向量在立体几何中的应用 (毕业论文).doc

向量在立体几何中的应用 中文摘要 立体几何中的基本思想是用代数的方法来研究几何。为了把代数运算引导几何 中来，最根本的做法就是把空间的几何结构有系统的代数化，数量化。向量代 数是立体几何中的应用性最好的量，用向量来证明立体几何中的点，线，面之 间的位置关系及其解决度量问题显得明快，简捷和容易的方法。 关键词：向量；方向向量；法向量；点；直线；平面；平行；垂直；夹角。 quadratic curves of the nature of the midpoint string abstract the basic idea is solid geometry with algebra approach to studying geometry. in order to put the algebra operations guide geometry, the fundamental way of doing that is to the geometry of the space structure of the system of algebra, quantification. vector algebra is three-dimensional geometry in application of the best quantity, with vector to prove three-dimensional geometry in points, lines, and relation between the positions of surface and its solving measure problem is lively, simple and easy method. keywords: vector; direction vector; vector method; point; straight line; plane; parallel; vertical; angle. 目 录 1 引言 .- 2 - 2 共点线与共线点 .- 2 - 2.1 共点线问题 - 2 - 2.2 共线点问题 - 4 - 2.3 共面问题 - 5 - 3 垂直问题 .- 6 - 3.1 线线垂直 - 6 - 3.2 面面垂直 - 8 - 4 平行问题 .- 9 - 4.1 线线平行 .- 9 - 4.2 线面平行 - 10 - 4.3 面面平行 .- 11 - 5 度量问题 .- 11 - 5.1 线线角的求法 - 11 - 5.2 线面角的求法 - 12 - 5.3 面面角的求法 - 13 - 参考文献 .- 15 - 致谢 .- 16 - 1 引言 几何中的大多数是用代数的方法来研究，为了把代数运算引导几何中来，最根 本的做法就是设法把空间几何结构有系统的代数化，数量化。 立体几何的基本思想也是代数的方法来研究几何。向量是立体几何中应用性 最活的量。 2 共点线与共线点 证明共点线与共线点问题是立体几何中的较多证明题之一，用向量来解决共点 线与共线点问题显得明快，简捷和容易入手。下面我们介绍向量法来解决共点 线与共线点问题的基本思路。 2.1 共点线问题 例 1 平行六面体的四条对角线及思对对棱的中点的连线共八条，试证他们必共 点。 证明：如图 1，设平行立面体 的一组对棱 的中点分别为aobdgefc,bdcg 且 连线的中的为 ,其它三组连线的中点分别为 .,mn,1p234p 再设 ， ， ，则 oaabc12mon 即： 122pdbogc 1abac 12c 同理可得： 即 iopab2,34i1234opp 这说明， 四点重合。1234, 最后设 的连线的中点分别为 .,afgbcde5678, 图图1图p 1g c feo d mn ba 则 1122opafobc abc 同理可得 即 。 j6,78j5678opp 这说明 点重合，于是命题得证。12345678,pp 从这个例题可以知道，证明共点线问题时 一般采用以下知识： 第一：平行四边形法则以及该法则的结论。 即：（图 2） 设 ，oaabb 则 cb12dc 所以 第二：平行六面体法则。 （图 3） ， ， oaabbocede cabc 这是用平行六面体三个棱上的向量来表示它的 对角线向量。但要注意，这四个向量具有同一始点。 欲证三直线 共点，可用以下方法：123,l 在三线上任取三点，去证这三点关于某定点有相同的定位向量。 