几类与矩阵的秩有关的问题研究 毕业论文.doc

几类与矩阵的秩有关的问题研究study on several issue in relation to rank of matrix专 业: *作 者:*指导老师: *学院二一一年摘 要本文主要研究了有关矩阵的秩的几个问题, 包括向量组线性相关性、线性方程组、矩阵的秩有关运算、二次型等问题, 同时利用其相关性质和结论解决了硕士研究生考试中的一些问题.关键词: 矩阵的秩; 向量组线性相关性; 线性方程组; 二次型.abstractthis paper mainly study some problem connected with rank of matrix such as linear relativity of vector set、linear equation set、arithmetic of rank of matrix and quadratic form. in the meantime, a number of question derived from postgraduate examination are answered.keywords: rank of matrix; linear relativity of vector set; linear equation set; quadratic form. ii 目 录摘 要iabstractii0 引言11 向量组线性相关性12 线性方程组33 矩阵的秩有关运算63.1 加法63.2 减法63.3 乘法74 二次型85 结束语15参考文献160 引言高等代数课程是本专业基础课, 线性代数占有很大比重, 矩阵作为线性代数的重要工具, 把线性代数各章节贯串成为一个整体. 而矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终, 其有关理论是高等代数课程中极重要的内容, 在判断矩阵是否可逆、判断向量组的线性相关性、判断线性方程组是否有解以及有多少解、求矩阵的特征值等方面都有着广泛的应用. 本文就几类与矩阵的秩有关的问题进行研究, 加深对矩阵本身及其相关知识的理解, 更好的掌握这门基础课程.定义 矩阵的行向量组或列向量组的秩称为矩阵的秩, 记为. 求矩阵的秩主要如下有三种方法: (1) 找出矩阵中非零子式的最高阶数, 该阶数即为矩阵的秩; (2) 标准形法, 求出矩阵的标准形, 主对角线上1的个数即为矩阵的秩; (3) 初等变换法, 对矩阵实施初等行变换, 将其变成行阶梯形矩阵后其中非零行的行数即为矩阵的秩.在这三种方法中, 第三种方法相对另外两种方法更为简便.1 向量组线性相关性设.定义1.1 向量组线性相关存在不全为零的数, 使=0. (1.1)向量组的秩即其极大线性无关组所含向量的个数, 若向量组所含向量个数与其秩相等, 则该向量组线性无关; 若所含向量个数大于秩, 则该向量组线性相关, 用求向量组秩的方法来判断向量组是否线性相关是常用的一种方法. 因矩阵的秩等于矩阵的列(行)秩, 列(行)秩即为列(行)向量组的秩, 向量组的相关性问题可转换为求矩阵的秩问题.设矩阵=(), 则向量组线性相关齐次线性方程组有非零解. (令=, 则由(1.1)可得出); 同理可得出向量组线性无关齐次线性方程组只有零解.若向量组线性无关, 那么在每个向量上添加分量所得到的维的向量组, 也线性无关. 因即 (1.2)只有零解, 故也只有零解, 因此向量组线性无关.定理: 设与两个向量组, 若向量组可由线性表示, 且, 则向量组必线性相关.推论一: 任意个维向量组()线性相关. 因每个维向量都可以被维单位向量组线性表示, 又, 由定理可知其线性相关.推论二: 向量组()可由向量组()线性表示, 那么()的秩不超过()的秩. 因向量组()的极大线性无关组也可由向量组()的极大线性无关组线性表示, 由定理可推出, 即向量组()的秩不超过()的秩.推论三: 等价的向量组有相同的秩. 由推论二可轻易推出.例1. 已知向量=, , 不能由向量组, , 线性表示, 求并将由线性表出.解: 由推论一知向量组线性相关, 故存在不全为零的常数()使, 则(否则可由线性表示, 与已知矛盾). 故线性相关, 因此=0, 所以.因为()=, 故, 显然, .例2. 设向量组与向量组等价, 且线性无关.(1)说明不一定线性无关; (2)找出线性无关的充要条件, 并证明之.解: (1)由题意知向量组与等价, 但显然线性相关.(2) 线性无关的充要条件是, 下面来证明: 必要性. 因向量组的秩为, 的秩为, 由推论三知. 充分性. 根据推论三知向量组的秩为, 又, 故线性无关.关于向量组线性相关性的问题, 可转化为线性方程组的有关问题, 可根据下面的相关内容来解答.2 线性方程组线性方程组问题是高等代数课程中极其重要的内容, 其常见的问题是方程组是否有解、有解的判定和解的个数以及如何求解.