 4-1-3.2. 图 4-1-3.2 （3）度量出 c 点与 d 点的坐标。再分别度量出 与 ,计算出 。cxd()cdfxf与 如图 4-1-3.3。 图 4-1-3.3 (4)在抛物线的右边任意找一个点 m，过点 m 作 y 轴的平行线，交 dc 于点 n。度量出 m 的横坐标 xa， 并度量出 mn 的坐标距离。以 xa为横坐标，mn 的坐 几何画板与动态型中考题的整合研究 63 标距离为纵坐标构造点 v。先后选中点 n 与点 v，构造其轨迹，得到一小段 开口向下的抛物线。如图 4-1-3.4. 图 4-1-3.4 (5)制作点 n 在线段 cd 上的动画按钮，速度为慢速。将其命名为“移动 m”。 完成。 几何画板与动态型中考题的整合研究 64 图 4-1-3.5 4.1.4 满分解答 解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 25()3yxm 254()3m 16 所求函数关系式为： 22510()4363yxx （2）在 rt abo 中， oa=3， ob=4， 25abo 四边形 abcd 是菱形 bc=cd=da=ab=5 c、 d 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0） 当 时，x210543y 当 时，2 几何画板与动态型中考题的整合研究 65 o a b x y enmdcbao y x 点 c 和点 d 在所求抛物线上 （3）设直线 cd 对应的函数关系式为 ，则ykxb5420kb 解得： 8,3 4yx mn y 轴， m 点的横坐标为 t， n 点的横坐标也为 t 则 ， ，21043myt483nyt 22 281014073()3nltttt ， 当 时， ，2037tl最 大 此时点 m 的坐标为（ ， ） 21 4.2 例 6（2009 年浙江义乌） （平移与旋转结合） 如图，在oab 中，oaob，点 a 坐标为（3 ，3），点 b 在 x 轴负半轴3 上 （1）将oab 沿 x 轴向右平移 a 个单位后，点 a 恰好落在反比例函数 y 的图象上，求 a 的值； （2）将oab 绕点 o 按逆时针方向旋转 角（090） 当 30时，点 b 恰好落在反比例函数 y 的图象上，求 k 的值； kx 点 a、b 能否同时落在中的反比例函数的图象上，若能，求 角的大小； 若不能，请说明理由 几何画板与动态型中考题的整合研究 66 4.2.1 动态体现 请打开几何画板文件名“平移 2”。 4.2.2 探究过程展现 对于第一问：将oab 沿 x 轴向右平移 a 个单位后，点 a 恰好落在反比例函 数 y 的图象上，求 a 的值； （1）点击“向右平移”按钮，可看到oab 向右平移，使 a 点落在函数 y = /x 上的过程。,当 a 点落在图像上时，函数图象会自动加粗。如图 4-2-63 2.2。在这个过程中可观察| - |的值，动画停止后的值即为 a 的值，约为xb 8.66. 图 4-2-2.1 几何画板与动态型中考题的整合研究 67 图 4-2-2.2 （2）点击“返回”按钮，三角形即按原路返回。如图 4-2-2.3。 图 4-2-2.3 对于第二问：将oab 绕点 o 按逆时针方向旋转 角（090） 当 30时，点 b 恰好落在反比例函数 y 的图象上，求 k 的值； kx （3）点击“逆时针旋转 30”按钮