令其中两线相交，如 交于点 ,去证点 与 上的任一的相连而得到的向12,lp3l 量与直线 上某相连共线，或再令 交于点 ,去证 关于某定点有相同的3l 23l p 定向量。 图图2图 b a o b d c a 图图3图 c b a be d c o a 2.2 共线点问题 例 2 【梅涅劳（ menelaus）定理】 设 分别是 边上（或各1,abcabc 边的延长线上）的三点。 （图 4） ，试证这三点同在一直线上的充要条件是; (本题中的线段均有向线段)。11acb 证明 设 , ， 1a1b1abb 则： ， ab1caab 令 ，1cxx 于是 1abx 再令 ,1bya1y 则有 1cayb 三点同一直线上的充要条件是向量 和向量 共线，也就是存在1,a1ac1b 非零数 ，使 k11akb 即： xabyb 因此有 ， kxk 消去 得 ，1y11y 但 ,1acxbab1xcab 所以 ，姑 1 因此 ;同理可得 ， 又 1x1y11c 图图4图 b a c 1 b1 a1 c b a 所以 ，姑 所以由1abc1a11xy 即得 证毕。11 用向量法来解决共线点问题时一般采用如下方法： 欲证 三点共线，可证其中任意两点相连得到的两个向量共线即可。,abc 2.3 共面问题 例 3 设 和 是立方体的两个相对顶点，试证立方体不含 和 的六条棱的中o o 点在同一个平面上。 证明 设（图 5） ， ， ， ， 是立方体中paoqbrc,abc 不含 和 的六条棱的中点。 则 ， ， ，12oaab12b12cc ， ， ccao 设 的中点为 ，则 sbc 令 的中点为 ,a 则 1122oac 这说明 是线段 的中点。s 同理可证 既为线段 和 的中点。bc 又 b1122abca12bcabac 这说明 共面，即 共面。,as,as 图图5图 r cb p c obq psor a a 所以 六点共面。,abc 上面例题可知，证明若干点共面问题时，只证明这些点所在的直线共线就可以。 3 垂直问题 立体几何中的垂直问题指的是线线垂直，线面垂直，面面垂直等问题。用向量 法解决垂直问题在立体几何中比较常用的方法。 3.1 线线垂直 若两直线的方向向量分别为 1,axyz ， 2,bxyz 则 这两条直线垂直的充要条 件是： 1220abxy 例 4 ：在单位正方体 中，在一个面的对角线 上取点 ，abcdabm 使 ;在另一个面的对角线 上取点 ，使 .3amn13d 求证: 是 和 的公垂线。n 证明：建立空间直角坐标系 （图 6）;,ijk （因为此正方体是单位正方体） 则 （ 是 的方向向量）12amik1,03ambdnijij2, 从而 ，a1,31,0bd 因为 ，mn,0,mn1,03 由充要条件可知 是 和 的公垂线。2.2 线面垂直ab 图图6图 k ji nm d cba d cba 平面 的方位向量 ，直线 的方向向量 ，则直线 垂直于 的充要条件是：ab， lvl 。lv且 0vb=且 例 5 试证如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么它就和平面 内任何直线都垂直，即它垂直此平面。 证明： 设直线 与平面 的两个相交直线n,a 都垂直（图 7） 。 设 是平面 内的任意直线。c 下面证明 内的任意直线 垂直，在直线与 c 上分别任意取非零向量 ，,nab,nab 依已知条件有 所以 。,va0v 又 是共面且 不共线，所以 可以用,cb与 c 来线性表示，即 。abc 因而 nca 0vb 这表明两向量 垂直，也就是它们所在的直线 垂直。nc与 n与 c 由 的任意性，直线 垂直于平面 。c 3.2 面面垂直 两平面 的法向量分为 且 , 12与 12n和 11,abc22,nabc 则两平面垂直的充要条件是： .212n12012120 图图7图 n cb a n cb a 例 6 平行六面体 的底下 为菱形。1abcdabcd 若 。证明：一双对棱所决定的平面11 垂直于底面（图 8） 。ac 证明：因为 是菱形，所以bdbac 且 又 11a 姑 1a 从而 10b 即 因此 d1da 说明 垂直平面 ，而底面过 ，1cb 所以平面 与底面垂直。1a 4 平行问题 立体几何中的平行问题指的是线线平行，线面平行与面面平行问题。我们一般 用两向量的平行关系来证明平行问题。 两向量平行的充要条件是它们的向量积为零向量， ab0 或 。