在高等代数课程中, 有一些简单的性质: 齐次线性方程组的系数矩阵的行秩小于未知量个数, 则它有非零解; 若其系数矩阵为矩阵, 则其有非零解的充要条件是=0; 在非齐次线性方程组中, 若为矩阵, 则有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩, 当时它有无穷组解; 当时有唯一解. 若, 则方程组无解.设为阶矩阵, 当非齐次线性方程组有唯一解时, 可用克拉默法则求出该解, 解为: , (其中, 为将中第列换为的阶行列式).解线性方程组的一般步骤为: 将增广矩阵通过初等变换化为阶梯形矩阵; 然后根据上面性质判断其是否有解, 若有解, 再求出通解(或一般解).有关线性方程组的一些重要结论: 一、设齐次方程组与, 若的解都是的解, 则.证明: 若只有零解, 则=; 若有非零解, 则, 设的基础解系为, 的基础解系为, 由题意知可由线性表示, 由上推论二知, 即.二、若齐次方程组与同解, 则=.证明: 若只有零解, 则=; 若有非零解, 因与同解, 故基础解系所含解的个数相等, 即=, 即=. (亦可根据结论一知且得出=).三、设, 为矩阵. 若=, 则+.证明: 因为=, 所以的个列向量都是的解, 而的基础解系所含解的个数为, 故, 即+.例1. 已知齐次线性方程组和同解, 求的值. 解: 设方程组的系数矩阵分别为, 由结论二知, 又, 故, 所以=0, 从而=2. 此时=. 故方程组的一个基础解系为. 将其代入方程组中得=1, =2或=0, =1.当=1, =2时, =, 故与同解. 当=0, =1时, =, 故与不同解. 综上可知=2, =0, =1为所求.例2. 设齐次线性方程组 其中不为零, . 讨论为何值时, 方程组仅有零解、有无穷多组解? 在有无穷多组解时, 求出全部解, 并用基础解系表示.解: 方程组的系数行列式为=.当且时, 方程组仅有零解. 当时, 原方程组的同解方程组为, 其基础解系为, , , .故方程组的解为(为任意常数). 当时, 有=, 原方程组的同解方程组为. 其基础解系为. 故方程组的解为(为任意常数).3 矩阵的秩有关运算3.1 加法两矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和, 即+.证明: 设, 分别为的列向量组的极大线性无关组, 则+的列向量组可由向量组线性表示, 由推论二知+=+.例1. 设为阶矩阵, 且=, 证明: +=. 证明: 因为=-=, 由上结论三知+. 又有+=+=. 所以+=.例2. 设为阶矩阵, 且=, 证明: +=.证明: 因为=-=, 由上结论三知+. 又有=, 所以=1, 从而=. 而+=. 即证.3.2 减法两矩阵差的秩不小于两矩阵秩的差, 即-.证明: 因为=, 故=+, 即证.3.3 乘法定理3.1 矩阵乘积的秩不超过各因子的秩. 即min. （其中为矩阵, 为矩阵. )证明: 设的列向量组为, 的行向量组为, 的行向量组为, 列向量组为. 则可由线性表示, 可由线性表示. 由上推论二知且. 即min. (亦可由上结论一证明: 考虑线性方程组与, 因的解都是的解, 故. 再考虑线性方程组与, 因的解都是的解, 故, 即. 从而得证.)本结论可推广至多个矩阵的情形, 用数学归纳法证明.定理3.2 是矩阵, 是可逆矩阵, 是可逆矩阵, 则=证明: 由定理3.1知. 令=, 则=, 由定理3.1知, 即. 故=. 同理可证明另两个等式.例1. 设为实矩阵, 证明=. 证明: 考虑线性方程组与, 由可得, 从而, 即的解都是的解. 由上结论一知, 又. 故=. 用代替即可证明=.例2. 设为矩阵, 为矩阵, 证明: +-. 证明: 根据定理3.2由=可知=+=+, 又+, 故而+-. (、均可逆.)4 二次型二次型即二次齐次多项式, 它有着十分广泛的应用, 尤其是在解决二次曲线与二次曲面以及证明不等式方面有着显著的作用, 高等代数课程中的核心内容是将二次型化为标准型, 它在物理学、工程学、经济学等领域都有十分重要的作用, 常用的方法有: 配方法、初等变换法、正交变换法, 正定二次型也是要重点掌握的内容.二次型的几种表述: (1) =; (2) =; (3) =. 其中, 且称为二次型的矩阵, 矩阵的秩有时就称为二次型的秩.定义4.1 二次型经过非退化线性替换所变成的平方和称为的标准形.任意二次型总可以经非退化线性变换化为标准形, 而且还可以经过不同的非退化线性变换化为不同的标准形, 由于经过非退化线性替换, 二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵, 由上定理3.2可知合同的矩阵有相同的秩, 又标准型的矩阵是对角矩阵, 而对角矩阵的秩等于它对角线上不为零的元素个数, 故这些标准形中所含平方项的个数是相同的, 所含平方项的个数就等于二次型的秩.例1. 用非退化线性替换把二次型=化成标准形. 解: 用配方法可得=4+. 令=, 则所做的非退化线性替换为=. 故该二次型的标准形为=.亦可用初等变换法求解, 先写出二次型对应的矩阵, 然后对其作初等变换, 将其化成对角矩阵, 具体解法如下: =所作的非退化线性替换为=.可得标准形为=. 正交变换法: 此二次型的矩阵=, 对应的特征多项式为=所以的特征值为=4, =, =. 由解得特征值对应的特征向量为=. 由解得特征值对应的特征向量为=. 由解得特征值对应的特征向量为=. 由于已经是正交向量组, 因此只需将其单位化, 可得=, =, =.令矩阵=则为正交矩阵. 且=. 二次型在正交变换下的标准形为=.定义4.2 设二次型的标准形为, , .可知二次型的秩为. 则其可进一步作非退化线性替换就变成. 称其为实二次型的规范形.在一般的数域内, 二次型的标准形不是唯一的(从上面例题可看出), 与所作的非退化线性替换有关, 但其规范形是唯一的. 在实二次型的规范形中的正平方项的个数称为的正惯性指数; 负平方项的个数称为的负惯性指数; 它们的差称为的符号差.定义4.3 对于任意一组不全为零的实数, 若都有0(), 则称为正定的(半正定的); 若都有0(), 则称为负定的(半负定的); 若既不半正定也不半负定, 则称是不定二次型.设实二次型=, 其中是实对称矩阵, 则下面几个条件都是二次型=为正定二次型的等价条件: (1) 对任意非零实向量=, 都有=0; (2) 二次型的正惯性指数等于; (3) 存在实可逆矩阵, 使=, 其中（）; (4) 存在实可逆矩阵, 使; (5) 矩阵的特征值全为正数; (6) 矩阵与单位矩阵合同; (7) 矩阵的顺序主子式全大于零.下面简单证明一下: (1)为非零向量, 故不全为零, 由定义可知二次型=为正定二次型与=0等价. (2)设二次型经过非退化线性替换变成标准形 (4.1)则正定当且仅当(4.1)式正定(非退化线性替换保持正定性不变), 而二次型(4.1)正定当且仅当, , 即它的正惯性指数为. (3)设(2)中非退化线性替换为, 则令=即可. (4)取=即可. (5)设, 则, 故. 矩阵的特征值全为正数, 故二次型的正惯性指数等于, 由(2)知正定. (6)由(4)及合同概念可得知. (7)先证必要性, 设二次型=是正定的. 对于每个, , 令=, 对任意一组不全为零的实数, 有=因此是正定的. 因正定矩阵的行列式大于零(由(4)可得知), 故的矩阵的行列式0, . 即矩阵的顺序主子式全大于零. 至于充分性, 可用数学归纳法证明.例2. 设二次型=的矩阵为, 其中(), , 则是正定二次型? 还是负定? 还是不定? 其中是任意可逆实矩阵. 解: 由题意知=, 设为的阶顺序主子式, 可求得=. 故 , 所以是负定矩阵. 又是可逆实矩阵, 而是实对称矩阵, 由(4)知正定. 故负定, 由于两负定矩阵之和为负定矩阵. 所以是负定二次型.例3. 设实对称矩阵的特征值全大于, 实对称矩阵的特征值全大于, 证明: 的特征值全大于. 证明: 由题意知的特征值全大于零, 故正定; 同理可知也正定, 从而()=是正定矩阵. 故其特征值全为正数, 即的特征值全大于.高等代数课程中对正定二次型的描述较详细, 但对半正定二次型只提到一条定理, 且未给予证明, 下面对其证明, 定理内容如下: 对实二次型=(是实对称矩阵), 下列条件等价: (1) 是半正定的; (2) 它的正惯性指数与秩相等; (3) 存在实可逆矩阵使=, 其中, ; (4) 存在实矩阵使; (5) 的所有主子式都不小于零. 证明: (1)(2)设的规范形为. 为二次型的秩, 半正定, 即它的正惯性指数与秩相等. (1)(3)与正定二次型的性质(3)证明类似. (1)(4)取=符合条件, 其中为(3)中的矩阵. (1)(5)先证必要性. 取的任意一个阶主子式所对应的矩阵=, 其对应的二次型为. 令=0(), 代入得. 故存在非退化矩阵使=, 其中. 故充分性. 设的第个顺序主子式对应的矩阵为=作=, 由行列式性质有=(其中是中一切阶主子式的和).由题意知0. 故当0时, 有. 即0时, 是正定矩阵. 若不是半正定矩阵, 则存在非零向量, 使. 令, 则且, 与0时, 是正定矩阵矛盾, 故是半正定矩阵.例4. 证明: 二次型=是半正定的. 证明: 的矩阵为=, 可求得=0且的阶主子式为, (), 由上证明知是是半正定的. 当是负定(半负定)二次型时, 就是正定(半正定)的. 因此有关负定和半负定二次型的性质在此不再叙述.5 结束语与矩阵的秩有关问题是高等代数课程中极为重要的内容, 每年考研试题中不少题会涉及, 上面例题均选自不同学校的历年考研题, 由于矩阵的秩知识面涉及广泛, 欲通过一篇论文对其全面研究是很难的, 本文只对矩阵的秩有关问题作部分研究, 但相信通过本文加深对矩阵的秩及其相关问题的理解, 对更好的掌握高等代数这门课程有一定的帮助.参考文献1 北京大学数学系几何与代数教研室前代