ab 4.1 线线平行 若直线 通过点 ，方向向量为 ；直线 通过点 ，方向向量为 ，1l1p1v2l2p2v 图图8图 d 1 c1 b1a1 d c ba 设， ， ， 11,pabc22,pabc11,vxyz22,vxyz 则两直线平行的充要条件是： 或2p12:xyzz21211:c 例 7 已知： ，340amn8bxmnyp 且 不共面。若 ，求 的值。,np ,y 解： ，且 ， ，ab0ba 即 。182xmy324np 又因为 ，解得 3413,8xy 4.2 线面平行 设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 与平面 平行的充要条lvnl 件是： 0n 设 ， 则 ,vxyz,abcl 0axbycz 例 8 （如图 9）在长方体 中， 分别是 的中点，1d,ep1,bad 分别是 的中点。,mn1,e ， 1ada2ab 求证： 平面 .1d 证明：建立以 为原点， 为 的空间直角坐标系，1,c,xyz轴 轴 轴 则 ， ， , ，0,aa20ba,20ca1,aa10,da 图图9图 c 1p d1 b1 a1 d c eba m n 分别是 的中点。,epmn11,bcade ， ， ,20a3,04aa,2an 即： ,平面 的法向量 341ad0,1n ，且 姑 。0mnnn平 面 mn1ad平 面 4.3 面面平行 两平面 ，它们的法向量分别为 。12与 12,n 设 , ,则两平面平行的充要条件是：,nabc22,nabc 1211112: 在平行六面体 中（图 10） ，球证：d 平面 与平面 平行。abc 证明： 设 ， ， 则 ， ,aabcabacdbc 姑 c 又 , bdbacc 所以 a cbcabd 这说明两平面垂直同一条直线，所以平面 和平面 平行。 c 图图10图 b ac d cba d cba 5 度量问题 立体几何中的度量问题是典型性问题，我们把向量引导立体几何后，用血量之 间的夹角来解决线线，线面，面面之间的角。 5.1 线线角的求法 两直线的方向向量之间的角就是两直线之间的角。如果 的方向向量依次为12,l ，并设 之间的角为 ，则： 或 于是：12,v12,l12,vv 设 ， cos,v12v,xyz2,xyz 则有： 1212xyz 例 10： 将一正方形折成正三棱柱， 试求正方形的对角线所折成的角。 解： （如图 11） 设正方形的边长为 3， 则折成的正三棱柱的底边 是边长为 1 的正三角形，其高为 3. 原正方形的对角线折成一条 折线 ,如图建立空间直角坐标系，defb 则 ， ,30,203b 所以 1,o , ,3,2ef13,2eofbcos, 0.5ecos, 0.25ef 图图 11图 z y xf eob 姑 ,eofbarcos0.25149 向量法来解决夹角问题应用性较强，准确度角高的方法之一。 5.2 线面角的求法 直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 。所为直线 与平面 之间的角lvnl 是指直线 和他在 上的射影所构成的锐角。 因此 若设 ， 则 sinco,nv,vxyz,nabc222siaxbycz （如图 12） ，在四棱锥 中pd 底面为直角梯形， , ,90badab底 面 且 2pc 分别是 d 中点。,mn, 求 与平面 所成的角。 解： 建立以 a 为原点的 空间直角坐标系，且取 .1b 则： , ,0,2p0,2c , 所以 ，1,2md， =,-0,ad=0pbad 又 ，所以 的pbpbmn平 面 平 面 法向量为 因为n=1,0-， 2,1c，222siaxyzb-10=5 图图12图 z yx dmn cb a 与平面 所成的角 .cdamn10arcsin5 这个例题可以知道来向量法解决线面角是灵活性强，应用性多的方法。 5.3 面面角的求法 设 依次为平面 的法向量，则 间的角，即 等于平面 的12n， 12,12n， 12n， 12, 二面角的平面角之一。所以我们可把平面 的法向量 间的角作为平面,， 间的角。于是 ， 设 , ， 则有；12,11,abc22,abc12cos,n212211 所以 间的角一个是 ，另一个是 。12,2n， 12n， 设正四面体 的棱长为 ，试求它的两个面之间的夹角abcda （图 13） 。 解： 平面 的法向量取为 ，abc 平面 的法向量取为 。 设求的夹角为 （是锐角） 、 则 而 cosabcadbacd22211aa4aabc